Учебное пособие 999

холодным резервом. При отказе машины М1 включается машина М2 , а при отказе М2 включается М3 . До включения

каждая из резервных машин находится в холодном резерве и отказать не может. Пустьλ1 — интенсивность потока отказов

основной машины, λ2 — остальных машин. Представим процесс, как Марковский случайный процесс (рис. 12).

Рис. 12

Введем обозначения: S1 — работает основная машина;

S2 — работает первая из резерва машина; S3 — работает вторая из резерва машина; S4 — не работает ни одна машина.

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний будет

dp4 = λ2 p3 . dt

Добавим к системе нормировочное условие p1 + p2 + p3 + p4 =1.

Интегрируя первое уравнение при P1 (0) =1, получим

p1 (t) = e−λ1t .

Подставляя во второе уравнение, будем иметь dpdt2 = −λ2 p2 + λ1e−λ1t .

40

Интегрируя с начальным условием P2 (0) = 0, получим

p2 (t) = λ2 λ−1 λ1 e−λ1t − λ2 λ−1 λ1 e−λ2t .

Подставляя в третье уравнение, будем иметь

8.1. Интенсивность отказов элемента задана графически (рис. 13). Найти закон надежности p(t) и среднее время

безотказной работы.

Рис. 13 Решение. Из рисунка находим, что интенсивность отказов

на участке (0,1) меняется по закону λ(t) = 2 −t а на участке

t >1 постоянна и равнаλ =1 .

Надежность на участке (0,1) по формуле (8) будет

41

∫t λ(t)dt =∫t dt = t −1;

тогда p2 (t) = e−t +1.

Рис.14

График закона надежности показан на рис. 31.14. Среднее время безотказной работы равно площади, ограниченной

приближенно.

8.2. Плотность распределения времени безотказной работы элемента на участке (t1 ,t2 ) постоянна и равна нулю вне этого

участка (рис. 15). Найти интенсивность отказов и построить график.

42

независимых элементов. Какова должна быть надежность отдельного элемента, чтобы надежность системы была бы не менее 0,85?

Решение. Представим формулу (10) в виде p = n P . Тогда

8.5. Простая система состоит из трех независимых элементов. Найти интенсивность отказов системы, если плотности распределения времени безотказной работы заданы выражениями:

8.6. Найти надежность системы, состоящей из семи элементов с надежностями p1 , p2 ,..., p7 (рис. 17).

44

резервом, т. е. когда резервные машины до включения

следующие обозначения состояний. Если основная машина работает, то первый индекс равен нулю, если основная машина отказала, то первый индекс равен единице, а второй индекс определяет число исправных резервных машин. Так, S0k , —

основная машина исправна, из резервных исправны k машин ( k =О, 1, 2, 3); S1k — основная машина отказала, из резервных

исправны k машин, причем одна из них работает.

Для составления уравнений Колмогорова представим граф состояний (рис. 18).

Рис. 18

Система уравнений вероятностей состояний в этом случае будет

dp03 = −(λ1 +3λ2 ) p03 ;

dt

dp02 = −(λ1 + 2λ2 ) p02 +3λ2 p03 ;

dt

dp01 = −(λ1 + λ2 ) p01 + 2λ2 p02 ;

dt

dp00 = −λ1 p00 + λ2 p01 ;

dt

46

dpdt13 = −(λ2 0 + 2λ2 ) p13 + λ1 p03 ;

dpdt12 = −(λ2 0 + λ2 ) p12 + λ1 p02 + (λ2 0 + 2λ2 ) p13 ; dpdt11 = −λ2 0 p11 + λ1 p01 + (λ2 0 + λ2 ) p12 ;

dpdt10 = λ1 p00 + λ2 0 p11.

Из интегрирования первого уравнения системы имеем

p03 = e−(λ1 +3λ2 )t .

Подставляя это решение во второе уравнение системы и интегрируя, находим p02 .Продолжая последовательно процесс

интегрирования уравнений, находим остальные значения вероятностей состояний. Вероятность состояния, когда линия не работает, может быть найдена из условия

p10 (t) =1 −( p03 + p02 + p01 + p00 + p13 + p12 + p11 ).

Отсюда надежность линии, как обратное событие, будет

P(t) =1− p10 (t).

т. е. равна сумме вероятностей, при которых линия работает. Нетрудно заметить, что изменение числа резервных машин

в технологической линии приводит только к увеличению или уменьшению графа состояний (рис. 18), а, соответственно, и числа уравнений системы. В остальном схема расчета остается без изменений.

9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти глобальные экстремумы следующих функций:

47

1.6.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

1.7.Для хранения и охраны военного имущества требуется огородить забором прямоугольный участок площадью S=1,5 га и затем таким же забором разделить этот участок на две равные части. Определить размеры участка, при которых расход материалов будет наименьшим.

1.8.Штаб инженерной части планирует строительство

тоннеля с сечением в форме правильной трапеции площадью 5 м2 и с острым углом при нижнем основании, равным α. Определить размеры сечения тоннеля, при которых расход материалов на боковые стенки и потолок был бы минимальным.

1.9.Два самолета летят в одной плоскости и

прямолинейно под углом 1200 с одинаковой скоростью υ км/час. В некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до неё d км.

Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим? Чему равно это расстояние?

1.10. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

2.1. Найти экстремумы функции:

д) z = 2 - xy - 4x - 2y;

48

е) z = x3 + 8y3 - 6xy + 1;

ж) z = 3x2 - 2x y + y - 8x + 8; з) z = x2 - xy + y2 + 9x - 6y + 20; и) z = y x - y2 - x + 6y;

к) z = 3xy - x2 y - xy2 .

2.2.Найти экстремумы функций трех переменных:

в) u = x - y2z3 ( 1 - x - 2y - 3z ), (x > 0, y > 0, z > 0).

2.3.Найти экстремум функции

z = x + 2 y

при условии x2 + y2 = 5

2.4.x2 + y2 → extr; 3x + 4y = 1.

2.5.exy → extr, x + y = 1.

2.10. a cos2 x + b cos2 y → extr; y - z = π4 .

49