Учебное пособие 999
.pdf
i |
|
xi |
yi |
|
xi 2 |
|
xi 3 |
|
xi 4 |
|
xi yi |
xi 2 yi |
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
3 |
|
2 |
4 |
|
4 |
|
8 |
|
16 |
|
8 |
16 |
4 |
|
3 |
7 |
|
9 |
|
27 |
|
81 |
|
21 |
63 |
5 |
|
4 |
11 |
|
16 |
|
64 |
|
256 |
|
44 |
176 |
∑ |
|
10 |
25 |
|
30 |
|
100 |
|
354 |
|
75 |
257 |
|
Система нормальных уравнений примет вид |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
354a +100b +30c = 257, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+10c = 75, |
|
|
||||
|
|
|
|
100a +30b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+5c = 25. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
30a +10b |
|
|
|
|
||||
Умножая третье уравнение на 2 и вычитая из второго, и умножая второе на 3 и вычитая из первого уравнения, получи
40a +10b = 25,54a +10b = 32,
откуда a = 12 , b = 12 , c =1.
Таким образом,
y = x2 + x +1. 2 2
7.3. По таблице опытных данных
xi |
0,5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
yi |
5 |
2 |
0 |
-1 |
-1,5 |
найти зависимость между переменными.
Решение. Прибрасывая опытные данные на графике (рис. 31.5.), считаем, что зависимость между переменными
гиперболическая. Пользуясь методом наименьших квадратов,
30
суммирование, при составлении системы нормальных
уравнений (3), приведем в табличном виде
i |
xi |
yi |
1/ xi |
1/ xi 2 |
yi / xi |
1 |
0,5 |
5 |
2 |
4 |
10 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
1/2 |
1/4 |
0 |
4 |
4 |
-1 |
0,25 |
1/16 |
-1/4 |
5 |
6 |
-1,5 |
1/6 |
1/36 |
-1/4 |
∑ |
|
4,5 |
3,916 |
5,34 |
11,5 |
Система нормальных уравнений примет вид
3,916a +5,34b =11,5,5a +3,916b = 4,5.
Решая |
эту систему, находим: a = −1,847; |
b = 3,5. Таким |
|||
образом, зависимость примет вид |
|
|
|||
|
y = −1,847 + |
3,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
7.4. Найти нормальную систему для определения |
|||||
коэффициентов a,b показательной функции y = ab x . |
|||||
Решение. Прологарифмируем функцию |
ln y = ln a + x ln b |
||||
и считаем |
ln y линейной функцией от x, |
а |
ln a и ln b |
||
принимаем за параметры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем подбирать параметры так, чтобы сумма квадратов |
|
|||||||
отклонений вычисленных |
значений |
ln a + xi ln b |
от |
|||||
наблюдаемых значений ln yi , т. е. величина |
|
|
|
|
||||
S = (ln a + x ln b −ln y )2 + (ln a + x |
2 |
ln b −ln y |
2 |
)2 + |
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
+... + (ln a + xn ln b −ln yn )2 |
= ∑(ln a + xi ln b −ln yi )2 |
|
||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
принимала наименьшее значение.
31
Рассматриваем сумму S как функцию двух переменных ln a и ln b . Функция S принимает минимальное значение при
тех значениях ln a |
|
и ln b , при которых обращаются в нуль |
||||||||||
частные производные по этим параметрам, т. е. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂S |
= 0 и |
|
|
∂S |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
∂ln a |
|
∂ln b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим частные производные |
|
|
||||||||||
|
|
∂S |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∑(ln a + xi ln b −ln yi ) = |
|||||||||
|
|
∂ln a |
||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
= 2(n ln a + ln b∑xi − |
∑ln yi ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
∂S |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∑(ln a + xi |
ln b −ln yi )xi = |
||||||||||
|
∂ln и |
|||||||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|||
= 2 ln a∑xi −ln b∑xi 2 |
−∑xi ln yi . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
i=1 |
|||
Приравнивая частные производные нулю, получим |
||||||||||||
нормальную систему |
|
n |
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n ln a + ln b∑xi = ∑ln yi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
ln a∑xi + ln b∑xi |
2 |
= ∑xi ln yi |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
||
Найденные из этой системы значения параметров ln a и ln b позволяют с помощью таблиц натуральных логарифмов определить значения а и b.
31.8. Методы расчета надежности
1°. Основные понятия надежности. Надежностью p (t) элемента называется вероятность того, что этот элемент будет
32
работать в течение времени t безотказно. Отказ — это событие, состоящее в нарушении работоспособности элемента. Отказы бывают внезапные и постепенные. Внезапный отказ происходит в случайный момент времени. Постепенный отказ характеризуется постепенным ухудшением характеристик машины (элемента).
Деление технических устройств на элементы носит условный характер. Так одно и то же устройство может рассматриваться как машина, состоящая из элементов, так и как элемент технологической линии машин. В дальнейшем под «элементом» мы будем понимать техническое устройство, не подлежащее дальнейшему расчленению.
При оценке надежности машины следует рассмотреть некоторые количественные характеристики. При t = 0 надежность p(t) =1 и с увеличением времени убывает (рис.
6.). Ненадежность определяется по формуле q(t) =1 − p(t). Характер изменения кривой q(t) показан на рис. 6. При
возрастании t кривая q(t) стремится к единице.
Рис. 6
Одной из количественных характеристик, определяющих безотказность работы «элемента» машины, является среднее время наработки на отказ. Если Т — время безотказной работы, то функция распределения этой случайной величины определяется выражениями F (t) = P(T < t) и представляет
ненадежность работы элемента F (t) = q(t) . Таким образом,
33
F (t) — вероятность того, что за время t элемент откажет. Надежность элемента или машины дополняет F (t) до единицы, то есть p(t) =1 − F (t).
Плотность распределения времени безотказной работы равна f (t) = F ′(t) = q′(t). График плотности показан на рис.
31.7. Элемент вероятности f (t)dt есть вероятность того, что
время |
T лежит в пределах от |
t до t + dt . |
Плотность |
||
вероятности определяется по формуле |
|
||||
|
f (t) = |
m( |
t) |
, |
(1) |
|
N |
|
|||
|
|
t |
|
||
гдеm( |
t) — число элементов, отказавших за время |
t , т. е. от |
|||
t до t + dt ; N — общее число элементов. |
|
||||
Рис. 7 Если Т величина непрерывная, то среднее время
безотказной работы равно
t = M (T ) = ∞∫tf (t)dt = ∞∫tq′(t)dt =
0 |
0 |
|
= −∞∫tp′(t)dt = |
∞∫p(t)dt. |
(2) |
0 |
0 |
|
Среднее время безотказной работы t равно площади, ограниченной кривой надежности и осями координат (рис. 31.6). Основные показатели надежности машин, состоящих из k групп элементов, определяются на основании статистического материала. Если число элементов в группах
34
равно n1 , n2 ,..., nk , а t1 ,t2 ,...,tk — время наработки элементов
на отказ в каждой группе, то среднее время наработки на отказ будет
k |
|
t =1/ ∑ni / ti . |
(3) |
i=1
Среднее время восстановления работоспособности является одной из основных характеристик ремонтопригодности машин. Пустьτ1 ,τ2 ,...,τk — среднее время
восстановления элементов машины в каждой группе. В этом случае среднее время восстановления будет
k |
|
tB = t ∑niτi / ti , |
(4) |
i=1
которое определяет вероятность того, что восстанавливаемая машина в данный момент времени находится в рабочем состоянии.
Одним из комплексных показателей надежности является коэффициент готовности
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
kr = t |
/(t +tB ). |
||||||
Время наработки на отказ ti неремонтируемых элементов
машины, число отказов в случае ремонтируемых элементов и ряд других характеристик надежности подчиняются
различным законам распределения. Наиболее распространенным в технических устройствах является экспоненциальное распределение. Экспоненциальный закон надежности имеет вид
p(t) = e−λt , |
(6) |
где λ — интенсивность потока событий (отказов), постоянная величина.
Функция распределения времени безотказной работы
равна F (t) = q(t) =1 −e−λt , а плотность — f (t) = λe−λt |
(t > 0) . |
||||
Интенсивность отказов определяется по формуле |
|
||||
λ(t) = |
f (t) |
= |
m( t) |
|
(7) |
|
N tp(t) |
||||
|
p(t) |
|
|||
35
и характеризует среднее число отказов в единицу времени, приходящееся на один работающий элемент.
Надежность определяется через интенсивность отказов по формуле
|
|
−t |
|
|
|
|
|
∫ |
λ(t )dt |
|
(8) |
|
p(t) = e 0 |
. |
|
||
Еслиλ(t) = λ −const , |
то |
формула |
(8) |
выражает |
|
экспоненциальный закон надежности (6).
2°. Надежность простой системы. Под простой системой будем понимать такую систему элементов, отказ любого элемента которой равносилен отказу системы в целом. Простая система с точки зрения надежности представляет схему последовательного соединения элементов (рис. 8).
Рис. 8 Надежность простой системы Р, составленной из п
независимых по отказам элементов, равна произведению надежностей ее элементов
n
P = ∏pi
i=1 |
|
где pi — надежность i -го элемента. |
|
Если p1 = p2 = ... = pn , то формула (9) примет вид |
|
P = pn . |
(10) |
При последовательном (в смысле надежности) соединении независимых по отказам элементов интенсивности отказов складываются и интенсивность отказов простой системы равна
n |
|
Λ(t) = ∑λi (t). |
(11) |
i=1
Действительно, выразим интенсивности отказов простой
36
системыΛ(t) ) через интенсивности отказов отдельных ее элементов λi (t) . Согласно определению надежности через интенсивность (8), имеем
|
t |
|
|
|
−∫Λ(t )dt |
; |
|
|
P(t) = e 0 |
|
|
−∫t |
λi (t )dt |
|
|
pi (t) = e 0 |
(i =1,2,..., n). |
(12) |
|
Подставляя выражения (12) в выражение (9), получим
t |
t |
t |
|
t |
|
−∫Λ(t )dt |
−∫λ1 (t )dt |
−∫λ2 (t )dt |
−∫λn (t )dt |
||
e 0 |
= e 0 |
e 0 |
|
...e 0 |
= |
|
t |
|
|
t n |
|
− |
∫[λ1 (t )+λ2 (t )+...+λn (t )]dt |
|
−∫∑λi dt |
, |
|
= e |
0 |
|
= e 0 i =1 |
||
откуда и следует соотношение (11).
3°. Надежность резервированной системы. Для повышения надежности в систему включают резервные элементы «параллельно» тем, надежность которых недостаточна (рис. 9).
Рис. 9 Если основной элемент Э1 отказал, то система
переключается автоматически на резервный элемент Э2 и т. д. Переключение безотказное, надежность переключения рпр =1.
Вероятности безотказной работы элементов обозначим за р1 , р2 ,..., рn , а ненадежность элементов, соответственно, за
q1 , q2 ,..., qn . Ненадежность всей системы будет равна произведению ненадежностей элементов
37
|
|
Q = q1 q2 ... qn . |
|
(13) |
||
Поскольку надежность системы равна P =1 −Q , то |
|
|||||
|
P =1 − q1 q2 ... qn |
=1 −(1 − p1 )(1 − p2 )...(1− pn ) = |
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
=1 −∏(1 − pi ). |
|
|
(14) |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Если |
надежности |
всех |
элементов |
одинаковы |
||
p1 = p2 = ... = pn , то соотношения (14) примут вид |
|
|
||||
|
|
P =1 −(1− p)n . |
|
|
(15) |
|
В общем случае в резервированных системах могут |
||||||
использоваться |
как |
«параллельные», |
так |
и |
||
«последовательные» соединения элементов (рис. 10). |
|
|||||
Рис. 10
Полагаем, что все надежности элементов равны p , тогда надежность каждой «строки» равна pm (t) , где т — число
последовательных элементов в «строке». Поскольку «строки» представляют «параллельные» соединения элементов, то по формуле (15) получим
P =1 −(1 − pm )n , |
(16) |
здесь n — число «строк».
При оценке надежности сложной системы ее следует разделить на ряд подсистем, не имеющих общих элементов, и найти надежность каждой из них, а затем системы в целом.
38
4°. Предположим теперь, что переключение на резервный элемент имеет надежность, меньшую единицы.
Рис. 11 Пусть переключение на резервный элемент
осуществляется одним переключателем (рис. 11) с надежностью рпр . Рассматривая резервную систему как блок
параллельных соединений элементов, а переключатель и блок резервных элементов как последовательную, находим надежность этой подсистемы
p2′ = (1 −(1− p2 )(1 − p3 )...(1 − pn )) pпр. |
(17) |
|
Отсюда надежность всей системы будет |
|
|
P =1 −(1− p1 )(1− p2′). |
(18) |
|
Если каждый резервный элемент имеет свой |
||
переключатель, соответственно, с надежностью |
|
|
pпр(2) , pпр |
(3) ,..., pпр(n) , |
|
то, объединяя переключатели и резервные элементы в последовательные цепи, в выражении (14) надежность резервного элемента следует умножить на надежность переключателя
P =1 −(1 − p1 )(1 − p2 pпр(2) )(1 − p3 pпр ) ... (1 − pn pпр(n) ). (19)
Здесь надежность любого резервного элемента не зависит от того, включился он в работу или нет.
5°. Надежность резервной линии. Пусть линия имеет две резервные машины. Считаем, что потоки отказов простейшие, т. е. интенсивности отказов постоянные и что линия с
39