Учебное пособие 764

C64 = min(C64 , C62 + C24 ) = min( ¥,2 + ¥) = ¥;

C65 = min(C65 ,C62 + C25 ) = min(3,2 + 6) = 3;

C66 = 0.

Матрица, полученная после второй итерации, имеет вид

Рассмотрим случай, когда k = 3

C12 = min( C12 ,C13 + C32 ) = min(1,4 + 3) = 1;

C13 = min( C13 ,C13 + C33 ) = 4;

C14 = min( C14 ,C13 + C34 ) = min( ¥,4 + 5) = 9; C15 = min( C15 , C13 + C35 ) = min( 7,4 +1) = 5; C16 = min( C16 ,C13 + C36 ) = min(3,4 + 3) = 3.

Для второй строки получим

C23 = min(C23 ,C23 + C33 ) = 3;

19

Приведем расчет для k= 5 только тех элементов, которые

4.2. Для сети, представленной на рис. 3, найти кратчайшие пути от вершины а1 до остальных.

Решение. Результаты расчетов приведены в таблице.

20

В первом столбце дается номер итерации, во втором — номер вершины, получающей на данной итерации постоянную пометку, а в остальных — величины пометок для каждой вершины. Столбец выделяется жирными линиями, начиная с той итерации, на которой пометка соответствующей вершины стала постоянной. Рассмотрим порядок расчета.

21

Таким образом, кратчайшие пути от первой вершины ко всем остальным приведены в вершинах выделенных столбцов и совпадают с первой строкой матрицы алгоритма Флойда предыдущей задачи.

5. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА

где 0 £ xij £ bij ; число u ³ 0 называется величиной потока.

2°. Пусть начальные пропускные способности дуг заданы. Выберем некоторый начальный поток, например, нулевой.

Алгоритм работает следующим образом.

22

1. Выберем путь из a0 в an положительной пропускной способности q , гдеq - минимальная величина из пропускных способностей .дуг Источник a0 считается вначале

помеченным, но не просмотренным, а все остальные узлы не помеченными.

2. Выбрать любой помеченный, но не просмотренный узел

ai .

3. Всем узлам a j , для которых bij ³ 0 , приписать пометки

просмотренным. Если при этом сток an оказался помеченным, то по пометкам легко восстановить искомый путь изa0 в an .

В противном случае следует перейти к шагу 2. Если это невозможно, то искомого пути не существует.

4. Пусть (a0 , ai1 ), (ai1 , ai2 ), …, (aim -1 , aim ) — найденный путь. Тогда для каждой дуги (aik , aik +1 ) ^), входящей в этот

путь, следует выполнить операторы:

Далее переходим к шагу1. Если пути положительной пропускной способности не существует, то полученный поток является максимальным.

5.1. В областиимеется семь городов, соединенных дорогами. Граф задачи показан на рис.4.

Рис. 4

23

а около узла a j — максимальное число мешков, которые можно перевезти из a j в ai . Найти максимальное число мешков, которые можно перевезти из a0 в an .

Решение. Пусть начальный поток задан числами

u = x02 = x25 = x56 = 5 (потоки по остальным дугам равны нулю). После изменения пропускных способностей дугbik ik +1 получается сеть.

Далее выбираем путьa0 ® a1 ® a4 ® a6 , где q = 3

минимальная величина из пропускных способностей. Изменяя пропускные способности дуг, получим

24

На следующем шаге выбираем путь

a0 ® a1 ® a2 ® a4 ® a6 ,q = 1,

тогда граф примет вид

Далее a0 ® a2 ® a4 ® a6 , q = 2 и граф будет

Следующий шаг a0 ® a3 ® a5 ® a4 ® a6 , q = 1

Далее a0 ® a3 ® a2 ® a4 ® a6 , q = 1

25

Наконец, a0 ® a3 ® a5 ® a2 ® a4 ® a6 , q = 1

Поскольку положительной пропускной способности нет, то полученный поток является максимальным.

6. ЗАДАЧА ЗАМЕНЫ ОБОРУДОВАНИЯ

Покупная цена нового оборудования известна и равна S . Известны затраты на эксплуатацию (уход, ремонт и т. д.) в

соответствующие периоды (1, 2,..., t,..., п). Пусть периоды равны, а затраты в периодt будут Ct . В результате старения балансовая цена оборудования непрерывно падает. Обозначим ее за St . Считаем, что Ct и St экспоненциально зависят от t

Ct a0 (elt -1); St = b0 e-mt .

Средние затраты равны

26

t

Y (t) = (S + åCt - St ) / t,

даст искомое времяt, когда следует произвести замену оборудования.

7. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1°. Метод наименьших квадратов заключается в том, что из данного множества функцийy = f (x) выбирается та, для

которой сумма квадратов отклонений опытных значений от расчетных является наименьшей.

Подбор параметров функцииy = f (x) делается после

определения вида функции. Вид функции выбирается из графического изображения опытных данных таким образом, чтобы график функции наиболее точно отражал расположение опытных данных на графике. Пусть дана таблица значений

Рассмотрим некоторые простейшие виды функций.

2°. Линейная функция y = ax + b . Нормальная система для определения коэффициентов a и b имеет вид

27

суммирование удобнее выполнять в табличной форме

28