Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 864

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

622.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

формула преобразования тройного интеграла имеет вид

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =

V	(6)
= ∫∫∫ f (ρsinθ cosϕ, ρsinθ sinϕ, ρ cosθ)ρ2 sinθdpdϕdθ.

Рис. 23

						1	x	y
	6.1. Вычислить следующие интегралы: а) ∫dx∫dy∫xyzdz ;
						0	0	0
б) ∫2	dx 2 x∫−x	2	z x2 + y2 dz ; в) ∫1	dx 1∫−x	2	1−x2 −y2
б) ∫2	dx 2 x∫−x	dy∫a	z x2 + y2 dz ; в) ∫1	dx 1∫−x		dy ∫	x2 + y2 + z2 dz .
0	0	0	0	0		0

Решение. а) Вычисление тройного интеграла начинается с вычисления внутреннего интеграла. Полагая х и у постоянными, интегрируем по z, тогда получим

I = ∫1 dx∫x xy		z2	y dy =	1	∫1	dx∫x xy3dy .

		2		2
0	0		0		0	0

Таким образом, тройной интеграл свелся к двойному. Вычисляем теперь двойной интеграл

I =	1	∫1	x	y4	xdx =	1	∫1 x5dx =	1	.

	2					8		48
		0	4		0		0

б) Данный интеграл следует вычислять в цилиндрической системе координат. Однако, целесообразнее сначала найти

внутренний интеграл по z, а затем перейти к полярной системе координат

I = ∫2 dx	2 x∫−x2		z2	a	dy = a2	∫2 dx 2 x∫−x2
		x2 + y2						x2 + y2 dy .

0	0	2		0	2	0	0

Область интегрирования последнего интеграла показана на рис. 24. Переходя к полярным координатам x = ρ cosϕ ,

y = ρsinϕ , будем иметь

		π		2cosϕ							π									π
	a2 2			2cosϕ						8a2 2							4			2			)
	a2 2			∫		2				8a2 2			3				4		2	2		2
I =		∫	dϕ	∫	ρ		d ρ =				∫	cos		ϕdϕ =				a		∫(	−sin
I =	2		dϕ		ρ		d ρ =			6		cos		ϕdϕ =			3	a		1	−sin		ϕ d sinϕ =
	2	0		0						6	0						3			0
					4						1				π		8
				=	4	a		2			1	sin	3		2	=	8		2	.
				=	3	a			sinϕ −		3	sin		ϕ		=	9	a		.
															0
															0

Рис. 24

в) Представим область интегрирования на рис. 25. Нетрудно заметить, что она займет первый октант единичного шара. Переходя к сферической системе координат, подынтегральная функция будет равна

x2 + y2 + z2 = (ρsinθ cosϕ)2 +(ρsinθ sinϕ)2 +(ρ cosθ)2 = ρ

Таким образом, пользуясь формулой (6) и расставляя пределы интегрирования, будем иметь

π π

I = ∫∫∫ρ ρ2 sinθd ρdϕdθ = ∫2 sinθdθ∫2 dϕ∫1 ρ3d ρ =

G						0	0	0
		π	π			π
=	1	∫2 sinθdθ∫2		dϕ =	π	∫2 sinθdθ =		π .
	4	0	0		8	0		8

Рис. 25
6.2. Вычислить интегралы: a) ∫∫∫V	dxdydz	, где V -
	(x + y + z +1)3

область, ограниченная координатными плоскостями и

плоскостью	x + y + z =1; б) ∫∫∫dxdydz ,		где	V	–	область
		V
ограниченная поверхностями		x2 + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2 = z2 и
содержащая	точку (0,0, R);	в) ∫∫∫zdxdydz	где	V	-	область,
		V

ограниченная конусом x2 + y2 = z2 т плоскостью z = h . Решение. а) Область интегрирования показана на рис. 26.

Рис. 26 Расставим пределы интегрирования


	dxdydz	1		1−x	1−x−y	dz
I = ∫∫∫			= ∫dx ∫ dy		∫			.
	(x + y + z +1)	3				(x + y + z +1)	3
V		0		0	0

Полагая х и у постоянными величинами, вычисляем внутренний интеграл по z

1−x

1−x−y

I = −

∫0 dx ∫0

dy =

(x + y + z +1)2

1−x

= −

1 −

= −

dx =

x + y +1

∫0

∫0 4

(x + y +1)

∫0

1 1

(1− x)

= −

∫0

−

dx =

ln 2 −

x +1

б)

Преобразуя

уравнение

сферы

виду

x2 + y2 +(z − R)2 = R2 , нетрудно заметить, что центр сферы

смещен по оси z на R. Таким образом, область интегрирования ограничена сверху сферической, а снизу конической поверхностью (рис. 27). Искомый интеграл в сферической системе координат примет вид

I = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫ρ2 sinθd ρdθdϕ .

V G

Рис. 27 Подставляя в уравнение сферы сферические координаты,

будем	иметь				ρ = 2R cosθ .			Расставляя	пределы
интегрирования, получим
		π						π
I =	2∫π dϕ∫4 sinθdθ				2R∫cosθ ρ2d ρ = 8R3 2∫π dϕ∫4 cos3 θ sinθdθ =
	0	0			0	3	0	0
	8R3		π	2∫π dϕ =πR3.
= −	8R3	cos4 θ	4	2∫π dϕ =πR3.
	3 4		0	0
			0	0

в) Проекция конуса на плоскость Оху есть круг х2 + у2 = h2 (рис. 28). Расставляя пределы интегрирования в тройном интеграле, будем иметь

	h	2		2		1	2π	2 ρ2		ρ4	h	h4π

I = ∫∫dxdy∫(h			− p		)ρd ρ =		∫ h		−		=		.
						2		2		4		4
S	0						0				0

Рис. 28

7. Вычисление величин посредством тройного интеграла

1°. Объем тела, занимающего область V, в декартовой системе координат определяется по формуле

V = ∫∫∫dxdydz .	(1)
V
Масса тела, занимающего область V, определяется по
формуле
m = ∫∫∫δ (x, y, z)dxdydz ,	(2)
где δ (x, y, z) - плотность тела в точке (x,y,z).

2°. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

mxy = ∫∫∫δ (x, y, z)zdxdydz;

mxz = ∫∫∫δ (x, y, z)ydxdydz;

(3)

myz = ∫∫∫δ (x, y, z)xdxdydz.

Координаты центра тяжести тела

x =

myz

; y

;

mxy

(4)

где m - масса тела.

3°. Моменты инерции тела относительно координатных осей

Ix = ∫∫∫δ (x, y, z)(y2 + z2 )dxdydz;

	y		V		(		)
I	y		∫∫∫	δ (x, y, z)	(	x2 + z2	)	(5)
I		=		δ (x, y, z)		x2 + z2	dxdydz;	(5)
			V		(
I	z	=	∫∫∫	δ (x, y, z)		x2 + y2	dxdydz.
	z		∫∫∫				)

4°. Моменты инерции относительно координатных плоскостей

Ixy = ∫δ (x, y, z)z2dV ;

V
Ixz = ∫δ (x, y, z)y2dV ;	(6)
V
Iyz = ∫δ (x, y, z)x2dV ,
V
где dV= dxdydz.
Полярный момент инерции равен
I0 = Ixy + Ixz + I yz = ∫δ (x, y, z)(x2 + y2 + z2 )dV .	(7)

5°. Если в теле объема V непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке М (x,y,z) плотностью

δ (M )=δ (x, y, z), ТО проекции на оси координат полной силы

притяжения FG на точку A(xc,yc,zc), в которой, мы считаем, сосредоточена единица массы, согласно закону притяжения Ньютона, определяются по формулам


Fx = ∫	x − xc	δdV ; Fy = ∫	y − yc	δdV ; Fz = ∫		z − zc	δdV , (8)
	3		3			3
V	r	V	r		V	r
где r = (x − xc )2 +(y − yc )2 +(z − zc )2					- расстояние МA.

6°. Ньютоновское поле потенциально. Выражение для

потенциала поля тела объема V с плотностью δ		на точку А
имеет вид
W = ∫δdV		(9)
V	r

Если тело однородно, то в приведенных формулах следует положить δ (x, y, z)=1.

7.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x2 + y2 , z = x2 +2y, y = x, y = 2x, x =1;

б) x2 + y2 = z2 , x2 + y2 + z2 = a2 , внутри конуса;

Решение. а) Объем тела в декартовой системе координат определяется по формуле

V = ∫∫∫dxdydz .

V
Тело сверху и снизу ограничено	параболлойдами
z = x2 +2 y2 и z = x2 + y2 . Проекция тела на	плоскость Оху

показана на рис. 29. Расставляя пределы интегрирования, получим

1	2 x	x2 +2 y2			1	2 x		1	1		7
V = ∫dx ∫dy			∫		dz = ∫dx ∫		y2dy =		∫7x3dx =			.
		2		2				3		12
0	x		+y		0	x			0
		x

Рис. 29 б) Представим искомый объем на рис. 30. Поскольку тело,

заключенное внутри конуса, симметрично относительно начала координат, то его объем в сферической системе координат равен

V = 2∫∫∫ρ2 sinθd ρdθdϕ = 22∫π dϕ∫4 sinθdθ∫a ρ2d ρ =

G						0		0	0
	2π		π		3
= − 2 a3			4	dϕ = 4πa				2
	∫	cosθ				1	−		.

3				3				2
	0		0

Рис. 30

7.2. Определить массу: а) пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z = a, х = 0, y = 0, z = 0, если плотность в каждой ее точке равна аппликате z этой точки; б) сферического слоя между поверхностями x2+y2+z2=R2 и х2 + у2 + z2 = 4R2, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

Решение, а) Пирамида показана на рис. 31. Поскольку по

условию задачи плотность

δ (x, y, z)= z ,

то,

пользуясь фор-

мулой (2), будем иметь

a−x−y

a a−x

a−x

(a − x − y)2 dy =

m = ∫∫∫zdxdydz = ∫dx

∫ dy

∫

zdz =

∫dx

∫

= 1

(a − x)2 y −(a − y)y2 +

a−x

dx =

(a − x)3 dx =

∫0

24.

Рис. 31 38

б) Поскольку расстояние точки от начала координат

определяется

выражением

x2 + y2 + z2 то

плотность

будет

равна δ (x, y, z)=

Пользуясь

формулой

(2)

x2 + y2 + z2

сферической системе координат, получим

2∫R ρd ρ =

m = ∫∫∫

ρ2 sinθd ρdθdϕ =

2∫π dϕπ∫sinθdθ

= − 3 R2

2∫π cosθ

dϕ = 6πR2 .

7.3. Найти координаты центра тяжести однородного тела,

ограниченного поверхностями: х + у + z=1, х = 0 у = 0, z = 0.

Решение. Масса тела определяется по формуле (2)

1−x

1−x−y

1−x

(1− x − y)dy = 1

m = ∫dx ∫ dy ∫

dz = ∫dx ∫

∫(1− x)2 dx = 1 .

По формулам (3) находим статические моменты

1−x

1−x−y

1−x

mxy

= ∫dx ∫

∫ zdz = 1

∫dx

∫

(1− x − y)dy =

∫(1− x)3 dx =

;

1−x

1−x−y

1−x

mxz

= ∫dx ∫

ydy

∫

dz = ∫dx ∫

(1− x − y)dy =

∫(1− x)3 dx =

;

1−x

1−x−y

1−x

myz

= ∫xdx

∫ dy

∫

dz = ∫xdx ∫ (1− x − y)dy = 1

∫(1− x)2 dx =

Таким образом, по формулам (4)

= y

= z

= 1 .

7.4.

Найти

координаты

центра

тяжести

сферы

x2 + y2 + z2

= 2az ,

если

плотность в

точках

сферы обратно

пропорциональна расстоянию этих точек от начала координат.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022268.43 Кб12Учебное пособие 86.pdf
#
30.04.2022618.15 Кб10Учебное пособие 860.pdf
#
30.04.2022619.43 Кб1Учебное пособие 861.pdf
#
30.04.2022620.26 Кб4Учебное пособие 862.pdf
#
30.04.2022620.71 Кб3Учебное пособие 863.pdf
#
30.04.2022622.42 Кб3Учебное пособие 864.pdf
#
30.04.2022622.72 Кб2Учебное пособие 865.pdf
#
30.04.2022623.88 Кб13Учебное пособие 866.pdf
#
30.04.2022624.75 Кб11Учебное пособие 867.pdf
#
30.04.2022625.43 Кб12Учебное пособие 868.pdf
#
30.04.2022626.65 Кб10Учебное пособие 869.pdf