Учебное пособие 999

4.2. Для сети, представленной на рис. 3, найти кратчайшие пути от вершины а1 до остальных.

Решение. Результаты расчетов приведены в таблице.

20

5. На пятой итерации соседями вершины a3 являются вершины a4 , a5 . Найдем временные пометки этих вершин

l4′ = min(∞,4 +5) = 9; l5′ = min(6,4 +1) = 5.

Минимальная из них l5′ = 5 становится постоянной l5 = 5, p = 5.

6. Вершина a5 соседствует с вершиной a4 , временная пометка которой l4′ = min(9,5 +1) = 6, p5 = 4.

Таким образом, кратчайшие пути от первой вершины ко всем остальным приведены в вершинах выделенных столбцов и совпадают с первой строкой матрицы алгоритма Флойда предыдущей задачи.

5. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА

1°. Пусть в сети имеется единственный источник a0 и единственный сток an . Обозначим положительным числом bij

неотрицательных чиселxij , поставленных в соответствие дугам

где 0 ≤ xij ≤ bij ; число υ ≥ 0 называется величиной потока.

2°. Пусть начальные пропускные способности дуг заданы. Выберем некоторый начальный поток, например, нулевой.

Алгоритм работает следующим образом.

22

1. Выберем путь из a0 в an положительной пропускной способности θ , гдеθ − минимальная величина из пропускных

помеченным, но не просмотренным, а все остальные узлы не помеченными.

2. Выбрать любой помеченный, но не просмотренный узел

ai .

3. Всем узлам a j , для которых bij ≥ 0 , приписать пометки ( i, j ) и считать их помеченными. Считать узел a0 просмотренным. Если при этом сток an оказался помеченным, то по пометкам легко восстановить искомый путь из a0 в an .

В противном случае следует перейти к шагу 2. Если это невозможно, то искомого пути не существует.

Далее переходим к шагу 1. Если пути положительной пропускной способности не существует, то полученный поток является максимальным.

5.1. В области имеется семь городов, соединенных дорогами. Граф задачи показан на рис.4.

Рис. 4

23

На каждой дуге (ai , a j ) около узла ai указано

максимальное (за один день) число мешков с корреспонденцией, которые можно перевезти от ai к a j ,

а около узла a j — максимальное число мешков, которые можно перевезти из a j в ai . Найти максимальное число мешков, которые можно перевезти из a0 в an .

Решение. Пусть начальный поток задан числами

υ = x02 = x25 = x56 = 5 (потоки по остальным дугам равны нулю). После изменения пропускных способностей дуг bik ik +1 получается сеть.

Далее выбираем путь a0 → a1 → a4 → a6 , где θ = 3

минимальная величина из пропускных способностей. Изменяя пропускные способности дуг, получим

24

На следующем шаге выбираем путь

a0 → a1 → a2 → a4 → a6 ,θ =1,

тогда граф примет вид

Далее a0 → a2 → a4 → a6 , θ = 2 и граф будет

Следующий шаг a0 → a3 → a5 → a4 → a6 , θ =1

Далее a0 → a3 → a2 → a4 → a6 , θ =1

25

Y (t) = (S + ∑t Ct − St ) / t,

t =1

Y (t) = (S + a0 (eλt −1) −b0 e−μt ) / t = (a0 (eλt −1) + S(1 −e−μt )) / t.

Отсюда

Y2 = S(1 −e−μt − μte−μt ), то точка пересечения этих кривых и

даст искомое время t, когда следует произвести замену оборудования.

7. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1°. Метод наименьших квадратов заключается в том, что из данного множества функций y = f (x) выбирается та, для

которой сумма квадратов отклонений опытных значений от расчетных является наименьшей.

Подбор параметров функции y = f (x) делается после

определения вида функции. Вид функции выбирается из графического изображения опытных данных таким образом, чтобы график функции наиболее точно отражал расположение опытных данных на графике. Пусть дана таблица значений переменных xi и соответствующих им значений yi .

Рассмотрим некоторые простейшие виды функций.

2°. Линейная функция y = ax +b . Нормальная система для определения коэффициентов a и b имеет вид

27

система для определения коэффициентов a , b и с имеет вид

Полагая, что зависимость линейная, найти значения параметров функции y = ax +b .

Решение. Воспользуемся методом наименьших квадратов. При составлении системы нормальных уравнений (1) суммирование удобнее выполнять в табличной форме

28

Система нормальных уравнений примет вид

91a + 21b = −19,21a + 6b = 5.

Из решения этой системы получим a = −14335 ; b = 845 .

Зависимость между x и y представляется в виде y = −14335 x + 845 .

7.2. Результаты опыта представлены таблицей

Найти зависимость между переменными.

Решение. Прибрасывая опытные данные на графике, считаем, что зависимость между ними квадратичная.

Воспользуемся методом наименьших квадратов. При составлении системы нормальных уравнений (2) суммирование представим в табличной форме

29