Учебное пособие 764
.pdf
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
127-2017
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика»
для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2017
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев |
|
|
|||||||||
УДК 517.2 (07) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ББК 22.1я7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Методы |
оптимизации: |
методические |
указания |
|
для |
||||||
организации самостоятельной работы по курсу«Высшая |
|
||||||||||
математика» |
|
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
||||||
«Техносферная |
безопасность» |
(направленности |
«Защита |
|
в |
||||||
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности |
|||||||||||
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы |
|||||||||||
обучения / |
ФГБОУ |
ВО |
«Воронежский |
государственный |
|||||||
технический |
университет»; |
сост. И.Н. Пантелеев. |
Воронеж, |
|
|||||||
2017. 50 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические |
указания |
предназначены |
в |
качестве |
|||||||
руководства |
|
для организации |
самостоятельной |
работы |
по |
||||||
курсу "Высшая |
математика" по |
разделу «Методы |
|
||||||||
оптимизации» |
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
|||||||
«Техносферная безопасность» в 3 семестре. В работе |
приведен |
||||||||||
теоретический |
материал, |
необходимый |
для |
выполнения |
|||||||
заданий и решение типовых примеров. |
|
|
|
|
|
||||||
Методические |
указания |
|
подготовлены |
в |
электронном |
||||||
виде и содержатся в файле Vmfmm_MetOptim _17.pdf. |
|
|
|||||||||
Ил. 18. Библиогр.: 9 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2017
1. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА РАБОТ
1°. Основным материалом для сетевого планирования является список или перечень работ, который называется структурной таблицей комплекса работ. В структурной таблице для нахождения ai должно быть указано, выполнение каких работ она требует или на какие работы опирается.
Работа |
Опирается |
|
Обозначение |
ai |
на работу |
Ранг |
в новой |
|
|
|
нумерации |
a 1 |
- |
1 |
b1 |
|
|
|
a
a
a
a
a
2 |
a 1 ,a 3 |
2 |
b 3 |
|
|
|
|
||
3 |
- |
1 |
b 2 |
|
|
|
|
||
4 |
a 1 ,a 2 ,a 3 |
3 |
b 4 |
|
5 |
a 1 ,a 2 ,a 4 |
4 |
b 6 |
|
6 |
a 2 ,a 3 |
3 |
b 5 |
Первая |
операция |
называетсяупорядочением. |
Для |
|||
упорядочения |
все |
работы |
разделяют |
на . |
рангиРабота |
|
называется работой 1-го ранга, если для ее начала не требуется выполнение никаких других работ. Работа называется работой
второго ранга, если она опирается на |
одну или |
несколько |
||
работ первого ранга и т. д. |
|
|
|
|
Если |
задано ti - время |
выполнения |
работы |
ai , то |
минимально |
возможный срок окончания работы находится по |
|||
формуле |
T i = t i |
+ t i , |
|
(1) |
|
|
|||
где t i |
= max {T j ,Tl ,Tk } - минимально возможный срок начала |
||||||||||||||
работы ai , которая опирается на работы a j , al , ak |
и не может |
||||||||||||||
начаться прежде, чем не будет завершена работа, которая |
|||||||||||||||
заканчивается позже всех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Работы |
|
ai |
, из |
|
длительностей |
которых |
составлено |
||||||||
минимальное |
время |
|
завершения |
|
комплекса |
работ, |
|||||||||
называются |
критическими |
работами. |
Чтобы |
|
найти |
||||||||||
критические |
работы, |
а |
следовательно |
и |
критический |
путь, |
|||||||||
надо |
найти |
работуai |
, для которой время окончания |
T i |
|||||||||||
максимально; эта работа и будет критической. Далее следует |
|||||||||||||||
найти работу, для которой |
T i |
будет моментом |
началаai . |
||||||||||||
Величина t i |
представлена |
в |
виде |
максимумаT j |
, |
T l , |
T k . |
||||||||
Необходимо найти max. Это будет вторая критическая работа |
|||||||||||||||
от конца и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
T = åti |
|
|
|||||
2°. Пусть общее время выполнения работ |
нас не |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kp) |
|
|
|
устраивает |
|
и |
требуется |
его |
сократить |
до |
времени. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Очевидно, |
|
что |
надо |
|
форсировать |
|
критические |
.работы |
|||||||
Вложение дополнительных средств x i |
в работу ai |
сокращает |
|||||||||||||
время |
ее |
выполнения |
сt i |
до ti¢ = fi (xi ) . |
Время |
выполнения |
|||||||||
комплекса |
|
работ |
будетT¢ = |
å fi (xi ) £ T0 . |
Нахождение |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(kp) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
минимума |
|
вложенных |
средствx = åxi |
= min |
разберем на |
||||||||||
примере 1.2. |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3°. Рассмотрим задачу перераспределения уже имеющихся |
|||||||||||||||
средств |
между |
отдельными |
работами. Известно, |
что |
|||||||||||
количество |
|
средств x > 0, снятое с |
работы ai , |
увеличивает |
|||||||||||
время ее выполнения с t i |
до ti¢ = fi (xi ) , а количество средств |
||||||||||||||
x , вложенных дополнительно в работу al |
уменьшает время ее |
||||||||||||||
2
выполнения до ti ² =ji (x) . Сумма средств, снимаемых с каких-
то работ, должна быть равна сумме средств, добавляемых к другим работам, так что
x 1 + x2 |
+ …+ xn =0 |
(2) |
Для решения задачи необходимо, чтобы общий срок |
||
выполненного комплекса работ был минимален |
|
|
T ¢ = å fi (x) + åji (x) = min . |
(3) |
|
kp |
kp |
|
4°. Сетевое планирование при случайных времена выполнения работ. При сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, распределенных по любым законам, закон распределения суммы близок к нормальному, поэтому МО времени равно сумме
|
|
mt = åmti |
|
, |
|
(4) |
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
где mti |
- МО времени выполнения i – й работы. |
|
|||||
Среднеквадратическое отклонение, соответственно, будет |
|||||||
|
|
s t = |
ås ti |
2 |
, |
(5) |
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|
где s ti |
- среднеквадратическое отклонение времени |
|
|||||
выполнения i – й работы. |
|
|
|
|
|
||
Если |
величины (4), (5) |
известны, то |
вероятность |
||||
выполнения комплекса в срок T 0 |
находится по формуле |
||||||
|
|
æ T - m |
t |
ö |
|
||
|
|
ç |
0 |
|
÷ |
(6) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P(T < T0 ) = Fç |
s t |
|
|
÷ + 0.5 , |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
где Ф – функция Лапласа находится из таблицы.
1.1. Пусть дана упорядоченная структурная таблица
3
Работа |
Опирается |
Время |
Работа |
Опираетс |
Время |
ai |
на работу |
ti |
ai |
на работу |
ti |
a1 |
- |
10 |
a6 |
a4 |
18 |
a2 |
- |
5 |
a7 |
a5 ,a6 |
8 |
a3 |
- |
15 |
a8 |
a3 ,a5 ,a6 |
25 |
a4 |
a1 ,a2 |
18 |
a9 |
a7 |
30 |
a5 |
a2 ,a3 |
19 |
a10 |
a5 ,a8 |
8 |
Построить временный график и найти критические работы. Решение. Для работы первого ранга имеем:
t1 = 0 ; t 2 = 0 ;t 3 = 0 ;T1 = t1 = 10 ;T2 = t2 = 5 ;T3 = t3 = 15 .
Работа a4 опирается на работыa1 ,a2 , т.е. она может начаться тогда, когда закончится наиболее большая работа t 4 = max{T1 ,T2 } = max{10,5}= 10 .
Моментом |
окончания |
|
работыa |
будет |
||||
T4 = t 4 +t 4 = 10 +18 = 28 . |
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|||||
Для работы a5 : |
|
|
|
|
||||
t 5 = max{T2 ,T3 }= max{5,15}= 15; T5 |
= t5 |
+ t5 = 15 +19 = 34 . |
||||||
a6 |
:t 6 |
= max{T4 }= 28 ; T6 = t 6 + t6 = 28 +18 = 46 . |
|
|||||
a7 |
:t 7 |
= max{T5 ,T6 } = max{34,46}= 46 ; |
|
|
||||
T7 = t 7 + t7 = 46 + 8 = 54 . |
|
|
|
|
||||
a8 :t 8= max{T3 ,T5 ,T6 }= max{15,34,46}= 46; |
|
|||||||
T8 = t8 + t8 = 46 + 25 = 71. |
|
|
|
|
||||
a9 : t 9 |
= max{T7 }= 54 ; T9 |
= t 9 + t9 |
= 54 + 30 = 84 . |
|
||||
a10 : t10 |
= max{T5 ,T8 }= max{34,71}= 71 ; |
|
|
|||||
T10 |
= t10 + t10 = 71 + 8 = 79 . |
|
|
|
|
|||
Время окончания работы равно максимальному времени |
||||||||
окончания |
|
T |
= 84 и a9 |
последняя |
критическая |
работа. |
||
Поскольку |
|
a9 |
опирается на |
a7 , то |
следующая критическая |
|||
4
работа a7 . Так как большая работа, на которую опирается a7
будет a6 , то a6 |
следующая критическая работа, |
a6 - опирается |
на a4 , а a4 - |
на a1 . Таким образом, a1 , a4 , |
a6 , a7 , a9 - |
критические работы. Сетевой график показан на рисунке
Рис. 1
1.2. Комплекс работ задан структурно-временной таблицей
Работа |
Опирается |
Время |
Работа |
Опирается |
Время |
ai |
на работу |
ti |
ai |
на работу |
ti |
a1 |
- |
20 |
a5 |
a1 ,a2 ,a3 |
10 |
a2 |
- |
10 |
a6 |
a1 ,a2 ,a3 |
5 |
a3 |
- |
8 |
a7 |
a6 |
5 |
a4 |
a1 ,a2 |
20 |
a8 |
a4 ,a5 ,a7 |
10 |
Находим время выполнения работ: Т1 = 20 ; Т 2 = 10 ;
Т 3 = 8 ; Т 4 = Т1 + t4 = 40 ; T5 = T1 + t5 = 30 ; T6 = T1 + t6 = 25 ;
T7 = T6 + t7 = 30 ; T8 = T4 + t8 = 50.
Критические работы будут a1 , a4 , a8 . Время окончания
комплекса работ равно Т = Т1 + Т 4 + |
Т8 = 50. |
|
Уменьшим это время до Т 0 = 40 |
. Известно, что в работу ai |
|
можно вложить xi в размере не более чем сi |
, т.е. |
|
xi £ ci , |
(1) |
|
5
при этом |
|
ti¢ = ti (1 - bi xi ). |
|
|
|
|
(2) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть для критических работ параметры будут |
|
|
|
|
||||||||
|
|
b1 = 0,2; b4 |
= 0,3; |
b8 = 0,1; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
c1 = 2; |
c4 = 2; c8 = 5. |
|
|
|
|
||||
Условия (1) примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x1 - 2 £ 0; x4 |
- 2 £ 0; x5 |
- 5 £ 0. |
|
|
(3) |
|
||||
Новый срок выполнения работ находим по формуле (2) |
|
|
||||||||||
T ¢ = t1¢ + t4¢ |
+ t8¢ = t1 (1 - 0,2x1 ) + t4 (1 - 0,3x4 ) + t8 (1 - 0,1x8 ) = |
|
||||||||||
|
|
= 50 - 4x1 - 6x4 - x8 . |
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку |
Т 0 = 40 , то 50 - 4x1 - 6x4 - x8 |
=£ 40, откуда |
|
|
||||||||
|
|
|
4x1 + 6x4 + x8 |
³ 10. |
|
|
|
|
(4) |
|
||
Требуется |
найти |
минимум |
функцииL =x1 +x4 |
+ x8 |
при |
|
||||||
неравенствах |
ограничений (3), |
(4), |
т.е. |
налицо |
задача |
|
||||||
линейного программирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решая задачу симплекс методом, находим, что Lmin |
= 5 / 3 и |
|
||||||||||
оптимальным решением будет вложение x4 = 5 / 3 в работу a4 . |
|
|||||||||||
2. ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ |
|
|
|
|
||||||||
ПОЧТОВОЙ СВЯЗИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1°. |
При |
проектировании |
городской |
почтовой |
свя |
|||||||
необходимо |
решить, |
где |
разместить |
|
узлы |
связи |
и |
ка |
||||
организовать их транспортные связи с опорными пунктами города (вокзалами, аэропортами, пристанями, типографиями и т.д.).
Пусть в городе имеется узел связи (У), два вокзала ( В1 , В2 ),
типография (Т) и аэропорт (А) (рис.2). |
|
|
|
В |
качестве критерия оптимизации |
выберем |
минимум |
пробега |
транспорта между узлом и |
опорным |
. пункт |
Обозначим за N1 - число рейсов за сутки между каждым из
6
вокзалов и узлом; N 2 - между аэропортом и узлом; N 3 - между узлом и типографией.
2°. |
|
Рис. 2 |
|
|
||
Пусть |
транспортные |
магистралиобразуют |
||||
прямоугольную |
сеть. Протяженность |
каждого |
маршрута |
|||
представим как сумму расстояний по оси x и по оси y. |
||||||
Обозначим через x1 расстояния |
по горизонтали между |
|||||
каждым из вокзалов и узлом; |
x2 - между аэропортом и узлом; |
|||||
x3 - между типографией |
и |
узлом. Величины l1 и |
l2 заданы. |
|||
Целевая функция, минимум которой требуется найти, будет |
||||||
иметь вид |
|
L1 = 2N1 x1 + N 2 x2 + N3 x3 . |
|
|||
|
|
|
||||
Система ограничивающих условий будет |
|
|||||
|
x1 + x2 ³ l1 + l2 ; x1 + x3 ³ l2 ; x2 + x3 ³ l1. |
|||||
Полученная модель является моделью задачи линейного |
||||||
программирования. |
|
|
|
через y1 - |
|
|
Рассмотрим по осиy. Обозначим |
расстояние |
|||||
между вокзалом 1 |
и узлом; |
y2 |
- между аэропортом и узлом; |
|||
7
y3 - между типографией и узлом; y4 - между вокзалом 2 и узлом. Целевая функция, минимум которой необходимо найти,
будет L2 = N1 ( y1 + y4 ) + N 2 y2 + N3 y3 .
Система |
|
ограничивающих |
|
условий, при |
|
заданных |
|
|||||||
величинах h1 , h2 , h3 , имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y1 + y2 ³ h2 + h3 ; y2 + y3 ³ h2 ; y1 + y4 ³ h1 + h2 + h3 ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
y2 + y4 ³ h1 + h2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Поставленная |
задача |
решается |
|
симплекс-методом. В |
|
|||||||||
результате |
|
решения |
|
двух |
|
задач |
определяется |
о |
||||||
минимальная величина пробега L = L1 + L2 , |
а соответствующее |
|
||||||||||||
значение переменных xi , yi |
определят координаты узла. |
|
||||||||||||
2.1. Пример. Пусть N1 |
= 10; |
N 2 |
= 8; N3 |
= 6; l1 |
= 4 км; |
|
||||||||
l2 = 8 км; h1 |
= 5 км; |
h2 = 6 км; h3 |
= 4 км. Найти Lmin . |
|
||||||||||
Решение. Математическая модель задачи относительно x |
|
|||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 = 20x1 + 8x2 + 6x3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 + x2 ³ 12; x1 + x3 ³ 8; |
x2 + x3 ³ 4. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Введем базисные переменные x4 , x5 , x6 и запишем решение |
|
|||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 0 - (-20x1 - 8x2 - 6x3 ); x4 = -12 - (-x1 - x2 ); |
|
|||||||||||||
x5 = -8 - (-x1 - x3 ); x6 = -4 - (-x2 - x3 ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Базисные |
|
bi |
|
x1 |
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|||
переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
0 |
96 |
|
-20 |
-12 |
-8 |
|
-8 |
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
||||
x4 |
|
-12 |
12 |
|
-1 |
|
1 |
-1 |
|
-1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
x5 |
|
-8 |
-8 |
|
-1 |
-1 |
0 |
|
0 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
||||
x6 |
|
-4 |
8 |
|
0 |
1 |
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
||||
8