Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 764

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

573.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

4°. Предположим теперь, что переключение на резервный элемент имеет надежность, меньшую единицы.

Рис. 11

Пусть

переключение

на

резервный

осуществляется

одним

переключателем(рис. 11)

надежностью рпр .

Рассматривая

резервную

систему

как

блок

параллельных соединений элементов, а переключатель и блок

резервных

элементов

как

последовательную, находим

надежность этой подсистемы

= (1 - (1 - p2 )(1 - p3 )...(1 - pn )) pпр .

(17)

Отсюда надежность всей системы будет

P =

(18)

1 - (1 - p1 )(1 - p2 ).

Если

каждый

резервный

элемент

имеет

переключатель, соответственно, с надежностью

pпр (2) , pпр

(3) ,...,

pпр (n) ,

то,

объединяя

переключатели

резервные

элементы

последовательные

цепи,

выражении (14)

надежность

резервного

элемента

следует

умножить

на

надежнос

переключателя

P = 1 - (1 - p )(1 - p

пр

(2) )(1 - p

пр

) ×... ×(1 - p

(n) ).

(19)

пр

Здесь надежность любого резервного элемента не зависит

от того, включился он в работу или нет.

5°. Надежность резервной линии. Пусть линия имеет две

резервные машины. Считаем, что потоки отказов простейшие,

т.

е. интенсивности отказов

постоянные и

что

линия

холодным резервом. При отказе машиныМ1 включается машина М 2 , а при отказе М 2 включается М 3 . До включения каждая из резервных машин находится в холодном резерве и отказать не может. Пусть l1 — интенсивность потока отказов основной машины, l2 — остальных машин. Представим процесс, как Марковский случайный процесс (рис. 12).

Рис. 12

Введем обозначения: S1 — работает основная машина;

S 2 — работает первая из резерва машина; S3 — работает вторая из резерва машина; S 4 — не работает ни одна машина. Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний будет

dp1

= -l p ;

dp2

= -l

+ l p ;

dp3

= -l2 p3 + l2 p2 ;

(20)

dp4

= l2 p3 .

Добавим к системе нормировочное условие p1 + p2 + p3 + p4 = 1.

Интегрируя первое уравнение при P1 (0) = 1, получим

p1 (t) = e-l1t .

Подставляя во второе уравнение, будем иметь

dp2 = -l2 p2 + l1e-l1t . dt

Интегрируя с начальным условием P2 (0) = 0,

получим

p2 (t) =

e-l1t -

e-l2t .

l2 - l1

Подставляя в третье уравнение, будем иметь

dp3

= -l

l1l2

e -l1t -

l1l2

e-l2t .

- l

При p3 (0) = 0 , после интегрирования

(t) =

l1l2

e-l1t -

l1l2

e-l2t

l1l2t

e -l2t .

- l )2

Для

нахождения

функцииp (t)

воспользуемся

нормировочными условиями, тогда

p4 = 1 - p(t) = 1 - ( p1 + p2 + p3 ) =

= 1 - e-l1t -

e -l1t +

e-l2t -

l2 - l1

l1l2

e-l1t +

l1l2

e-l2t +

l1l2t

e-l2t .

- l )2

8.1. Интенсивность

отказов

элемента задана

графически

(рис. 13). Найти закон

надежностиp(t)

среднее время

безотказной работы.

Рис. 13 Решение. Из рисунка находим, что интенсивность отказов

на участке (0,1) меняется по закону l(t) = 2 - t а на участке t > 1 постоянна и равна l = 1 .

Надежность на участке (0,1) по формуле (8) будет

t			t 2
-ò( 2-t )dt	= e	-(2t -	t 2	)
p (t) = e 0	= e	2 .
1

Найдем p(t) на участке t > 1

t t

òl(t)dt =òdt = t -1;

тогда p2 (t) = e-t +1.

Рис.14

График закона надежности показан на рис. 31.14. Среднее время безотказной работы равно площади, ограниченной

кривыми p1 (t) , p2 (t)			и осями координат
1		¥	1			t 2			¥
	-(2t				-			) dt + òe-t +1dt = 1,05 +1 = 2,05.
						2
t	= ò p1 (t)dt + ò p2 (t)dt = òe
0		1	0						1
			1	-(2t -	t 2
Здесь первый интеграл òе							) dt = 1,05 вычислен
					2
			0

приближенно.

8.2. Плотность распределения времени безотказной работы элемента на участке (t1 , t2 ) постоянна и равна нулю вне этого участка (рис. 15). Найти интенсивность отказов и построить график.

Рис. 15

Решение. Интенсивность отказов по формуле (7) равна

l(t) =	f (t)	=	f (t)						(t1 < t < t2 ).
l(t) =		=							(t1 < t < t2 ).
	p(t) 1 - q(t)
Поскольку
	t		t			dt			t - t1
q(t) = ò f (t)dt = ò						dt		=	t - t1	,
q(t) = ò f (t)dt = ò						2 - t1		=		,
	t		t		t	2 - t1			t2 - t1
1		1
		l(t) =				1	.
		l(t) =		t2			.
				t2		- t

График интенсивности отказов приведен на рис. 16.

Рис. 16 8.3. Простая система состоит из 7 независимых элементов,

надежность каждого из которыхp = 0,9 .Найти надежность системы.

Решение. Воспользуемся формулой (10), тогда

P = 0,97 » 0,478.

8.4. Простая система состоит из 100 одинаково надежных

независимых элементов. Какова должна быть надежность отдельного элемента, чтобы надежность системы была бы не менее 0,85?

Решение. Представим формулу (10) в виде

p = n P . Тогда

надежность отдельного элемента

p = 100 0,85;

ln p =

ln 0,85;

p = 0,9995.

100

8.5.

Простая

система

состоит

из

трех

независимы

элементов.

Найти

интенсивность

отказов

системы, если

плотности распределения времени безотказной работы заданы

выражениями:

f 2 (t) = 3t 2 ,

f1 (t) = 1,

f3 (t) = 1 - 2t

при 0 < t < 1.

Решение. Поскольку

f (t) = q (t) то ненадежность каждого

элемента будет

(t) = t 3 ;

(t) = t - t 2

q (t) = t;

при 0 < t < 1.

Отсюда надежность элементов

p (t) = 1 - t; p

(t) = 1 - t 3 ;

(t) = 1 - t + t 2 при 0 < t

< 1.

Интенсивность отказа каждого элемента по формуле (7)

равна

l (t) =

; l

(t) =

; l

(t) =

1 - 2t

- t

1 - t 3

1 - t

+ t 2

Интенсивность отказов системы находим по формуле (11)

L(t) = l (t) + l

(t) + l

(t) =

3t 2

1 - 2t

1 - t

1 - t 3

1 - t + t 2

2(1 - t + 2t 2 - 2t 3 + 3t 4 )

(1 - t 3 )(1 - t + t 2 )

8.6. Найти надежность системы, состоящей из семи элементов с надежностями p1 , p2 ,..., p7 (рис. 17).

Рис. 17 Решение. Поскольку в системе применяются ка

«последовательное», так и «параллельное» соединение элементов, то при оценке надежности расчленяем ее на ряд подсистем. Рассматривая подсистемы как условные элементы, находим надежность системы в целом.

Подсистема I — «параллельно» включенные элементы Э2 и Э3 ; надежность p1 = 1 - (1 - p2 )(1 - p3 ).

Подсистема II — «последовательно» соединенные

элементы Э1 и I; надежность pII = pI p1.

Подсистема III — «параллельно» включенные элементы Э4 и Э5 ; надежность pIII = 1 - (1 - p4 )(1 - p5 ).

Подсистема IV — «последовательное» соединение элементов Э6 и Э7 , надежность pIV = p6 × p7 .

Подсистема V — «последовательно» соединенные

элементы III и IV; надежность pV = pIII×	pIV .
Вся система — «параллельно»	включенные II и V

элементы; надежность P = 1 - (1 - pII )(1 - pV ).

8.7. Рассмотрим технологическую линию, состоящую из одной основной машины и трех резервных. Пусть основная

машина подвергается простейшему потоку отказов интенсивностью l1 . Найти надежность линии с облегченным

резервом, т. е. когда		резервные		машины	до	включения
подвергаются	простейшему			потоку		отказов
интенсивностью l2 ,	а		после	включения		интенсивность
повышается до величины l2			0 .
Решение. При	определении			надежности	линии введем

следующие обозначения состояний. Если основная машина работает, то первый индекс равен нулю, если основная машина отказала, то первый индекс равен единице, а второй индекс определяет число исправных резервных машин. Так, S0k , —

основная машина	исправна, из резервных исправны k машин
( k =О, 1, 2, 3); S1k	— основная машина отказала, из резервных

исправны k машин, причем одна из них работает.

Для составления уравнений Колмогорова представим граф состояний (рис. 18).

Рис. 18

Система уравнений вероятностей состояний в этом случае будет

dp03 = -(l1 + 3l2 ) p03 ;

dp02 = -(l1 + 2l2 ) p02 + 3l2 p03 ;

dp01 = -(l1 + l2 ) p01 + 2l2 p02 ;

dp00 = -l1 p00 + l2 p01 ;

dp13

= -(l

0 + 2l

) p + l p

;

dp12

= -(l 0

+ l

) p + l p

+ (l 0

+ 2l

) p ;

dp11

= -l

0 p + l p

+ (l 0

+ l

) p ;

dp10

= l p

+ l

0 p .

Из интегрирования первого уравнения системы имеем

p03 = e -(l1 +3l2 )t .

Подставляя это решение во второе уравнение системы и интегрируя, находим p02 .Продолжая последовательно процесс

интегрирования уравнений, находим остальные значения вероятностей состояний. Вероятность состояния, когда линия не работает, может быть найдена из условия

p10 (t) = 1 - ( p03 + p02 + p01 + p00 + p13 + p12 + p11 ).

Отсюда надежность линии, как обратное событие, будет

P(t) = 1 - p10 (t).

т. е. равна сумме вероятностей, при которых линия работает. Нетрудно заметить, что изменение числа резервных машин

в технологической линии приводит только к увеличению или уменьшению графа состояний (рис. 18), а, соответственно, и числа уравнений системы. В остальном схема расчета остается без изменений.

9. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найти глобальные экстремумы следующих функций:

1.1.	y = ax2 + bx + c, (a ¹ 0), x Î R ;
1.2.	y =	x	, x Î R ;

	1+ x2
1.3.	y = -3x4 + 6x2 , x Î[-2, 2] ;

1.4.

x Î R ;

y = xe 2 ,

1.5.

y =

( x-a)2

x Î R ,

a = const .

1.6.

Определить

размеры

открытого

бассейна

квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его

стен и дна пошло наименьшее количество материала.

1.7.

Для хранения и охраны военного имущества

требуется

огородить

забором

прямоугольный

участ

площадью S=1,5 га и затем таким же забором разделить этот

участок на две равные части. Определить размеры участка, при

которых расход материалов будет наименьшим.

1.8. Штаб инженерной части планирует строительство

тоннеля с сечением в форме правильной трапеции площадью5

м2 и с острым углом при нижнем основании, равным α.

Определить размеры сечения тоннеля, при которых расход

материалов

на

боковые

стенки

потолок

был

минимальным.

1.9.

Два

самолета

летят

одной

плоскости

прямолинейно под

углом1200

с одинаковой

скоростьюu

км/час. В некоторый момент один самолет пришел в точку пересечения линий движения, а второй не дошел до неё d км. Через сколько времени расстояние между самолетами будет наименьшим? Чему равно это расстояние?

1.10. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

2.1. Найти экстремумы функции:

a)	u = x2 - xy + y2 - 2x +y;
б)	z = ( x2 + y2 ) e-(x2 +y2 ) ;

в)	z = ( x - 1 )2 + 4 - 2y2 ;
г)	z = ex-y ( x2 - 2y2 );

д) z = 2 - xy - 4x - 2y;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022264.33 Кб1Учебное пособие 76.pdf
#
30.04.2022571.64 Кб16Учебное пособие 760.pdf
#
30.04.2022571.91 Кб3Учебное пособие 761.pdf
#
30.04.2022572.83 Кб4Учебное пособие 762.pdf
#
30.04.2022573.03 Кб3Учебное пособие 763.pdf
#
30.04.2022573.61 Кб1Учебное пособие 764.pdf
#
30.04.2022573.96 Кб1Учебное пособие 765.pdf
#
30.04.2022574.06 Кб1Учебное пособие 766.pdf
#
30.04.2022574.21 Кб1Учебное пособие 767.pdf
#
30.04.2022574.7 Кб3Учебное пособие 768.pdf
#
30.04.2022575.1 Кб1Учебное пособие 769.pdf