Учебное пособие 792

Представленная в виде таблицы совокупность вариант и соответствующих им частот или относительных частот называется статистическим распределением выборки.

2°. Пусть известно статистическое распределение частот количественного (дискретного или непрерывного) признака X.

Функцией распределения выборки или эмпирической функцией распределения называется функция F*(x),

определяющая относительную частоту события Х<х для каждого значения х:

F (х) = nnх ,

где nх — число вариант, при которых значение признака

меньше х, n — объем выборки.

Свойства эмпирической функции распределения:

1)функция F (х) —неубывающая;

2)значения функции F (х) принадлежат отрезку [0,1];

3)если х1 — наименьшая варианта, а хk — наибольшая, то

эмпирическая функция F (х) =0 при х ≤ х1 и F (х) =1 при

хi ≤ хk .

3°. Геометрическая иллюстрация статистического распределения представляется графическим изображением вариационных рядов: полигоном, гистограммой, кумулянтой и огивой.

При построении полигона частот на оси абсцисс прямоугольной системы координат откладывают варианты xi ,а на оси ординат — соответствующие им частоты ni .

Ломаная линия, соединяющая точки (хi,ni ) , называется

полигоном частот . Если по оси ординат откладывать относительные частоты wi — соответствующие вариантам xi ,

то ломаная линия, соединяющая точки (хi, wi ) , называется

полигоном относительных частот.

2

Гистограмма — графическое изображение интервального вариационного ряда. В случае непрерывного распределения признака в некотором интервале, интервал разбивают на несколько частичных интервалов длины h и находят суммы частот ni в каждом частичном интервале. При построении

гистограммы на оси абсцисс откладывают интервалы значений признака h, и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой равной отношению ni / h , где ni —

частота вариант i-го интервала; ni / h — плотность частоты.

Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

Если высоты прямоугольников равны wi / h — плотности

относительных частот, то ступенчатая фигура, состоящая из этих прямоугольников, называется гистограммой относительных частот.

Накопленной частотой в точке xi называется суммарная

частота элементов статистической совокупности со значениями признака, меньшими чем xi .

Если на оси ординат откладывать накопленные частоты yi (х) , а на оси абсцисс соответствующие границы интервалов

xi , то ломаная линия, соединяющая точки xi , yi (х) ,

называется кумулянтой.

Если на оси абсцисс откладывать накопленные частоты, а на оси ординат границы интервалов или значение признака, то ломаная линия, соединяющая точки ( yi (х), хi ), называется

огивой. Кумулятивным рядом называется ряд накопленных частот yi (х) члены которого соответствуют границам

интервалов или значениям признака.

1.1.Выборка задана в виде распределения частот

3

Написать распределение относительных частот.

Построить: а) полигон частот; б) полигон относительных частот; в) найти эмпирическую функцию и построить ее график.

Решение. Найдем объем выборки n = 1+3+7+5+4 = 20

Деля частоты на объем выборки, находим относительные частоты

w1 = 201 = 0,05 ; w2 = 203 = 0,15; w3 = 207 = 0,35;

w4 = 205 = 0, 25; w5 = 204 = 0, 2;

Распределение относительных частот примет вид

5

Проверка: ∑ wi = 0,05 +0,15 +0,35 +0, 25 +0, 2 =1.

i=1

а) На оси абсцисс отложим варианты xi а на оси ординат— соответствующие частоты ni (рис. 1).

Соединив последовательно точки (хi,ni ) прямыми, получим искомый полигон частот.

Рис.1

4

б) На оси абсцисс отложим варианты хi , а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты wi (рис. 2).

Рис. 2

Соединив последовательно точки (хi, wi ) прямыми, получим искомый полигон относительных частот.

в) Наименьшая варианта равна 2, следовательно, F*(х)=0 прих ≤ 2 .

Значение Х< 4, а именно х1 = 2 , наблюдалось один раз, следовательно, F*(х)= 1/20=0,05 при 2 < х ≤ 4 .

Значения Х<6, а именно х1 = 2 , х2 =4 , наблюдались 1+3=4 раза, следовательно, F*(х)= 4/ 20 = 0,2 при 4 < х ≤ 6 .

F*(х)=16/20 = 0,8 при 9 < х ≤11.

Так как х = 11 — наибольшая варианта, то, согласно свойств эмпирической функции распределения, получим

F*(x)=1 при х<11.

Отсюда, искомая функция распределения примет вид

5

0

0,05

0, 2 F *(х) =

0,55

0,8

1

График функции распределения показан на рис.3.

Рис.3

1.2. По данному распределению выборки

Решение. а) Нетрудно решить, что длина интервалов

На оси абсцисс построим заданные интервалы (рис. 4).

6

Над частичными интервалами параллельно оси абсцисс проведем отрезки на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительно частот Wi / h .

1.3. В магазине за день проданы рубашки следующих размеров

40 37 39 42 40 39 38 40 41 36

41 41 40 39 41 40 37 43 40 39

39 38 40 37 40 38 42 41 40 42

41 40 38 39 41 40 41 41

Написать дискретный вариационный ряд и построить полигон.

Решение. Различные значения признака (размеры рубашек) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем их частоту, тогда вариационный ряд примет вид

На оси абсцисс отложим варианты хi , на оси ординат

соответствующие им частоты. Полигон распределения показан на рис. 6.

Рис.6

8

1.4. В течение дня измерялось напряжение тока в электросети (в). При этом были получены следующие значения:

209 215 215 232 220 220 218 220 221

222 224 227 217 226 212 221 225 219

220 222 216 223 218 230 211 219 227

226 220 219 216 232 215 219 218 223

По этим данным написать: а) интервальный вариационный ряд с равными интервалами в три деления; б) построить гистограмму; в) написать кумулятивный ряд; г) построить кумулянту и огиву.

Решение. а) Разобьем диапазон изменения напряжений на равные интервалы и составим таблицу, в первой строке которой расположим в порядке возрастания интервалы, а во второй значения подсчитанных частот

б) Гистограмма распределения показана на рис.7.

Рис.7

9