Учебное пособие 1156

Рис. 5.1. Структурная схема последовательного соединения независимых элементов

Пусть система состоит из n элементов, вероятность безотказной работы которых обозначим как P1(t ),P2(t ),...,Pn(t ).Так как элементы,

входящие в систему, являются независимыми, то вероятность безотказной работы системы определяют как произведение вероятностей составляющих ее элементов.

n

Pc(t ) P1(t )P2(t )...Pn(t ) Pi (t ).

Надежность систем с резервированием

Система с резервированием - это система с избыточностью элементов, т.е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к минимально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функции, что и основные элементы. В системах с резервированием их работоспособность обеспечивают до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии

29

резервные.

Существуют следующие виды систем с резервированием:

-постоянное резервирование (с нагруженным резервом);

-резервирование замещением (с ненагруженным резервом).

Постоянное резервирование (с нагруженным резервом)

При постоянном резервировании резервные элементы

подключают параллельно основным (рис 5.2).

Рис. 5.2, Схема параллельной системы постоянного резервирования

Система при таком резервировании станет неработоспособной, когда откажут все n элементов системы.

Вероятность отказа системы, состоящей из n элементов, по теореме умножения вероятностей

n

Qc (t ) Q1(t )Q2(t )...Qn(t ) Qi (t ),

i 1

где Qi(t )- вероятность отказа i-го элемента.

Вероятность безотказной работы системы при постоянном резервировании с нагруженным резервом

Pc(t ) 1 1 Pi (t ) 1 1 P(t ) n .

i 1

30

Резервирование значительно повышает надежность изделия. Например, если система состоит из n=3 одинаковых элементов с вероятностью без отказной работы каждого P(t ) 0,9, то для системы в целом

Pc(t ) 1 1 P(t ) n 1 1 0,9 3 0,999.

Если увсех элементов системы могут быть внезапныеотказы, т.е. P(t ) exp( t ),то вероятность безотказной работы системы

Pc(t ) 1 1 exp( t ) n ,

плотность распределения наработки до отказа системы

fc (t ) dPc(t ) n 1 exp( t ) n 1 , dt

интенсивность отказов системы

Применение резервирования позволяет создавать высоконадежные системы из малонадежных элементов. Если система состоит из n равно надёжных элементов, то Qc (t ) Qin(t ), что

позволяет найти такое число n при заданном значении Qi(t ), которое

бы обеспечило выполнение требования к надежности системы. Условие выполнения этого требования можно выразить как

Резервирование замещением (с ненагруженным резервом)

При резервировании замещением резервные элементы последовательно включаются только при отказе основного элемента, затем первого резервного и т.д. (рис. 5.3). Это включение может производиться автоматически или вручную. Резервирование переключением на запасной элемент более эффективно, чем постоянное и облегченное, так как резервный элемент сохраняет свою работоспособность к моменту его включения в работу. Однако при этом возникает необходимость включения в состав системы датчиков контроля состояния элементов и механизмов переключения. При рассмотрении резервирования замещением (с ненагруженным резервом) считают, что в нерабочем состоянии элемент не может отказать и его надежность не изменяется, замена элементов происходит мгновенно, а все датчики контроля и механизмы переключения абсолютно надежны.

Рис. 5.3 Схема резервирования замещением

В условиях обязательного сохранения параметров в период переключения элементов резервирование замещением представляет собой сложную инженерную задачу. Поэтому его применяют в тех случаях, когда допускается хотя бы кратковременный останов системы.

Пусть в системе основной элемент имеет вероятность безотказной работы P(t ), а вероятность его отказа Q(t ). Основной

элемент, отработав случайное время t1 , отказывает, и взамен

32

основного подключается резервный элемент, который, отработав время t2 , отказывает и т.д., до подключения последнего n-го элемента.

Очевидно, что время наработки до отказа системы будет

Tc t1 t2 ... tn .

Если элементы до включения абсолютно надежны, то для системы из n элементов вероятность отказа системы

Вероятность отказа при резервировании замещением в n раз меньше, чем при постоянном реагировании. В случае равных по надежности основного и резервных элементов

постоянном значении интенсивности отказов для основного и резервных элементов, когда Q(t ) t , вероятность отказа системы

Qc (t ) ( t )n , n!

а средняя наработка до отказа Tcp.c nTср ,т.е. резервирование

замещением с ненагруженным резервом позволяет увеличить среднюю наработку в n раз.

ПРИМЕРЫ

Пример 5.1. Прибор состоит из 10 блоков. Выход из строя каждого блока приводит к выходу из строя прибора в целом. Вероятность безотказной работы каждого блока Р(t) = 0,995. Найти надежность (вероятность безотказной работы) Рпр,(t) прибора в целом. Какова должна быть надежность блоков, чтобы была обеспечена надежность прибора Рпр(t) = 0,99?

Ответ: Р1(t)= 0,9997.

Пример 5.2. Для обеспечения безотказной работы изделия необходимо обеспечить пять условий безотказности, вероятности

33

проявлений которых равны Р1 = Р2 = 0,990; Р3 = Р4 = 0,995; Р5 = 0,999.

Найти вероятность безотказной работы изделия.

Ответ: Рс (t) = 0,99400 = 0,018.

Пример 5.3. Для повышения надежности процесса контроля в системе установлены два прибора, один из которых дублирующий (резервный). Надежность каждого прибора равна 0,95. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность системы с двумя приборами.

Ответ: Рс (t) = 0,99875.

Пример 5.4. В процессе контроля, описанном в предыдущем примере, используются два прибора, но каждый из которых постоянно подключен в систему. Найти надежность системы.

Ответ: Рс (t) = 0,9975.

Пример 5.5. Для повышения надежности системы регулирования прибор с надежностью Р(t)=0,90 дублируется другими такими же постоянно подключенными приборами. Сколько нужно подключить приборов, чтобы надежность системырегулирования была не ниже Ртр = 0,995?

Ответ: n ≥ 2,3.

Пример 5.6. Двигатель состоит из равно надёжных элементов с надежностью каждого р, m из которых продублированы (имеют по одномурезервномуэлементукаждый). Выходиз строя любого из(n-m) элементов приводит к отказу двигателя. Определить надежность всего

двигателя.

Ответ: рn-m(2р - р2)m.

Пример 5.7. На космических кораблях типа «Space Shuttlе» имеются три одновременно работающих маршевых двигателя, один из которых резервный. Надежность каждого двигателя во время полета составляет 0,99. Определить надежность всей двигательной установки (ДУ). Какова была бы надежность ДУ, если бы не было резервного двигателя?

Ответ: 0,9997; 0,98.

34

Пример 5.8. Двигательная установка состоит ив пяти равно надёжных двигателей (р = 0,95), из которых два двигателя резервные. Найти вероятность отказа обоих резервных двигателей и надежность ДУ в целом.

Ответ: 0,0214; 0,9988.

Пример 5.9. Обеспечение оптимального значения надежности воспламенителя, равного 0,99, потребовало неприемлемо высокой стоимости его отработки. Во сколько раз уменьшатся затраты на повышение надежности от исходного уровня, если применить параллельное соединение двух воспламенителей топлива? Какой уровень надежности воспламенителя обеспечит безотказную работу резервированной системы? Исходный уровень надежности принять равным нулю.

Ответ: в 2 раза: 0,9.

Пример 5.10. Одна из систем РД состоит из трех элементов, соединенных по схеме постоянного резервирования, допускающей отказ двух элементов. Надежность каждого элемента равна 0,99. Определить требуемое значение надежности каждого элемента, обеспечивающее безотказную работу системы при переходе к параллельному соединению только двух равно надёжных элементов.

Ответ: 0,999.

Пример 5.11. Как изменится к концу полета летательного аппарата надежность РД, имеющей резервные двигательные блоки? Ответ обосновать.

Ответ: увеличится.

Пример 5.12. Элемент РД имеет постоянную интенсивность отказов λ. Во сколько раз возрастет вероятность безотказной работы в момент времени t при параллельной установке резервного элемента, имеющего в два раза большую интенсивность отказов по сравнению с основным? Начальные значения ВБР элементов принять равными единице.

Ответ: 1 + λt.

Пример 5.13. Резервированная система состоит из n равно надёжных, одновременно работающих элементов и допускает отказ

35

(n−1) элемента. Как изменится вероятность отказа системы при уменьшении вероятности отказа элемента в k раз?

Ответ: уменьшится в kn раз.

Пример 5.14. Оценить изменение вероятности отказа резервированной системы, состоящей из n равно надёжных параллельных элементов, из которых r − резервные, при увеличении ВБР элемента в k раз и соответствующем уменьшении вероятности его отказа в m раз.

Ответ: уменьшится примерно в mr+1/kn-r-1 раз.

Пример 5.15. Для условий задачи 5.14 провести расчет при n =5, r = 2, k = 1,0263, m = 2. Определить первоначальную и измененную величины надежности резервированной системы.

Ответ: уменьшится примерно в 7,6 раза; 0,99884; 0,99985.

Пример 5.16. Как известно, надежность резервированной системы, состоящей из n равно надёжных параллельно соединенных элементов, из которых r элементов резервные, определяется выражением

где p — ВБР элемента. Предложить более простое выражение, не содержащее знака суммы и позволяющие с точностью до пятого знака после запятой оценить надежность системы или быстро определить надежность элементов, обеспечивающую требуемый уровень безотказной работы системы, которая имеет большое число резервных элементов.

Пример 5.17. Определить значение надежности двигательных блоков, обеспечивающее требуемый ТЗ уровень надежности ДУ, равный 0,9997. Двигательная установка состоит из трех равнонадежных двигателей, из которых один двигатель резервный

Ответ: 0,99.

36

Пример 5.18. Двигательная установка состоит из трех одновременно работающих двигателей, надежность которых соответствует диапазону значений 0,95...0,97. Определить необходимое количество резервных двигателей для повышения надежности ДУ так, чтобы вероятность отказа ДУ была в 43,2 раза меньше вероятности отказа каждого двигателя. Для этого случая рассчитать значения надежности ДУ и двигателей.

Ответ: 2; 0,9988; 0,95.

Пример 5.19. Двигательная установка состоит не нескольких одновременно работающих двигателей, надежность которых равна 0,95. Установка двух дополнительных аналогичных двигателей (по схеме постоянного резервирования) уменьшает вероятность отказа ДУ в 123 раза. Определить число основных двигателей и найти значения надежности исходной и резервированной ДУ.

Ответ: 3; 0,85738; 0,99884.

Пример 5.20. Рассчитать надежность двух систем, состоящих из четырех элементов, соединенных по схемам резервирования

(рис. 5.4. а и б). ВБР элементов р1 = 0,9: р2 = 0,8: р3 = 0,7; р4 = 0,6. Ответ: а - 0,8076; б - 0,8624.

Рис. 5.4. Схемы резервирования систем к заданию 5.20

Пример 5.21. Найти надежность узла двигательной установки, схема соединения элементов которого приведена на рис. 5.21.

Ответ: 0,99935.

Рис. 5.5. Схема узла ДУ к заданию 5.21

37

Пример 5.22. Для обеспечения необходимой частоты вращения топливного насоса привод от турбины осуществляется через редуктор, схема которого приведена на рис.9.15. Уровень надежности редуктора, установленный ТЗ, 0,99. Определить требования к надежности зубчатых передач, если передачи 2 и 3 идентичны, а вероятность

отказа зубчатой передачи равна q22 , где q2 — вероятность отказа

зубчатой передачи 2.

Ответ: p1 = 0,99499; р2 = р3 = 0,9292.

Пример 5.23. Определить вероятность отказа ДУ, состоящей из основного и резервного двигателей. Резервныйдвигатель включается в работу вместо основного. Надежности каждого двигателя принять равными 0,99, а вероятность отказа переключающего устройства – 0,001.

Ответ: 5,99x10-5.

Пример 5.24. Для условий задания 5.25 определить изменение вероятности отказа ДУ при переходе от резервирования замещением двигателей к постоянному резервированию.

Ответ: увеличится в 1,67 раза.

Пример 5.25. Во сколько раз возрастет среднее время безотказной работы резервированной системы при 10-кратном резервировании с постоянно включенным резервом по сравнению с нерезервированной системой?

Ответ: в 3,2 раза.

Пример 5.26. Двигательная установка первой ступени ракеты-носителя «Сатурн-1» состоит из восьми автономных ЖРД типа Н-1, в то время как для выполнения программы полета достаточно только шести (допускаются отказы двух диаметрально противоположных двигателей). Таким образом, два ЖРД находятся в постоянно нагруженном резерве. Определить вероятность безотказной работы двигательной установки рд.у, если надежность автономного двигателя Ро = 0,99, а системы аварийной защиты рс.а.з = 0,995.

Ответ: рд.у = 0,993.

38