Учебное пособие 1156

Пример 1.28. Найти вид функции распределения времени появления внезапных отказов на участке нормальной эксплуатации двигателя (λ = соnst) при среднем техническом ресурсе Тcp.

Ответ:

Пример 1.29. РД разгонного аппарата (от первой космической скорости до второй) первые три часа работает на первой группе баков с ВБР р1 = 0,97, в последующие два часа – на второй группе баков с ВБР р2 = 0,95, затем в течение часа – на третьей группе баков с ВБР р3 = 0,99. Найти среднее значение ВБР за время работы РД.

Ответ: 0,9667.

Пример 1.48. Рассчитать надежность РД для приведенного на рисунке интервала временной зависимости интенсивности отказов РД.

Ответ: 0,9306.

Временная зависимость интенсивности отказов РД к заданию 1.48

Пример 1.31. Определить оптимальную периодичность

9

выполнения регламентных работ для двигателя многоразового использования, если интенсивности появлениянеисправностей и отказов постоянны и соответственно равны λ1 и λ2.

Ответ: (ln λ1 – ln λ2) / (λ1 – λ2).

Пример 1.32. По результатам стендовой отработки РД (эквивалентное число испытаний составило 148 при отсутствии зачетных отказов) получен показатель надежности в виде нижней границы одностороннего доверительной) интервала вероятности безотказной работы р = 0,98 при доверительной вероятности γ = 0,95. Уточнить показатель надежности, если проведено 30 успешных летных испытаний.

Ответ: рн = 0,9833.

Пример 1.33. Вероятностная ошибка (отклонение, в котором находится половина всей совокупности) в определении точки приводнения при возвращении капсулы космического аппарата «Меркурий» составила 66 км. Капсула, в которой находился астронавт Дж. Гленн,отклониласьот намеченной точки падения на 83 км.

Допуская существование нормального распределения, определить вероятность того, что в последующих орбитальных полетах точка приводнения отклонится на расстояние, превышающее отклонение капсулы с астронавтом Дж. Гленном.

Ответ: 0,396.

Пример 1.34. Определить суммарный объем стендовых и летных испытаний требуемый для подтверждения надежности РД рт.з = 0,99 при γт.з= 0,95; при условии отсутствия зачетных отказов и доверительной вероятности, связанной с полнотой и достоверностью имитации летных условии γи.м = 0,99. Фактический объём стендовых испытаний составляет Nс.и = 255.

Ответ: 315.

10

Раздел 2 ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ИСПЫТАНИЙ

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ

Методы обработки результатов испытаний Первичная обработка. Задачей первичной обработки является

определение текущих значений, измеренных при испытаниях параметров: давлений, расходов, температур, усилий и т. д.

В большинстве случаев для оценки результатов испытаний используют осредненные значения параметров. При ручной обработке эти значения получают путем определения среднеарифметической величины за период, используя n текущих значений параметра Ri, зафиксированных на бумажном носителе информации:

n

Ri

Rср i In

Проверка достоверности информации. Приступая к обработке экспериментальных данных, необходимо убедиться в их достоверности. Проверку достоверности можно производить различными способами.

Одним из наиболее распространенных является метод, основанный на анализе резко отклоняющихся значений. Оценку достоверности выпадающих точек следует осуществлять с помощью специальных статистических методик, позволяющих судить о принадлежности их ко всей совокупности полученных результатов. Например, если принять, что значения рассматриваемого параметра распределены по нормальному закону, то критерием достоверности может быть условие, при котором все достоверные значения лежат в интервале Rср ± 3SR, где SR — рассчитанное значение среднего квадратического отклонения параметрав данном испытании. Значения параметра, лежащие вне указанного интервала, исключают из материалов регистрации как недостоверные.

Вторичная обработка. Целью вторичной обработки результатов измерения при испытаниях является нахождение значений параметров косвенным методом. Используя материалы первичной обработки, по известным зависимостям определяемых параметров от параметров, полученных прямым измерением, производят вторичную обработку (вычисления). Например, при вторичной обработке рассчитывают значения коэффициента соотношения компонентов, удельного

11

импульса тяги, энергетических показателей газогенераторов и др.

В технических условиях на изделия, нормированные значения параметров, определяющих его работоспособность, задаются для нормальных (номинальных) условий. Поэтому последним этапом вторичной обработки результатов испытаний является расчет приведенных к нормальным условиям значений параметров двигателя и его агрегатов. В общем случае формула приведения параметра R имеет вид

Где Rизм — измеренное прямым либо косвенным методом значение параметра; r1, r2,…rk — факторы, учитываемые при приведении; r1, r2,… rk — отклонение факторов от их номинальных значений.

Примеры

Пример 2.1. Определить зависимость сопротивления материала

от температуры, если известны значение R0 и зависимость

Rt = R0(1 + t + βt2),

где , β – постоянные (независимые) температурные коэффициенты.

R R (1 t t 2 )

Ответ: t1 0 1 1

Rt2 R0 (1 t2 t22 )

Решением системы находим неизвестные и β.

Пример 2.2. Получены результаты измерений четырёх параметров: 0,47 ± 0,05; 647,4 ± 0,6; 580 ± 5; 2689,44 ± 0,27. Требуется сравнить эти измерения по точности.

Ответ: δ1 = 0,05 / 0,47 = 0.11, или 11 %;

δ2 = 0,6 / 647,4 = 0,000 93, или 0,093 %; δ3 = 5/5580 = 0,000 9, или 0,09 %; δ4 = 0,27 / 2689,44 = 0,000 1, или 0,01 %.

Первое измерение весьма грубое, последнее – наиболее точное.

Пример 2.3. При 10 измерениях некоторого параметра R

получены следующие результаты: 8,59; 8,55; 8,45; 8,46; 8,52; 8,48; 8,53; 8,42; 8,49; 8,51. Определить вероятность того, что погрешность

12

среднего значения R= 8,50 не выйдет за границы интервала ± 0,05.

Ответ: Р = 1 − α = 0,988.

Пример 2.4. Найти значение и среднее квадратическое отклонение удельного импульса тяги по результатам косвенных измерений тяги R = 135 ± 0,03 кН, плотности компонента топлива

ρ = 890 ± 0,1 кг/м3 и объемного расхода q = 0,042 ± 0,00015 м3/с. Ответ: Принимая J = 3SJ, запишем: J = 3611,55 ± 4,30 м/с.

Пример 2.5. Определить опенки математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины X по данным таблицы:

надежность десяти образцов были получены результаты измерения параметра Y, указанные в таблице:

Ответ:= 0,945.

Пример 2.7. Найти оценку дисперсии распределения и среднего квадратического отклонения по условиям предыдущего примера, если

Y = 0,945.

Ответ: = = 0,0268.

Пример 2.8. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Y с результатами, полученными при испытании n=40 энергетических агрегатов, приведенными в таблице:

13

Ответ: Гипотезу о том, что величина Y распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.

Пример 2.9. Период испытаний отрабатываемого элемента разбит на два этапа, причем после проведения нового этапа проводят доработку. Сведения о результатах испытаний сведены в таблицу:

Требуется, применяя критерии Колмогорова, подтвердить (или отвергнуть) принадлежность двух групп данных одной совокупности, выражающую эффективность проведенной доработки.

Ответ: Так как < кр (n,α), то гипотеза о принадлежности двух групп данных к одной совокупности подтверждается.

Пример 2.10. Как найти оценку математического ожидания наработки при планах испытаний: [n,U, r], [n, R,r],[n, U,T],[n, R,T]?

14

Раздел 3 Определительные испытания. Контрольные испытания

Планирование испытаний предусматривает выбор типа плана испытаний, числа объектов испытаний, условий их проведения и режимов работы изделия. Правила, устанавливающие объем выборки, порядок проведения испытаний и критерии их прекращения, называют

планами испытаний.

Возможны следующие варианты планов определительных испытаний: [n, U, T], [n, U, r], [n, U, n], [п, U, (r, T)], [n, R, T], [n, R, r], [n, R, (r, T)], [n, М, T], [n, М, ТΣ], [n, М, r], [n, М, (r, TΣ]. При этом наиболее применяемыми являются планы [n, U, T], [n, U, r], [n, U, п], [n, R, T], [n, R, r].

При планировании определительных испытаний, кроме предельнойотносительной точности εо и доверительной вероятности γ, задают также коэффициент вариации v наработки до отказа и степень цензурирования ω. При нормальном распределении ориентировочное значение коэффициента вариации v = 0,10...0,30. Кроме того, должен указываться вид доверительного интервала (односторонний или двухсторонний). Для одностороннего доверительного интервала задают уровень значимости α=1-γ, для симметричного двухстороннего

— уровни значимости α1=α2, для двухстороннего несимметричного интервала — уровни значимости α1 и α2, для которого γ=1 -α1-α2.

Чаще всего уровни значимости (вероятности) выбирают одинаковыми: α1 = α2 = α, тогда γ = 1-2α и, следовательно, каждую из доверительных границ определяют с уровнем значимости α = (1-γ)/2.

Рекомендации по выбору значений εо и γ даны в таблице [2].

Допустимые значения εо и γ

Контрольные испытания

Испытания, проводимые для контроля уровня надежности партии изделий, называют контрольными. Цель контрольных испытаний - установить, соответствует ли испытываемая партия изделий заданным требованиям. Контрольные испытания подразделяются на предварительные и приемочные испытания.

Существуют следующие методы планирования и проведения контрольных испытаний:

1.Контрольные испытания методом однократной выборки,

выключающие в себя одноуровневый контроль и двухуровневый. Одним из критериев выбора гипотез при контрольных

испытаниях является критерий Неймана - Пирсона. Его сущность заключается в том, что из выборочной совокупности ( y1 ,y2 ,...,yn )

вычисляют выборочную оценку U* контролируемого показателя надежности, которую сравнивают с заранее назначенным приемочным нормативом Uпр .

Если окажется, что U* Uпр , то утверждают, что в партии

Uф Uтр выбирают гипотезу H0 и партию принимают.

2.Контрольные испытания методом последовательного

анализа.

3.Метод усеченной последовательности.

ПРИМЕРЫ

Пример 3.1. Требуется найти параметры плана [n,U, T] при заданных значениях относительной погрешности ε0 =0,10, уровней значимости α1=α2=0,05. Путем сопоставления с аналогами испытываемого изделия определено Тож = 100 ч.

Ответ: параметр для плана испытаний Т = kT/Тож.

Пример 3.2. Определить параметры плана [n, U, T], для нормального распределения с относительной погрешностью ε0 = 0,10 и уровнями значимости α1 =α2 =0,025. (доверительной вероятности

γ = 0,95) при ожидаемом значении коэффициента вариации v = 0,2, если Тож = 100 ч.

16

Ответ: Тогда Т=kTТож = 1,072·100=107,2 ч. Окончательно запишем искомый план [16, U,T=108ч.].

Пример 3.3. Определить объем n, необходимый для оценки средней наработки до отказа по плану [n, U, n] с предельной относительной погрешностью ε0 = 0,1 и доверительной вероятностью γ = 0,80, В предположении, что наработка до отказа распределена нормально с коэффициентом вариации v = 0,4.

Ответ: Тогда искомый план можно записать в виде [12, U, 12].

Пример 3.4. Вычислить точечную и интервальную оценки интенсивности отказов λ по результатам n=10 испытаний, проведенных по плану [10, U, Т= 100], при этом наработки до отказа двух изделий составили 86 и 92. Доверительная вероятность γ = 0,9.

Ответ: Где χ2 (2r,1−γ) = χ2(4,0,1) =1,06; χ2 (2r,γ) = χ2(6,0,9) =7,8 (см. табл. 4 приложения).

Пример 3.5. По данным примера 3.4 (λн = 0,00054, λв =0,00398)

определить доверительные границы вероятности безотказной работы Р(t) при t = 20.

Ответ: 0,9235 < Р(t = 20) < 0,9892.

Пример 3.6. По данным: n=40, Т*=97,5 ч, *=32,0 ч − произвести интервальную оценку средней наработки до отказа для уровней

значимости α1 = α2 = 0,05.

Ответ: Тср = 97,5 ± 8,5 ч.

Пример 3.7. Оценить с уровнем γ = 0,9 среднюю наработку до отказа и вероятность безотказной работы за наработку 250 ч по результатам испытаний шести изделий, проведенных по плану-

[n, U, z]. Наработки испытанных изделий до отказа равны 246; 253; 264; 283; 307 ч. Один объект был снят с испытаний в работоспособном состоянии при наработке 272 ч.

Ответ: Рн(t)=αРн(t2)+(1-α)Рн(t1)=0,571·0,3332+(1-0,571)0,4897= 0,4.

Пример 3.8. Требуется разработать план контрольных испытаний, т. е. определить с и n, партии изделий в объеме 1000 единиц, если при наработке до отказа t0 = 200 ч нормальный уровень вероятности отказа изделия Q0(t0 = 200 ч) = 0,03, максимально

17

допустимый уровень - Q01(t0 = 200 ч) =0,1. Риски изготовителя α =0,1 и заказчика β = 0,2.

Ответ: Fбин(с = 2, n = 40, q = 0,03) = 0.8822 ≈ 0,9, Fбии(с = 2, n = 40, q = 0,1) = 0.228 ≈ 0,2.

Следовательно, если при испытаниях 40 изделий в течение заданной наработки t0 = 200 ч будут получены 0; 1 или 2 отказа, то партию принимают, если 3 и более, то партию бракуют. Риски заказчика и изготовителя при этом составят 0,228 и 0,118, и их значения отклоняются от заданных значений 0,2 и 0,1 на допустимую для подобных расчетов погрешность.

Найденное значение n=40 удовлетворяет условию n < 0,1N=100, и полученное на основе биноминального распределения решение отвечает исходным данным.

Пример 3.9. Для контроля надежности партии N=450 невосстанавливаемых изделий заданы два уровня вероятности безотказной работы, соответствующие наработке t = 20 ч: приемочный уровень Р0(t) = 0,99 и браковочный уровень − Р01(t) = 0,90. Риски изготовителя и заказчика α = 0,05 и β = 0,1. Определить план контроля по методу однократной выборки.

Ответ: Fбии(с = 1, n = 40, q = 0,01) = 0,9390 ≈ 0,95, Fбии(с = 1, n = 40, q = 0,1) = 0,080 ≈ 0,1.

Найденное значение п=40 удовлетворяет условию n < 0,1N=45, и полученное решение на основе биноминального распределения отвечает исходным данным.

Пример 3.10. Построить план контрольных испытаний для объема партии 10000 изделий, если заданы два уровня вероятности отказа Q0 = 0,002 и Q01 = 0,01, а также риски а=β=0,1.

Полученный результат n = 550 < 0,1N = 1000 соответствует требуемым условиям.

Пример 3.11. Заданы следующие условия контроля партии изделий: α = β = 0,1; Т0 = 100 ч, Т1= 65 ч. Построить план контрольных испытаний, принимая поток отказов простейшим.

18