Учебное пособие 1033

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

И. Н. Пантелеев С. А. Фурсова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Учебное пособие

Воронеж 2001

УДК 51 (075)

Пантелеев И.Н.Аналитическая геометрия на плоскости:

Учеб.пособие / И.Н.Пантелеев,С.А.Фурсова. Воронеж. гос.

техн. ун-т. Воронеж, 2001. 82 с.

Систематизировано изложены основные разделы аналитической геометрии на плоскости (теория, задачи и методы их решения). Материал пособия предназначен для самостоятельного изучения и более глубокого понимания тех разделов, которые необходимы для успешного и эффективного изучения курса высшей математики.

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе MS WORD 97 и содержится в файле

"AnGm_vmfmm.rar".

Ил. 34. Библиогр.: 10 назв.

Рецензенты: кафедра математики и физики Воронежского Военного института радиоэлектроники; канд. техн. наук А. Я. Аснина

Пантелеев И.Н., Фурсова С.А., 2001 Оформление. Воронежский государственный технический университет, 2001

1.СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ 1.1. Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная

(декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми - осями, на каждой из которых выбрано, положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу

масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси

называют осями координат, точку их пересечения О — началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс

(осью Ох), другую – осью ординат (осью Оу) (рис. 1).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области - четверти (или квадранты).

плоскость, в которой расположена система координат,

называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху.

Вектор O M называется радиусом-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат Оху

(O i j ) называются координаты радиуса-вектора O M . Если

O M = {х;у), то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется абсциссой точки М,

у — ординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же

направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами:

расстоянием r от полюса О и углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 2).

Числа г и называются полярными координатами точки М, пишут М(г; ), при этом г называют полярным радиусом, у

—полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный

каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел г и , и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а r и — ее полярные координаты.

Из рисунка 3 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим

образом:

x r cos , y r sin .

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

tg yx .

Определяя величину , следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -

< 2 .

Пример 1. Дана точка М(-1;- 3 ). Найти полярные координаты точки М.

Решение: Находим г и :

2. Основные приложения метода координат на плоскости

2.1. Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х1;у1) и В(х2;у2) плоскости Оху.

Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора

2.2. Деление отрезка в данном отношении.

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (2) и (3) называются формулами деления отрезка в

случае точка М(х; у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом ( -

2.3. Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника АВС с вершинами

А(х1;у1),В(х2; y2), С(х3;у3).

Решение: Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры АА1, BB1, CC1 на ось Ох (см. рис. 5). Очевидно, что

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

3. Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

3.1. Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе O1x1y 1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Рис. 6.

Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (x0;y0) в старой системе координат Оxy, т.е. О1(x0;y0). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Oxy через (x;y), а в новой системе

x x0 x' , y y0 y'.

Следовательно

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.

3.2. Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и

масштаб остаются неизменными. Пусть новая система 0\х\у\

получена поворотом •системы Оху

Рис на угол а.

Пусть М — произвольная точка плоскости, (а;; у) — ее координаты в cтарой системе и (х', у') — в новой

системе.

Введѐм две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Oxi (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (x;у) произвольной точки М через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O1х1у1 получена из старой Оху путем

Рис. 8. поворотом осей на угол (см. рис. 8), то путем введения вспомогательной системы

O 1x y легко получить формулы

xx 'cos y 'sin x 0 ,

yx 'sin y 'cos y 0 .

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через еѐ новые координаты х' и у'.

4. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

4.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра

окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел

— ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются

текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хо, уо) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Пример 2.1. Лежат ли точки К(-2; 1) и L(1; 1) на линии

2х+у+3=0?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 • (-2) +1-3=0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии,

т.к.2•1+1+3 0.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий,

заданных уравнениями F1(x;y) == 0 и F2(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; ) = 0 называется уравнением данной линии Рис.9. в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой

линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

x x t ,

(4)

y y t .

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x=t+l, y=t2, тo значению параметра t = 2

соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 22 = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (4) -

параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x; у) = 0, надо каким-либо способом из двух

Оху соответствуют два скалярных уравнения (4), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (x - 2)2 + (у - З)2 = 0 соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению х2 + у2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 10-12 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Рис. 10. Окружность радиуса R

4.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

4.2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллель-

ная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 13).

Под углом 0 наклона

прямой понимается наименьший Рис. 13 угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и

оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 13). Проведем через точку N ось NX', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью NX' и прямой равен . В системе Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (5) не удовлетворяют.

Число k = tg называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (5) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (5) и (6) есть уравнения первой степени.

4.2.2. Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (7) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ax + С = 0,

Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом

Итак, уравнение (7) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

оси Ох;

2)если В = 0, то прямая параллельна оси Ox;

3)если С = 0, то получаем Ах +Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки O (0;0), прямая проходит через начало координат.

4.2.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(xо;yо) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = kx + Ь, где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(хо;уо), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: уо = kxo + Ь. Отсюда b = уо — kxo. Подставляя значение b в уравнение у = kx + b, получим искомое уравнение прямой у = kx + уо — kxo, т. е.

Уравнение (8) с различными значениями k называют также

уравнениями пучка прямых с центром в точке М(хо;уо). Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и М2(х2; у2). Уравнение прямой, проходящей через точку M1, имеет вид

y y 1 k x x 1 .

(9)

где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М2 (x ; y2), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (9):

(10)

Предполагается, что в этом уравнении x1 x2, y1 y2 .

Если х2 = х1, то прямая, проходящая через точки M1(x1;y1) и М2(x2;у2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид

х = х1.

Если у2 = y1 то уравнение прямой может быть записано в виде у = у1, прямая M1 М2 параллельна оси абсцисс.

4.2.5. Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ox в точке М1(a;0), а ось

Oy – в точке М2(0;b) (см. рис. 20). В этом случае уравнение (10)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках,

так как числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

4.2.6. Уравнение прямой, проходящей через данную