Учебное пособие 864
.pdfГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов специальностей 280103 "Защитавчрезвычайныхситуациях", 280101 "Безопасностьжизнедеятельности"
и направления 280200 "Защитаокружающейсреды" очной формы обучения
Воронеж 2010
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев
УДК 51 (075)
Кратные интегралы: Методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" для студентов специальностей 280103 "Защита в чрезвычайных ситуациях", 280101 "Безопасность жизнедеятельности" и направления 280200 "Защита окружающей среды" очной формы обучения / Воронеж. гос. техн. ун-т; Сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2010. 53 с.
Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" по разделу «Кратные интегралы» для студентов специальности 280103 (ЧС) и 280101 (БЖ) в 3 семестре. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решение типовых примеров.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и
содержатся в файле Vmfmm_KratInt1.pdf.
Ил. 31. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2010
1. Двойной интеграл и его вычисление
1°. Двойной интеграл является обобщением понятия опре-
деленного интеграла на случай функции двух переменных f(x, у) и представляет конечный предел двумерной интегральной суммы в области (S).
∫∫ f (x, y)maxlimx →0∑∑ f (xi , y j ) xi yj . |
(1) |
||||
(S ) |
|
i |
i |
j |
|
max |
yi →0 |
|
|||
где xi y j = (xi+1 − xi )(y j+1 − y j ) |
- площади элементарных об- |
ластей, на которые разбивается плоская область S.
На двойной интеграл распространяются свойства простого определенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, область интегрирования можно разбивать на части.
2°. Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов
b |
y2 |
(x) |
f (x, y)dy |
|
∫dx |
∫ |
(2) |
||
a y1 |
(x) |
|
|
|
или |
|
(y) |
|
|
c |
x2 |
f (x, y)dx |
|
|
∫dy |
∫ |
(3) |
||
d |
x1 (y) |
|
|
Если внутренний интеграл берется по переменной у, то переменная х рассматривается как постоянная, а если по х, то постоянной будет у. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле как правило являются переменными и зависят от переменной, которая рассматривается как постоянная, пределы же внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы интегрирования внутреннего и внешнего интеграла постоянны только тогда, когда область интегрирования является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат.
Область интегрирования интеграла (2) (рис. 1) a ≤ x ≤ b , y1 (x)≤ y ≤ y2 (x) такова, что любая прямая, параллельная оси у, пересекает ее границу только два раза. Вычисление двойного интеграла по области d ≤ y ≤ c , x1 (y)≤ x ≤ x2 (y)
(рис. 2) целесообразно выполнять по формуле (3), поскольку любая прямая, параллельная оси х, пересекает границу области только два раза.
Рис. 1
Рис. 2
3°. Если верхняя или нижняя граница области описывается несколькими функциями (рис. 3), то область интегрирования следует разбить прямой х = с на две области S1 и S2. Двойной интеграл по области S в этом случае разбивается на сумму интегралов
2
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy +∫∫ |
f (x, y)dxdy = |
|||
(S ) |
(S1 ) |
(S2 ) |
(4) |
|
= ∫c |
y(x) |
(x, y)dy + ∫b |
y(x) |
|
dx ∫ f |
dx ∫ f (x, y)dy. |
|||
a |
y1 (x) |
c |
y2 (x) |
|
Рис. 3 Если левая или правая граница области описывается не-
сколькими функциями (рис. 4), то область интегрирования S разбивается на две области S1 и S2, а двойной интеграл вычисляется по формуле
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy +∫∫ |
f (x, y)dxdy = |
|||
(S ) |
|
(S1 ) |
(S2 ) |
(5) |
= ∫b |
x(y) |
|
x(y) |
|
dy ∫ f (x, y)dx + ∫c |
dy ∫ f (x, y)dx. |
|||
d |
x1 (y) |
b |
x2 (y) |
|
Рис. 4
3
В случае более сложного контура область S разбивается на конечное число частей рассмотренных типов.
|
|
|
|
|
|
1 2 |
dxdy |
|
|
1.1. |
Вычислить двойные |
интегралы: а) ∫∫0 1 |
|
; |
|||
|
(x + y)2 |
|||||||
|
|
e y |
|
π |
|
2cosϕ |
|
|
2 |
x |
|
; г) ∫2 |
|
|
|
||
б) ∫dx∫ |
(x2 −2 y +1)dy ; в) ∫∫ ydxdy |
dϕ |
∫ ρ3d ρ . |
|
|
|||
1 |
0 |
1 1 |
x |
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
Решение. а) Поскольку пределы интегрирования постоянные величины, то первое интегрирование может быть по любой переменной. Запишем интеграл в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 dx∫1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Вычислим внутренний интеграл по у, считая, что х посто- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
янная величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
∫0 |
|
|
|
|
|
dx = − |
∫0 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
1 |
|
|
|
|
x +2 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Далее вычисляем внешний интеграл по х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x +1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
− |
|
dx |
=ln |
x +1 |
−ln |
x +2 |
=ln |
|
|
|
|
|
|
=ln |
|
|
−ln |
|
|
=ln |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫0 x +1 |
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
|
0 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от х,
то вычисляем сначала внутренний интеграл по у, считая х постоянной величиной
∫2 ((x2 y − y2 + y) |
|
0x )dx = ∫2 (x3 − x2 + x)dx . |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее находим внешний интеграл |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
4 |
|
x |
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
(x3 − x2 + x)dx = |
x |
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
= |
35 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
|
12 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от у, то интегрируем сначала по х, считая у постоянной величиной, а затем интегрируем по у
e |
y |
|
e |
y |
y |
|
|
|
|
e |
|
|
|||
∫∫ |
y |
dxdy = ∫dy |
∫ |
dx = ∫y ln x |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
|
x |
1 |
|
1 |
x |
|
1 |
|
|
||||
= ∫e |
y ln ydy = |
y2 |
ln y |
|
e |
− |
1 |
∫e |
ydy |
||||||
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
dy =
1
= e24+1.
г) Вычислим сначала внутренний интеграл
π |
2cosϕ |
|
|
π |
|
2cosϕ |
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫2 |
|
|
∫2 |
|
dϕ =4 ∫2 |
cos4 ϕdϕ = ∫2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dϕ ∫ |
ρ3dρ = |
1 |
|
ρ4 |
(1+cos2ϕ)2 dϕ = |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
π |
0 |
4 |
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−2 |
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
0 |
|
−2 |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
(1+cos4ϕ) |
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
1+ |
2cos2ϕ+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
ϕ+sin 2ϕ |
+ |
|
sin 4ϕ |
|
= |
|
π. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
1.2. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) ∫∫x cos (x + y)dxdy, где D |
|
|
≤ x ≤π, 0 ≤ y ≤ |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫∫(x + y)dxdy, |
где D ={y = 0, |
y = x2 , x = 2}; |
|
|
|
|
|
|
|
|
D
в) ∫∫xydxdy, где D ={y = −x, y = x2 , y =1};
D
г) ∫∫xdxdy, где область D ограничена осью Ox и одной аркой
D
циклоиды x = a (t −sin t ), y = a (1−cos t ).
Решение. а) Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем сначала по у, а затем по х
5
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
∫∫x cos (x + y)dxdy = π∫xdx∫2 cos (x + y)dy = π∫x sin (x + y) |
|
2 = |
||||||
D |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
π |
|
π |
|
|
|
π |
|
|
= ∫x sin |
+ x |
−sin x dx |
= ∫x (cos x −sin x)dx = |
|
|
|||
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
= π∫x cos xdx − |
π∫x sin xdx = x sin x − |
π∫sin xdx + x cos x − |
π∫cos xdx = |
||
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
= (x sin x +cos x + x cos x −sin x) |
|
π |
= −1−π −1 = −(2 +π ). |
||
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
б) Представим область интегрирования на рис 16.5. Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем
|
2 |
x2 |
2 |
|
y |
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||
∫∫(x + y)dxdy = ∫dx ∫(x + y)dy = ∫ xy + |
|
|
|
dx = |
||||||
2 |
||||||||||
D |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
x4 |
x4 |
|
|
x5 |
|
|
2 |
16 |
|
36 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
x |
|
+ |
|
dx = |
|
+ |
|
|
|
|
= 4 + |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫0 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
10 |
|
|
0 |
5 |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
в) Сделаем чертеж (рис. 6).
6
Рис. 6
Из совместного решения уравнений y = −x и y = x2 нахо-
дим точки пересечения прямой и параболы А (-1, 1), О (0, 0). Координаты точки В(1,1). Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем
∫∫xydxdxy = ∫1 |
|
|
y |
|
|
|
1 |
∫1 |
|
|
|
y |
|
|
1 |
∫1 |
(y2 |
− y3 )dy = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ydy ∫ xdx = |
yx2 |
|
dy = |
||||||||||||||||||||
D |
|
|
0 |
|
|
−y |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
−y |
|
|
2 |
0 |
|
|
||
|
1 |
|
|
y3 |
|
y4 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
3 |
|
24 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Для одной арки циклоиды параметр t изменяется от 0 до 2π , а переменная х от 0 до 2πa . Представляя функцию у в виде функции от х у =f(x), запишем искомый интеграл, разделяя переменные
|
2∫πa xdx |
y= f (x) |
I = ∫∫xdxdy = |
∫ dy . |
|
D |
0 |
0 |
Находя дифференциалы dx = a (1−cos t )dt, dy = a sin tdt и переходя во внешнем интеграле к переменной t, получим
7
|
2∫π a(t −sint)a(1−cost)dt |
a(1−cost) |
|
2∫π (t −sint)(1−cost)2 dt = |
|||||||||||||||
I = |
∫ |
dy =a3 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
=a3 |
2∫π (t −2t cost +t cos2 t −sint +sin 2t −sint cos2 t)dt = |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t2 |
|
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
||
=a |
|
|
|
−2t sint −2cost + |
|
t + |
|
|
sin 2t |
− |
|
|
t |
|
− |
|
cos2t |
+ |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
2π |
2 3 |
|
|
|
|
|||||||
+cost − |
|
cos2t + |
|
cos |
t |
|
=3π |
a . |
|
2 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
1.3. Изменить порядок интегрирования в двойных
2 |
x+2 |
2 |
2−y |
|
интегралах: а) ∫dx ∫ |
f (x, y)dy ; б) ∫dy |
∫ f (x, y)dx ; |
||
−1 |
x2 |
−6 |
y2 |
−1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Решение. а) По пределам интегрирования строим область |
интегрирования: у = х + 2, у = х2, х = 2, х = -1 (рис. 7). Решая совместно уравнения у = х + 2, у = х2, находим координаты точек пересечения прямой и параболы А (-1, 1), В (2,4).
Рис. 7
Поскольку слева область D ограничена линиями x = y −2 и x = − y , а справа x = y , то при изменении порядка интег-
рирования интеграл разбивается на два интеграла, соответственно, по областям DACOA и DABC
8
∫2 dxx∫+2 |
f (x, y)dy = ∫1 |
y |
|
y |
dy ∫ f (x, y)dx +∫4 |
dy ∫ f (x, y)dx . |
|||
−1 x2 |
0 |
− y |
1 |
y−2 |
б) Область интегрирования D ограничена линиями
x = 2 − y, x = y2 −1, y = 2, y = −6 (рис. 8). 4
Рис. 8 |
|
|
|
Решая совместно уравнения x = 2 − y и x = |
y2 |
−1, находим |
|
4 |
|||
|
|
координаты точек пересечения прямой и параболы А (0, 2) и В
(8, - 6). Сверху область D ограничена линиями: |
y = 2 x +1 |
||||||||
при −1 ≤ x ≤ 0 и y = 2 − x |
при |
0 ≤ x ≤8 , а снизу – |
параболой |
||||||
y = −2 |
|
x +1 . Следовательно, при изменении порядка интегри- |
|||||||
рования интеграл разбивается на два |
|
|
|
||||||
2 |
|
2−y |
0 |
2 x+1 |
8 |
2−x |
|
||
∫dy |
∫ |
f (x, y)dx = ∫dx |
∫ |
f (x, y)dy +∫dx |
∫ |
f (x, y)dy . |
|||
−6 |
y2 |
−1 |
−1 |
−2 x+1 |
0 |
−2 x+1 |
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле
1°. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным необходимо в подынтегральном выражении прямоугольные координаты заменить полярными по
9