Учебное пособие 1199

Получим систему уравнений вида

6A0 10.5A1 22.75A2 9.8

10.5A0 22.75A1 55.125A2 21.94

22.75A0 55.125A1 142.1875A2 54.0675

Решая эту систему, находим A0 , A1 и A2 : A0 0.08,

A1 0.74, A2 0.07.

Искомый многочлен y 0.08x2 0.74x 0.07.

Задача № 3

Задание. Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.

систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

31

последовательных приближений. За начальное приближение

cледовательно, решением равносильной системы (1).

32

Для того чтобы процесс итераций сходился к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения, необходимо выполнение для приведенной системы (3) по меньшей мере одного из условий (достаточное условие сходимости метода итераций).

Приведем заданную систему уравнений к виду (3)

x1 1.2 0.1x2 0.1x3,

x2 1.3 0.2x1 0.1x3,x3 1.4 0.2x1 0.2x2.

В качестве начального приближения возьмем систему

После первого шага получим:

x1(1) 1.2 0.1 0 0.1 0 1.2,x2(1) 1.3 0.2 1.2 0.1 0 1.06,

x(1) 1.4 0.2 1.2 0.2 0 1.16.

3

Дальнейшие вычисления располагаем в табл. 1:

33

Точное решение (1;1;1) практически достигается на 6- ой итерации.

Задача № 4

Задание. Отделить корни и найти приближенное

решение заданного уравнения с точностью 10 4 методом Ньютона (1) и методом итераций (2).

где f (x) – непрерывная функция переменной x. Требуется найти корень этого уравнения. Представить решение этого уравнения в виде конечной формулы оказывается невозможным, поэтому мы откажемся от поиска точного значения корней и займемся их приближенным вычислением с заданной точностью.

Основные этапы решения. Решение задачи отыскания корней осуществляется в два этапа. Первый этап называется этапом отделения (локализации) корней, второй – этап

34

принимает на концах отрезка a,b значения разных знаков, т.е. f (a) f (b) 0, то внутри этого промежутка имеется хотя бы один корень уравнения.

Геометрически это означает, что график непрерывной функции, расположенной по разные стороны оси OX , пересекает эту ось, по меньшей мере в одной точке.

Отрезок a,b , содержащий только один корень уравнения f (x), называется отрезком локализации корня. Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждых подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации.

К сожалению, универсальный метод локализации не представляется возможным. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод. Часто

xi,xi 1 , судят по перемене знака функции на концах отрезка.

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения.

Рис. 1

35

этих отрезков содержит хотя бы один корень. Поскольку f (x)

– многочлен третьей степени, то он не может иметь больше трех корней. Поэтому задача локализации корней решена.

После локализации корней производится итерационное уточнение каждого корня одним из существующих методов. Мы рассмотрим метод касательных и метод итераций.

1) Метод касательных. Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f (x) 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод

36

производные f (x), f (x) сохраняют знак на отрезке a,b .

Тогда, исходя из начального приближения x0 a,b , удовлет-

ния f (x) 0.

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене

f (x0) f (x0) 0. Проведем касательную к кривой y f (x) в

точке B0(x0, f (x0)) . В качестве первого приближения x1

корня возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX . Через точку B1(x1, f (x1)) снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение x2 корня и т. д. (рис. 2).

Рис. 2

37

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 1;0]. Уточним этот корень методом касательных. Так как f ( 1) 0, f (0) 0 и f (x) 0, то за начальное приближение принимаем x0 1.

Для вычислений применяем формулу Ньютона

Ответ: x 0.946.

2) Метод итераций. Отделяем корни аналитически. Находим f (x) x3 2x2 7x 3.

Составим таблицу знаков функции:

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 1;0]. Для уточнения его методом итераций приведем уравнение к виду x (x). При этом должно

38

Ответ: x 0.380.

Задача № 5

Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

39

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n 8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

Решение. Точное значение определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница через первообразную F(x):

b

f (x)dx F(x) ba F(b) F(a). a

Если же первообразная неизвестна или функция задана таблицей или графиком, то применяются методы приближенного интегрирования. Формулы для приближенного интегрирования получаются при замене площади криволинейной трапеции на сумму площадей простых геометрических фигур, площадь которых легко вычисляется.

приближенно равной площади соответствующей трапеции, то

40