Учебное пособие 764

i

xi

yi

xi 2

xi yi

1

1

13

1

13

2

2

8

4

16

3

3

4

9

12

4

4

1

16

4

5

5

-2

25

-10

6

6

-9

36

-54

å

21

15

91

-19

Из решения этой

системы

получимa = -

143

;

b =

84

.

между x

35

5

Зависимость

и y

представляется

в

виде

xi

0

1

2

3

4

yi

1

2

4

7

11

i

xi

yi

xi 2

xi 3

xi 4

xi yi

xi 2 yi

1

0

1

0

0

0

0

0

2

1

2

1

1

1

2

2

3

2

4

4

8

16

8

16

4

3

7

9

27

81

21

63

5

4

11

16

64

256

44

176

å

10

25

30

100

354

75

257

Система нормальных уравнений примет вид

ì354a +100b + 30c = 257,

ï

+10c = 75,

í100a + 30b

ï

+ 5c = 25.

î30a +10b

xi

0,5

1

2

4

6

yi

5

2

0

-1

-1,5

i

xi

yi

1/ xi

1/ xi 2

yi / xi

1

0,5

5

2

4

10

2

1

2

1

1

2

3

2

0

1/2

1/4

0

4

4

-1

0,25

1/16

-1/4

5

6

-1,5

1/6

1/36

-1/4

å

4,5

3,916

5,34

11,5

Система нормальных уравнений примет вид

ì3,916a + 5,34b = 11,5,

í

+ 3,916b = 4,5.

î5a

Решая эту

систему, находим: a = -1,847;

b = 3,5. Таким

образом, зависимость примет вид

3,5

y = -1,847 +

.

7.4.

Найти

x

нормальную

систему

для

определения

коэффициентов a,b показательной функции y = ab x .

Решение. Прологарифмируем

функцию ln y = ln a + x ln b

и считаем ln y линейной

функцией отx, а

ln a

и ln b

принимаем за параметры.

Будем подбирать параметры так, чтобы сумма квадратов

отклонений

вычисленных

значенийln a + xi

ln b

от

наблюдаемых значений ln yi , т. е. величина

S = (ln a + x ln b - ln y )2 + (ln a + x

2

ln b - ln y

2

)2

+

1

1

n

+ ... + (ln a + xn ln b - ln yn )2

= å(ln a + xi

ln b - ln yi )2

i =1

тех

значениях ln a

и

ln b , при которых обращаются в нуль

частные производные по этим параметрам, т. е.

¶S

= 0 и

¶S

= 0.

¶ ln a

¶ ln b

Находим частные производные

¶S

n

= 2å(ln a + xi ln b - ln yi ) =

¶ ln a

i=1

n

n

= 2(n ln a + ln båxi - åln yi ).

i =1

i=1

¶S

n

= 2å(ln a + xi

ln b - ln yi )xi =

¶ ln и

i=1

n

n

n

= 2 ln aåxi - ln båxi 2 - åxi ln yi .

i =1

i=1

i=1

Приравнивая

частные

производные

, нулюполучим

нормальную систему

n

n

n ln a + ln båxi = åln yi

i=1

i =1

n

n

n

ln aåxi + ln båxi 2 = åxi ln yi

i =1

i=1

i =1

Найденные

из

этой

системы

значения параметровln a и

ln b

позволяют

с

помощью

таблиц натуральных логарифмов

определить значения а и b.

работать в течение времениt

безотказно. Отказ — это

событие, состоящее в нарушении работоспособности элемента.

Отказы бывают внезапные и постепенные. Внезапный отказ

происходит в случайный момент времени. Постепенный отказ

характеризуется

постепенным

ухудшением

характеристик

машины (элемента).

Деление

технических

устройств

на

элементы

носи

некоторые

количественные

характеристики. При

t = 0

надежность

p(t) = 1 и с

увеличением времени убывает(рис.

6.). Ненадежность определяется по формуле q(t) = 1 - p(t).

Характер

изменения

кривой q(t) показан на рис. 6.

При

возрастании t кривая q(t)

стремится к единице.

определяется

выражениями F (t) = P(T < t) и представляет

ненадежность

работы элемента F (t) = q(t) . Таким образом,

Надежность

элемента

или

машины

дополняетF (t) до

единицы, то есть p(t) = 1 - F (t).

Плотность

распределения

времени безотказной

работы

равна

¢

¢

График

плотности

показан на рис.

f (t) = F (t) = q (t).

31.7. Элемент

вероятности f (t)dt есть

вероятность того,

что

время

T лежит в

пределах

от

t

до t + dt . Плотность

вероятности определяется по формуле

f (t) =

m(Dt)

,

(1)

NDt

Если Т величина

Рис. 7

непрерывная, то

среднее

время

безотказной работы равно

0

0

¥

¥

= -òtp¢(t)dt = ò p(t)dt.

(2)

0

0

Среднее

время безотказной

работыt

равно

площади,

ограниченной кривой надежности и осями координат(рис.

31.6). Основные показатели надежности машин, состоящих из

k

групп

элементов,

определяются

на

основании

статистического материала.

Если

число элементов в группах

k

= 1/ åni / ti .

(3)

t

i =1

Среднее

время

восстановления

работоспособност

является

одной

из

основных

ха

ремонтопригодности машин. Пустьt1 ,t 2 ,...,t k — среднее время

восстановления элементов машины в каждой группе. В этом

случае среднее время восстановления будет

k

åniti / ti ,

(4)

tB =

t

(5)

kr = t

/(t + tB ).

различным

законам

распределен. Наияболее

распространенным

в

технических

устройствах

является

экспоненциальное

распределение. Экспоненциальный

закон

надежности имеет вид

p(t) = e-lt ,

(6)

где l — интенсивность потока событий (отказов), постоянная

величина.

Функция распределения

времени

безотказной

работы

равна F (t) = q(t) = 1 - e-lt , а плотность — f (t) = le-lt (t > 0) .

Интенсивность отказов определяется по формуле

l(t) =

f (t)

=

m(Dt)

(7)

p(t)

NDtp(t)

-t

òl (t )dt

(8)

p(t) = e 0

.

Если l(t) = l - const ,

то

формула (8)

выражает

экспоненциальный закон надежности (6).

2°.

Надежность

простой

системы. Под

простой

системой будем понимать такую систему элемент, овтказ

любого элемента которой равносилен отказу системы в целом.

Простая

система с

точки зрения надежности

представляет

i =1

где pi — надежность i -го элемента.

Если p1 = p2 = ... = pn , то формула (9) примет вид

P = p n .

(10)

n

L(t) = åli (t).

(11)

системы L(t) ) через

интенсивности

отказов

отдельных ее

элементов li (t) . Согласно

определению

надежности

через

интенсивность (8), имеем

t

-òL(t )dt

;

P(t) = e 0

t

-òli (t )dt

pi (t) = e 0

(i = 1,2,..., n).

(12)

Подставляя выражения (12) в выражение (9), получим

t

t

t

t

-òL(t )dt

-òl1 (t ) dt -òl2 (t )dt

-òln (t )dt

e 0

= e 0

e 0

...e 0

=

t

t n

-ò[l1 (t )+l2 (t )+...+ln (t )]dt

-òåli dt

= e 0

= e 0 i =1

,

откуда и следует соотношение (11).

3°. Надежность

резервированной

системы. Для

повышения

надежности

в систему

включают

резервные

элементы

«параллельно»

тем,

надежность

которых

недостаточна (рис. 9).

Рис. 9

Если

основной

элементЭ1

отказал, то

система

переключается автоматически на резервный элемент Э2 и т. д.

Переключение безотказное, надежность переключения рпр = 1.

Вероятности

безотказной

работы

элементов

обозначим

за

р1 , р2 ,..., рn ,

а ненадежность

элементов, соответственно, за

q1 , q2 ,..., qn .

Ненадежность

всей

системы

будет

равн

Q = q1 × q2 ×...× qn .

(13)

Поскольку надежность системы равна P = 1 - Q , то

P = 1 - q1 × q2 ×...× qn = 1 - (1 - p1 )(1 - p2 )...(1 - pn ) =

n

= 1 - Õ(1 - pi ).

(14)

i=1

Если

надежности

всех

элементов

оди

p1 = p2 = ... = pn , то соотношения (14) примут вид

P = 1 - (1 - p)n .

(15)

использоваться

как «параллельные»,

так

и

«последовательные» соединения элементов (рис. 10).

представляют «параллельные» соединения

элементов, то по

формуле (15) получим

P = 1 - (1 - p m )n ,

(16)