Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 864

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

622.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Решение. Центр сферы сдвинут по оси Oz на величину радиуса. По соображениям симметрии, очевидно, что хс и ус равны 0.

По условию задачи плотность равна δ =	1	,
	x2 + y2 + z2

тогда

m = ∫∫∫		dxdydz					.
	x	2	+ y	2	+ z	2
V

Переходя к сферическим координатам и расставляя пределы интегрирования по V, будем иметь

	π			π
2π	2	2a cosθ	2π	2	4πa	2
m = ∫dϕ∫sinθdθ		∫	ρd ρ = 2a2 ∫ dϕ∫sinθ cos2 θdθ =		4πa	.
0	0	0	0	0	3

Статический момент относительно плоскости Оху по формуле (3) равен

zdxdydz

2π

2a cosθ

mxy = ∫∫∫

= ∫ dϕ∫sinθ cosθdθ ∫ ρ

d ρ =

+ y

+ z

= −

16a3π ∫2 cos4 θd cosθ =

16πa3 .

Таким образом, zc = 54 a .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Вычислить.

1.1.	∫∫(12x2 y2 +16x3 y3 )dxdy;	1.2.	∫∫(9x2 y2 +48x3 y3 )dxdy;
	D		D

	D : x =1, y = x2 , y = − x.
1.3.	∫∫(36x2 y2 −96x3 y3 )dxdy;	1.4.
1.3.	D	1.4.
	D : x =1, y = 3 x, y = −x3.
1.5.	∫∫(27x2 y2 +48x3 y3 )dxdy;	1.6.
1.5.	D	1.6.
	D : x =1, y = x2 , y = −3 x.
1.7.	∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;	1.8.
1.7.	D	1.8.

D : x =1, y = x, y = −x2.

∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;

D : x =1, y = x3 , y = −3 x.

∫∫(18x2 y2 +32x3 y3 )dxdy;

D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .

∫∫(27x2 y2 +48x3 y3 )dxdy;

	D : x =1, y = x3 , y = − x.	D : x =1, y = x, y = −x3.
1.9.	∫∫(4xy +3x2 y2 )dxdy;	1.10.	∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy;
1.9.	D	1.10.	D
	D : x =1, y = x2 , y = − x.		D : x =1, y = x, y = −x2 .
	∫∫(8xy +9x2 y2 )dxdy;	1.12.	∫∫(24xy +18x2 y2 )dxdy;
1.11. D		1.12.	D

D : x =1, y = 3 x,

∫∫(12xy +27x2 y2

1.13.D

D :	x =1,		y = x2 ,
	4	xy +	9	x	2	y	2


1.15. ∫∫D	5		11

y = −x3.

)dxdy;

1.14.

y = −3 x.

dxdy;

1.16.

	D : x =1, y = x3 , y = − x.
1.17.	∫∫(24xy −48x3 y3 )dxdy;	1.18.
1.17.	D	1.18.

D : x =1, y = x2 , y = − x.

D : x =1, y = x3 , y = −3 x.

∫∫(8xy +18x2 y2 )dxdy;

D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .

∫∫D	4	2	2
∫∫D	5	xy +9x y
		xy +9x y	dxdy;

D : x =1, y = x, y = −x3.

∫∫(6xy +24x3 y3 )dxdy;

D : x =1, y = x, y = −x2 .

1.19.

∫∫(

4xy +16x3 y3 )dxdy;

1.20.

∫∫(4xy +16x3 y3 )dxdy;

D : x =1, y = 3 x, y = −x3.

D : x =1, y = x3 , y = −3 x.

1.21.

∫∫(

44xy +16x3 y3 )dxdy;

1.22.

∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy;

D : x =1, y = x2 , y = −3 x.

D : x =1, y = 3 x, y = −x3.

1.23.

∫∫(xy −4x3 y3 )dxdy;

1.24.

∫∫(4xy +176x3 y3 )dxdy;

D : x =1, y = x3 , y = − x.

D : x =1, y = x, y = −x3.

∫∫(9x

+25x

)dxdy;

dxdy;

1.26.

1.25. ∫∫D

D : x =1, y = x2 , y = − x.

D : x =1, y = x, y = −x2 .

∫∫(9x

+25x

)dxdy;

dxdy;

1.28.

1.27. ∫∫D

D : x =1, y = 3 x, y = −x3.

D : x =1, y = x3 , y = −3 x.

1.29.

∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy;

∫∫(xy −9x5 y5 )dxdy;

1.30.

D : x =1, y = x2 , y = −3 x.

D : x =1, y = 3 x, y = −x2 .

∫∫(54x2 y2 +150x4 y4 )dxdy;

1.31.D

	D : x =1, y = x3 , y = − x.
Задача 2. Вычислить.					xy
	∫∫yexy/2dxdy;	∫∫y	2	sin	xy	dxdy;
2.1.	∫∫yexy/2dxdy;	∫∫y		sin	2	dxdy;
2.1.	D	2.2. D				x

D : y = ln 2, y = ln 3, x = 2, x = 4.	D :	x = 0, y = π , y = 2 .

2.3.

∫∫y cos xy dxdy;

2.4.

∫∫y2e−xy/4dxdy;

D : y =π / 2, y =π, x =1, x = 2.

D : x = 0, y = 2, y = x.

2.5.

∫∫y sin xy dxdy;

2.6.

∫∫y2 cos xy dxdy;

D : y =π / 2, y =π, x =1, x = 2.

D : x = 0, y = π 2, y = x 2.

∫∫4 ye2 xy dxdy;

∫∫4 y2 sin xy dxdy;

2.7. D

2.8. D

π , y = x.

D : y = ln 3, y = ln 4, x =

1 , x =1.

D : x = 0, y =

∫∫y cos 2xy dxdy;

∫∫y2e−xy/8dxdy;

2.9.

2.10.

D : y = π ,

y =π, x =

, x =1.

D : x = 0, y = 2, y =

∫∫12 y sin 2xy dxdy;

∫∫y

cos xy dxdy;

2.11.

D : y = π

, y = π , x

2.12. D

= 2, x = 3.

D : x = 0, y = π , y = x.

∫∫y2 sin 2xy dxdy;

2.13.

∫∫yexy / 4dxdy;

2.14.

D : y = ln 2, y = ln 3, x = 4, x =8.

∫∫2 y cos 2xy dxdy;

2.15. D

D : y = π4 , y = π2 , x =1, x = 2.

∫∫y sin xy dxdy;

2.17.D

D : y =π, y = 2π, x = 12 , x =1.

D : x = 0, y = 2π , y = 2x.

∫∫y2e−xy/2dxdy;

2.16.D

D : x = 0, y = 2, y = x.

∫∫y2 cos 2xy dxdy;

2.18. D	π		x
D : x = 0, y =		, y =		.
	2
		2

∫∫8ye4 xy dxdy;

∫∫

3y2 sin

dxdy;

3.19. D

2.20. D

D : y = ln 3, y = ln 4, x =

, x =

: x = 0, y

4π

, y =

∫∫y cos xy dxdy;

∫∫y2e−xy/2dxdy;

2.21.

2.22.

D : y =π, y = 3π, x =1 2, x =1.

D : x =

0, y =1, y =

∫∫y sin 2xy dxdy;

2.23.

∫∫y2 cos xy dxdy;

2.24. D

D : y =π 2, y =3π 2, x =1 2, x = 2.

D : x = 0, y = π , y = 2x.

∫∫6 yexy /3dxdy;

∫∫y2 sin

dxdy;

2.25.

2.26.

D : y = ln 2, y = ln 3, x =3, x = 6.

D : x = 0, y = π , y = x.

2.27.

∫∫y cos 2xy dxdy;

∫∫y2e−xy /8dxdy;

2.28. D

D : y =π 2, y =3π 2, x =1 2, x = 2.

D : x = 0, y = 4, y = 2x.

∫∫3y sin xy dxdy;

2.30. ∫∫D

y2 cos

dxdy;

2.29.

D : y =π 2, y =3π, x =1, x = 3.

D : x = 0, y = 2π , y = 2x.

∫∫12 ye6 xy dxdy;

2.31.D

D : y = ln 3, y = ln 4, x =1 6, x =1				3.
	Задача 4. Вычислить.
∫∫∫2 y2exy		dx dy dz;		∫∫∫x2 z sin (xyz)		dx dy dz;
3.1. V	x = 0,	y =1, y = x,	3.2.	V	x = 2, y =π	, z =1,
V		z =1.		V
	z = 0,	z =1.			x = 0, y =1, z = 0.

	∫∫∫y2ch (2xy) dx dy dz;
3.3.	V	x = 0, y = −2, y = 4x,
	V				= 0, z		= 2.
		z
	∫∫∫x2sh (3xy) dx dy dz;
3.5.	V	x =1, y = 2x, y = 0,
	V				= 0, z		= 36.
		z
	∫∫∫			2	π
					4
			y cos				xy dx dy dz;
3.7.	V	x = 0, y = −1, y = x 2,
	V				= 0,	z	= −π2 .
		z
	∫∫∫y2e−xy					dx dy dz;

3.9. V x = 0,

V z = 0,

∫∫∫y2ch (

y= −2, y = 4x,

z=1.

2xy) dx dy dz;

3.11.	V	x = 0, y =1, y = x,
	V				= 0, z =8.
		z
	∫∫∫y2exy 2					dx dy dz;
3.13.	V	x = 0, y = 2, y = 2x,
	V				= 0, z = −1.
		z
	∫∫∫			2	πxy
						2
			y cos			dx dy dz;
3.15.	V	x = 0, y = −1, y = x,
	V				= 0, z = 2π2 .
		z

	∫∫∫		8y2 z e2 xyz dx dy dz;
3.4.	V	x = −1, y = 2, z =1,
	V			= 0, y = 0, z = 0.
		x
	∫∫∫y2 z cos (xyz) dx dy dz;
3.6.	V	x =1, y = 2π, z = 2,
V				= 0, y =1, z = 0.
		x
	∫∫∫x2 z sin xyz dx dy dz;
3.8.	V			4
		x		=1, y = 2π, z = 4,
	V
				= 0, y = 0, z = 0.
		x
	∫∫∫2 y2 z e2 xyz dx dy dz;
3.10.		V	x =1, y =1, z =1,
	V
			x = 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫x2 z sh (xyz) dx dy dz;
3.12.	V	x = 2, y =1, z =1,
	V			= 0, y = 0, z = 0.
		x
	∫∫∫y			2 z cos xyz dx dy dz;
3.14.	V			3
			x = 3, y =1, z = 2π,
	V

			x = 0, y = 0, z = 0.
	∫∫∫x2 z sh (xyz) dx dy dz;
3.16.	V	x =1, y = −1, z =1,
V				= 0, y = 0, z = 0.
		x

∫∫∫y2cos (πxy) dx dy dz;

3.17. V	x = 0,	y =1, y = 2x,
V		z =π2 .
	z = 0,	z =π2 .

∫∫∫2x2 z sh (2xyz) dx dy dz;

3.18. V	x = 2, y =1 2, z =1 2,
V		= 0.
	x = 0, y = 0, z	= 0.

∫∫∫x2sh (2xy) dx dy dz;

3.19. V x = −1, y = x, y = 0,

=0, z =8.

∫∫∫y2ch (xy) dx dy dz;z

	∫∫∫x2 z sin xyz dx dy dz;
3.20.	V		2
		x	=1, y = 4, z =π,
	V
			= 0, y = 0, z = 0.
		x

∫∫∫x2 z ch (xyz) dx dy dz;

3.21.

x = 0, y = −1, y = x,

= 0, z

= 2.

∫∫∫

dx dy dz;

x cos

3.23.

= 2, y

= x, y = 0,

= 0, z

=π.

∫∫∫x2cos (πxy) dx dy dz;

3.25.

x =1, y = 2x, y = 0,

= 0, z

= 4π.

∫∫∫V

dx dy dz

;

z 4

3.27. V : 1+

=1,

x = 0, y = 0, z = 0.

3.22.		V	x =1,					y =1,	z =1,
	V
			x = 0, y = 0, z = 0.
		∫∫∫y2 z cos xyz							dx dy dz;
3.24.		V						9
3.24.		V		x			= 9, y =1, z = 2π,
		V		x			= 9, y =1, z = 2π,
		V					= 0, y = 0, z = 0.
				x			= 0, y = 0, z = 0.
∫∫∫y				2			xyz		dx dy dz;
∫∫∫y					z ch				dx dy dz;
3.26.	V							2
3.26.	V	x = 2, y = −1, z = 2,
V		x = 2, y = −1, z = 2,
V
		x = 0, y = 0, z = 0.
∫∫∫		2 y2 z ch (2xyz)							dx dy dz;
V
3.28.			=			1	, y = 2, z = −1,
V	x		=			2	, y = 2, z = −1,
V						2
			= 0, y = 0, z = 0.
	x		= 0, y = 0, z = 0.

∫∫∫x2sin (4πxy) dx dy dz;

∫∫∫8y2 z e−xyz dx dy dz;

3.29.

x =1, y = x 2, y = 0,

3.30.

x = 2, y = −1, z = 2,

= 0, z =8π.

x = 0, y = 0, z = 0.

∫∫∫x2sh (xy) dx dy dz;

3.31.

x = 2, y = x 2, y = 0,

= 0, z =1.

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной

данными линиями.

4.1. y =3

x, y = 4ex , y = 3, y = 4.

4.2. x =

36 − y2 , x = 6 −

36 − y2 .

4.3. x2 + y2

= 72, 6 y = −x2 (y ≤ 0). 4.4. x =8 − y2 , x = −2 y.

4.5. y =

y =8ex , y = 3,

y =8.

4.6. y =

, y =

, x =16.

(y ≤ 0).

4.7. x = 5 − y2 , x = −4 y.

4.8. x2 + y2

=12,

6y = x2

4.9. y =

12 − x2 , y = 2 3 −

12 − x2 ,

4.10. y =

x, y =

, x =9.

x = 0 (x ≥ 0).

y =

24 − x2 , 2 3y = x2 ,

y = sin x, y = cos x,

4.11.

x = 0 (x ≥ 0).

4.12. x = 0,

(x ≥ 0).

4.13. y = 20 − x2 , y = −8x.

4.14. y = 18 − x2 , y =3 2 −

18 − x2 .

4.15. y = 32 − x2 , y = −4x.

4.16. y = 2

x, y = 5ex , y = 2, y = 5.

x2 + y2 = 36, 3 2 y = x2

4.17.

(y ≥ 0).

4.18. y = 3

x, y = 3 x , x = 4.

4.19. y = 6 − 36 − x2 , y =

36 − x2 ,

4.20. y = 25 4 − x2 , y = x −5 2.

x = 0 (x ≥ 0).

4.21. y =

x, y =1 x , x =16. 4.22. y = 2

x, y = 7ex , y = 2, y = 7.

4.23. x = 27 − y2 , x = −6 y.

4.24.

x = 72 − y2 , 6x = y2 ,

= 0 (y ≥ 0).

4.25. y = 6 − x2 , y =

6 − 6 − x2 . 4.26. y = 3

x, y =

, x = 4.

y = sin x, y = cos x,

4.27. x = 0,

(x ≤ 0).

4.28.

y = x , y =

, y

=1, y = 6.

4.29. y = 3

x, y = 3 x , x = 9.

4.30. y =11− x2 , y = −10x.

4.31. x2 + y2

=12,

6 = y2

(x ≥ 0).

Задача 5.

Пластинка D задана ограничивающими ее

кривыми, μ - поверхностная

плотность.

Найти

массу

пластинки.

D : x =1, y = 0, y2

= 4x (y ≥

0); 5.2.

D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4,

5.1.

x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

μ = 7x2 + y.

μ =(x + y) (x2 + y2 ).

D : x =1, y = 0, y2

= 4x (y ≥ 0); 5.4.

D : x2 + y2

=9, x2 + y2

=16,

5.3.

x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

μ = 7x2 2 +5y.

μ =(2x +5y) (x2 + y2 ).

D : x = 2, y = 0, y2

= 2x (y ≥

0); 5.6.

D : x2 + y2

=1, x2 + y2 =16,

5.5.

x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

μ = 7x2 8 + 2 y.

μ =(x + y) (x2 + y2 ).

D : x = 2, y = 0, y2

= x 2 (y ≥ 0); 5.8.

D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 25,

5.7.

x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0);

μ = 7x2 2 +6 y.

μ =(2x −3y) (x2 + y2 ).

D : x =1, y = 0, y2

= 4x (y ≥ 0); 5.10.

D : x2 + y2 =1, x2 + y2 =9,

5.9.

x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0);

μ = x +3y2 .

μ =(x − y) (x2 + y2 ).

							D : x2 + y2 =9, x2 + y2 = 25,
5.11.	D : x =1, y = 0, y2				= x (y ≥ 0); 5.12.			x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0);
	μ =3x +6 y2 .							μ =(2 y − x) (x2 + y2 ).
								μ =(2 y − x) (x2 + y2 ).
5.13. D : x = 2, y = 0, y2					= x 2 (y ≥	0);	D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 =16,
5.13. D : x = 2, y = 0, y2					= x 2 (y ≥	0);	5.14.	x = 0, y = 0(x ≤ 0, y ≥ 0);
	μ = 2x +3y2 .							μ =(2 y −3x) (x2 + y2 ).
								μ =(2 y −3x) (x2 + y2 ).
	D : x =	1	, y = 0, y2 =8x (y ≥			0);	D : x2 + y2 =9, x2 + y2 =16,
5.15.		1					5.16.	x = 0, y = 0 (x ≤ 0, y ≥ 0);

	2
	μ = 7x +3y2 .							μ =(2 y −5x) (x2 + y2 ).
5.17. D : x =1, y = 0, y2							D : x2 + y2 =1, x2 + y2 =16,
5.17. D : x =1, y = 0, y2					= 4x (y ≥ 0); 5.18.			x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);
	μ = 7x2 + 2 y.							μ =(x +3y) (x2 + y2 ).
								μ =(x +3y) (x2 + y2 ).
5.19. D : x = 2, y2				= 2x, y = 0 (y ≥ 0); 5.20.				D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4,
5.19. D : x = 2, y2				= 2x, y = 0 (y ≥ 0); 5.20.				x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);
	μ = 7x2			4 + y	2.			μ =(x + 2 y) (x2 + y2 ).
								μ =(x + 2 y) (x2 + y2 ).
5.21. D : x = 2, y = 0, y2							D : x2 + y2 =1, x2 + y2 =9,
5.21. D : x = 2, y = 0, y2					= 2x (y ≥	0); 5.22.		x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0);
	μ = 7x2			4 + y.				μ =(2x − y) (x2 + y2 ).
								μ =(2x − y) (x2 + y2 ).
5.23. D : x = 2, y = 0, y2					= x 2 (y ≥ 0); 5.24.			D : x2 + y2 =1, x2 + y2 = 25,
5.23. D : x = 2, y = 0, y2					= x 2 (y ≥ 0); 5.24.			x = 0, y = 0(x ≥ 0, y ≤ 0);
	μ = 7x2			2 +8y.				μ =(x −4 y) (x2 + y2 ).
								μ =(x −4 y) (x2 + y2 ).
5.25. D : x =1, y = 0, y2							D : x2 + y2 = 4, x2 + y2 =16,
5.25. D : x =1, y = 0, y2					= 4x(y ≥ 0); 5.26.			x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≤ 0);
	μ = 6x +3y2 .							μ =(3x − y) (x2 + y2 ).
								μ =(3x − y) (x2 + y2 ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022268.43 Кб12Учебное пособие 86.pdf
#
30.04.2022618.15 Кб10Учебное пособие 860.pdf
#
30.04.2022619.43 Кб1Учебное пособие 861.pdf
#
30.04.2022620.26 Кб4Учебное пособие 862.pdf
#
30.04.2022620.71 Кб3Учебное пособие 863.pdf
#
30.04.2022622.42 Кб3Учебное пособие 864.pdf
#
30.04.2022622.72 Кб2Учебное пособие 865.pdf
#
30.04.2022623.88 Кб13Учебное пособие 866.pdf
#
30.04.2022624.75 Кб11Учебное пособие 867.pdf
#
30.04.2022625.43 Кб12Учебное пособие 868.pdf
#
30.04.2022626.65 Кб10Учебное пособие 869.pdf