Учебное пособие 792

в) Находим накопленные частоты для каждого из интервалов вариационного ряда γ1 = n1 = 2 ; γ2 = n1 +n2 =3;

γ3 = n1 +n2 +n3 =9 ; γ4 = 20 ; γ5 = 26 ; γ6 =30 ; γ7 =33 ; γ8 =36 ;

Подставляя частоты в третью строку таблицы, получим кумулятивный ряд.

г) Откладывая накопленные частоты по оси ординат, интервалы по оси абсцисс, получим кумулянту (рис. 8).

Рис. 8

Откладывая на оси абсцисс накопленные частоты, а на оси ординат границы интервалов, получим огиву (рис. 9).

Рис. 9

10

2. Средние значения признака совокулности

1°. Генеральной средней при наличии в совокупности повторяющихся значений признака называется среднее значение изучаемого признака в генеральной совокупности

где Ni - частота признака xi .

При отсутствии повторений признака используется формула средней арифметической

2°. Генеральной долей называется отношение количества единиц М, обладающих данным признаком, к численности генеральной совокупности

p = MN .

Выборочная доля определяется отношениемw = m / n , где т — количество единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности п. Ошибка репрезентативности определяется разностью = w − p.

11

Пусть значения признака X генеральной или выборочной совокупности разбиты на несколько групп. Групповой средней называется среднее арифметическое значение признака в группе. Общая средняя совокупности равна средней арифметической групповых средних, взвешенных по объемам групп.

Если варианты xi — большие числа, то с целью

упрощения расчета из каждой варианты следует вычесть некоторое число х0 , близкое к среднему значению, т. е.

перейти к условным вариантам u = хi − х0 . В этом случае среднее арифметическое выборки определяется по формуле

к = 2 — среднее квадратическое ; к = 3 — среднее кубическое и т.д. При к = -1 среднее степенное называется средним гармоническим.

Среднее геометрическое определяется по формуле

х = n х1n1 х2n2 ...хini (∑ni = n, хi > 0) . i

2.1. Из генеральной совокупности взята выборка, определяемая распределением

12

Найти ошибку репрезентативности, если генеральная средняя равна Х = 6 .

Ошибка репрезентативности равна

=х − Х = 6,04 −6 = 0,04.

2.2.В цехе из 1000 рабочих 126 женщин. В выборочной совокупности из 100 человек их оказалось 14.Найти ошибку репрезентативности.

Решение. Генеральная доля женщин в генеральной

13

2.4. Пусть известно распределение роста мужчин

Найти среднее арифметическое роста.

Решение. Считаем, что среднее значение искомого признака примерно 170 см. Воспользуемся формулой (4), необходимые вычисления по которой приведены в таблице

14

3. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

1°. Генеральной дисперсией называется средняя

взвешенная квадратов отклонений значений признака от их среднего значения

Выборочной дисперсией называется средняя взвешенная квадратов отклонений значений признака от их среднего значения в выборке

Дисперсия равна разности среднего квадратов значений и квадрата общей средней

2°. Выборочным средним квадратическим отклонением

называется квадратный корень из выборочной дисперсии

Исправленная выборочная дисперсия обозначается за s2 и определяется по формуле

Среднее квадратическое отклонение в этом случае равно

σ = s2 .

Если n>30, то формулы (2) и (5) практически совпадают.

Средним абсолютным отклонением δ называется среднее арифметическое абсолютных отклонений

15

3°. Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (в процентах):

υ = хs 100% .

Размахом вариации называется разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.

4°. Если совокупность разбита на группы, то групповой дисперсией называется дисперсия значений признака некоторой группы, относительно ее групповой средней

Dх =(∑ni (хi − х)2 )/ ∑ni .

Если известны дисперсии каждой группы, то внутригрупповой дисперсией называется средняя арифметическая дисперсия, взвешенная по объемам групп.

Dвгр =(∑Ni Diгр )/ N =(nDх +mDy )/ (m +n),

где N— объем всей совокупности; Ni -объем группы.

Если известны групповые средние и общая средняя, то межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней

Dмгр =(m(x − z )2 +m(y − z )2 )/ (m +n),

где z - общая средняя.

Общей дисперсией называется дисперсия признака всей

16

3.1. Дана выборочная совокупность распределения

Найти: а) выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение; б) среднее абсолютное

Дисперсия, найденная по формуле (3), дает тот же самый результат

17

Найти: а) групповые дисперсии; б) внутригрупповую дисперсию; в) межгрупповую и общую дисперсию.

Решение. а) Найдем групповые средние:

x = (∑ni xi )/ ∑ni = (1 1+6 4 +3 5)/ (1+6 +3)= 4;

y = (∑mi yi )/ ∑mi = (1 1+3 3 +2 4)/ (1+3 +2)= 3.

Искомые групповые дисперсии:

Dx = (∑ni (xi − x )2 )/ n = (1(1−4)2 +6(4 −4)2 +3(5 −4)2 )/10 =1, 2; Dy = (∑mi (yi − y )2 )/ m = (1(1−3)2 +3(3 −3)2 +2(4 −3)2 )/ 6 =1;

б) Внутригрупповая дисперсия равна

Dвгр =(10 1, 2 +6 1)/16 = 89.

в) Найдем общую среднюю

Межгрупповая дисперсия равна

Находим общую дисперсию по формуле (8)

3.3. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие значения 80, 83, 87, 89, 91. Найти выборочную и исправленную дисперсии ошибок измерений.

Решение. Найдем сначала выборочную среднюю

18

x =80 + 0 +3 +7 +9 +11 =86. 5

Выборочная дисперсия, вычисленная по формуле (2), будет равна

По формуле (5) найдем исправленную дисперсию s2 = nn−1 D = 54 16 = 20.

3.4. Найти исправленную выборочную дисперсию по заданному распределению

u 45

3.5. Найти исправленную выборочную дисперсию по заданному распределению

19