Учебное пособие 999

Еще раз заменяем y4 ↔ y5

горизонтальном и вертикальном направлениях составляет

L =144 +186 = 330 км.

3. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА РАБОТНИКОВ НА ПРЕДПРИЯТИИ

1 °. Характерной особенностью ряда предприятий является неравномерность поступления нагрузки по часам суток, дням

недели и месяцам года. В условиях постоянного штата необходимо, с одной стороны, обеспечить выполнение всей работы, а с другой — обеспечить выполнение работы минимальным количеством работников.

Обозначим через x j — число работников, работающих

11

коэффициент, равный единице, если по j −му графику

предусматривается работа в i −й день, и нулю, если в тот день предусматривается выходной. Задача может быть сформулирована так: требуется найти минимум целевой функции L = x1 + x2 +... + xn при выполнении следующих

ограничений

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn ≥ b1 ;

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn ≥ b2 ;

……………………………….

am1 x1 + am2 x2 +... + amn xn ≥ bm .

2°. Для простоты вычислений рассмотрим пример четырехдневной рабочей недели с двумя выходными, исходные данные для которого приведены в таблице

Запишем задачу линейного программирования следующим образом

12

L = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

Выбираем разрешающий элемент, находим λ = −1и

переводим базисную переменную y4 в разряд свободной x4 .Перепишем таблицу заменяя y4 ↔ x4 .

13

Выберем разрешающий элемент и перепишем таблицу, заменяя y3 ↔ x3

Выберем разрешающий элемент и перепишем таблицу, заменяя y2 ↔ x2

14

x4 = 60, x1 = x5 = x6 =0.

4. ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ

1°. Граф задается конечным множеством вершин или узлов ( a1 , a2 ,..., an ) и множеством дуг или ребер ( l1 ,l2 ,...,lm ),

соединяющих некоторые или все вершины. Если ребра ориентированы, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, а граф с такими ребрами называется

ориентированным графом. Если ребра графа не имеют ориентации, то граф называют неориентированным. Каждая дуга может быть задана упорядоченной парой вершин (ai a j ) ,

где ai - называется начальной, а a j — конечной вершиной дуги.

Сетью называется граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число. Эти числа могут выражать длину, пропускную способность, стоимость перевозки и т.п. Иногда сеть ассоциируется с транспортной сетью или сетью связи.

Путем в графе называют последовательность дуг или вершин, в которой каждая конечная вершина является начальной вершиной следующего ребра. Простым путем называется путь, в котором каждая вершина обходится не более одного раза. Если в простом пути ориентации дуг не

15

совпадают, то такой путь называется простой цепью. Граф, в котором каждая пара вершин соединена некоторой цепью, называется связным. Задача нахождения кратчайшего пути между двумя заданными вершинами представляет одну из главных задач теории сетей.

2°. Пусть требуется найти кратчайшие пути от одной вершины ко всем остальным вершинам сети.

Алгоритм Флойда. 1) Введем матрицу Cij , в которой записаны длины всех дуг сети

0, если i=j

С = длине дуги между вершинами ai и a j

∞, если дуги между ai и a j нет.

Положим κ =1 .

2)Для всех i ≠ κ и j ≠ k осуществить операцию

Cij := {Cij ,Cik +Ckj }.

3)Если k = m, вычисления закончены, иначе перейти к

п. 4.

4) k := k +1 и перейти к шагу 2.

Алгоритм применим и для отрицательных длин ребер.

3°. Алгоритм Дейкстры. Алгоритм позволяет найти кратчайшие пути от заданной вершины до всех остальных. Обозначим: Сij −расстояние от узла ai до a j ;

li′ — временная пометка для вершины ai , li —

2. Для всех соседей вершины a p с временными пометками

16

изменить пометки по формуле

li′ = min(li′,l p +C pi ).

3. Для всех вершин, имеющих временные пометки, найти lr = min li′.

4. Положить p = r, k := k +1. Если k = m , вычисления

закончены, иначе перейти к шагу 2.

4.1. Пусть дана сеть (рис. 31.3). Найти кратчайшие пути между всеми узлами.

Рис. 3 Решение. Составим исходную матрицу

При k =1 матрица не меняется, поэтому рассмотрим случай, когда k = 2.

C13 = min(C13 ,C12 +C23 ) = min(∞,1 +3) = 4; C14 = min(C14 ,C12 +C24 ) = min(∞,1 + ∞) = ∞; C15 = min(C15 ,C12 +C25 ) = min(∞,1 + 6) = 7; C16 = min(C16 ,C12 +C26 ) = min(5,1 + 2) = 3.

Найдем элементы матрицы во второй строке матрицы

C21 = min(C21 ,C22 +C21 ) = min(1,1) =1;

C22 = 0;

17

C23 = min(C23 ,C22 +C23 ) = min(3,3) = 3; C24 = min(C24 ,C22 +C24 ) = min(∞, ∞) = ∞; C25 = min(C25 ,C22 +C25 ) = min(6,6) = 6; C26 = min(C26 ,C22 +C26 ) = min(2,2) = 2.

Для третьей строки найдем

Элементы шестой строки

C61 = min(C61 ,C62 +C21 ) = min(5,2 +1) = 3; C62 = min(C62 ,C62 +C22 ) = min(2,2) = 2; C63 = min(C63 ,C62 +C23 ) = min(3,2 +3) = 3;

18

C64 = min(C64 ,C62 +C24 ) = min(∞,2 + ∞) = ∞; C65 = min(C65 ,C62 +C25 ) = min(3,2 + 6) = 3;

C66 = 0.

Матрица, полученная после второй итерации, имеет вид

19