Вариант 3

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 629.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

502.15 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

329 - 2014

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,

профили «Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды», очной формы обучения

Воронеж 2014

Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев

УДК 681.3.06

Операционное исчисление: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая


математика"	для	студентов	направления	280700.62
«Техносферная		безопасность»,	профили «Защита		в

чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды», очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2014. 46с.

Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" при изучении в 3 семестре раздела «Операционное исчисление» для студентов специальности ТБ. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.

Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и

содержатся в файле Vmfmm_OpeRIscH _2.pdf.

Ил.2. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

1. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1. Является ли оригиналом функция f t et2 ? Решение: Данная функция не является оригиналом, так как неравенство et2 Mest не может выполняться ни при каких s

для всех t > 0, так как lim	et2	lim	1	et t s , что для любого s
для всех t > 0, так как lim	Mest	lim	M	et t s , что для любого s
t	Mest	t	M
выполнено неравенство et2		Mest ,		начиная с некоторого
значения t.

Задача 2. Найти изображения оригинала: f t 2 t3 t cos 2t 3t

Решение: По таблице изображений найдем:

p2 4

t ln 3

; t

; t cos 2t

; 3

( p2 4)2

p ln 3

F p

p2 4

( p2 4)2

p ln 3

Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

3 p 1

e p

p 1 4

p2 4 p 29

p 2 3

Решение: Преобразуем F p таким образом, чтобы можно

было воспользоваться таблицей изображений:

4 3!

e t t3

;

3! p 1

Прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим полный квадрат в знаменателе для того, чтобы воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа:

3 p 1	3 p 1	3 p 2 7	3e 2t cos 5t 7 e 2t sin 5t

p2 4 p 29	p 2 2 25	p 2 2 25		5

При построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому сначала найдем оригинал для функции

1	1 e2t t2	f t ,

p 2 3
	2

а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

e	p	3	f t 1	1 e2 t 1 t 1 2 t 1

				2
p 2				2

Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

0t e d

Решение: Воспользуемся теоремой об интегрировании

оригинала:	.
e 1	.

И, значит,	t e d		p 1 2			1		.
И, значит,	t e d		1		: p	1		.
	0	p 1				p p 1
	0			2			2

Задача 5. Вычислить интеграл 0t et sin d

Решение: Интеграл 0t et sin d представляет собой свертку

функций sin и e . Ее изображением согласно теореме о свертке будет функция

		1	1	1		1		p		1
F p											.
	p	2	p 1	2			p	2	p	2
		1			p 1			1		1

Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда

убедимся, что оригиналом этого изображения служит следующая функция f t 12 et cos t sin t . И, значит,

0t et sin d = 12 et cos t sin t .

Задача 6. Найти решение задачи Коши

x x 1; x 0 1.

Решение: Пусть функция x t имеет изображение X p . Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим

x t pX p x 0 pX p 1 .

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение

pX p 1 X p 1p .

Откуда получим

X p

Таким образом

x t 1 .

Задача 7. Решить систему уравнений

x y

x(0)

y(0)

1 .

Решение: Пусть

p .

x t X p и

y t Y

Учтя, что et

, получим операторную систему линейных

p 1

уравнений

		2		p 1
pX p 1 Y p			pX p Y p
pX p 1 Y p		p 1	pX p Y p	p 1
		p 1		p 1
		2		p 1
pY p 1	X p	2	pY p X p	p 1
pY p 1	X p		pY p X p
		p 1		p 1
		p 1		p 1

Решая систему, получим X p = Y p	1	.
	p 1

Воспользовавшись таблицей изображений, найдем x t et и y t et .

Задача 8. Решить интегральное уравнение

0t et x d t .

Решение: Интеграл представляет собой свертку функций et и

x t . Пусть

x t X p . Тогда по теореме о свертке

выпишем изображение интеграла

t t

0 e

e * x t

X p

p 1

Составим теперь операторное уравнение

X p

p 1

откуда

X p

p 1

И, значит,

x t 1 t .

Задание 9. Найти изображение функции, заданной графиком

(рис. 1):

Рис. 1

Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через f (t) ), имеем:

0,1,

f (t) 1,

t 2

2 t 3

3 t 4 t 4.

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:

				3	4
		F( p) e pt f (t)dt e ptdt e ptdt
0				2	3
	1					2 p
	1	e 3 p e 2 p e 4 p e 3 p			e p		1 2e p e 2 p
	p	e 3 p e 2 p e 4 p e 3 p			e p		1 2e p e 2 p
			e p 1 e p 2			e p e 2 p 2		.
				p			p

Ответ. F p e p e 2 p 2 . p

Задание 10. Контур подключен к постоянной э.д.с. E0 (см.

рис.2). При установившемся режиме включается рубильник K и накоротко замыкает сопротивлениеR2 . Найти выражение

переходного тока. R1 1, R2 2, L 2, E0 3 .

Рис. 2

Решение. Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включения рубильника K в данном случае имеет вид:

di(t)

Ri(t) E

R R R

задачи i(0) 0 . Решим это уравнение

Согласно постановке

операционным методом, предполагая, что i(t) F( p) .

di(t)

3i(t) 3,

i(0) 0.

2 pF( p) 3F( p)

F( p) 2 p 3

F( p)

p(2 p 3)

Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:

F( p)

2 p 3

2 Ap 3A Bp 3

p1 : 2 A B 0

F( p)

p0 : 3A 3

2 p 3

p 1.5

A 1; B 2

Таким образом, i(t) 1 e 1,5t .

Установившийся ток в контуре до включения рубильника K

есть iyc 1. Дифференциальное

уравнение

Кирхгофа после

замыкания рубильника K имеет вид:

di(t)

R i(t) E

, i(0) 1 .

Решим это уравнение операционным методом.

di(t)

i(t) 3,

i(0) 1.

3 2 p

2( pF( p) 1) F( p)

, F( p) 2 p 1

F( p)

p(2 p 1)

Как и в предыдущем случае воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения изображения на слагаемые.

F( p)

2 p 1

2Ap A Bp 3 2 p

p1 : 2A B 2

F( p)

p0 : A 3

2 p 1

p 0.5

A 3; B 4

Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет i(t) 3 2e 0.5t .

Ответ. i(t) 3 2e 0.5t .

2. ВАРИАНТЫ ТИПОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант 1

1.Является ли оригиналом функция f (t) 3t (t)

2.Найти изображения оригинала: sint 2t sin 2t cos 3t

3.Найти оригиналы, соответствующие изображению:

2 p 7

p 1 p2 3 p

4.Не вычисляя интегралы, найти изображение 0t e sin 2 d

5.Вычислить интеграл 0t sin cos t d

6.Найти решение задачи Коши

x 2x x t2 5t 4; x 0 1; x 0 0

7. Решить систему уравнений
x x y 2t 5		x 0 0; y 0 1
	y 2x 3x t

8.	Решить интегральное уравнение 0t et x d 3t2				1
9.	В контур (см. рис.)	при нулевых начальных			условиях
		E	0 t 3	. Найти выражение
	подключена э.д.с. u(t) 1			. Найти выражение
		E2	t 3
	переходного тока при	t 3 при условиях колебательного
	процесса.

10.Найти изображение функции заданной следующим графиком:

Вариант 2

1.Является ли оригиналом функция f (t) t3 (t)

2.Найти изображения оригинала: sint 2t e2t cht

3.Найти оригиналы, соответствующие изображению:

2 p 1 p 3

4.Не вычисляя интегралы, найти изображение 0t sin 2 d

5.Вычислить интеграл 0t sin sin t d

6.Найти решение задачи Коши x x 1; x 0 1

7.Решить систему уравнений

x x y sin t		x 0 0; y 0 1
	y 2x sin t

8. Решить интегральное уравнение 0t et x d sin t

9. На рисунке изображена цепь, замыкаемая и размыкаемая рубильником K . Рубильник остается замкнутым в течение 2 секунд и разомкнутым в течение 3 секунд, причем эта операция повторяется периодически в той же последовательности. Определить выражения тока в цепи при третьем замыкании и третьем размыкании, предполагая, что i(0) 0 .

10.Найти изображение периодической функции заданной следующим графиком:

2 p 1 p 3

4.Не вычисляя интегралы, найти изображение 0t cos 2 d

5.Вычислить интеграл 0t sin e / 2 d

6.Найти решение задачи Коши

x 3x et ; x 0 0; x 0 1
7. Решить систему уравнений
x 2x y 3 4t		x	0 0; y 0 2
	t
y x 2 y 4
	10

8.Решить интегральное уравнение 0t cos x t d sin t

9.Контур подключен к постоянной э.д.с. E0 (см. рис.) При установившемся режиме включается рубильник K и накоротко замыкает сопротивлениеR2 . Найти выражение переходного тока. R1 2, R2 3, L 4, E0 5

10.Найти изображение функции заданной следующим графиком:

	Вариант 4
1.	Является ли оригиналом функция f (t) e t2	(t)
2.	Найти изображения оригинала: sin t sin 3t	2sh4t t2
3.	t
3.	Найти оригиналы, соответствующие изображению:

2 p 1 p2 4

4.Не вычисляя интегралы, найти изображение 0t 2 sin 2 d

5.Вычислить интеграл 0t t x 2 cos2xdx

6.Найти решение задачи Коши

x 3x et ; x 0 0; x 0 1 7. Решить систему уравнений

	2
x y x 4 t	2	x 0 1; x 0 0; y 0 1
x y x 4 t		x 0 1; x 0 0; y 0 1
x 2 y 2x 2t2

8.Решить интегральное уравнение 0t et x d sin t

9.В схеме (см. рис.) действует синусоидальное напряжение

u(t) u0 sin( t ) . В момент t0 рубильник замыкает накоротко цепь R2 L . Найти выражения переходных токов.

10.Найти изображение периодической функции заданной следующим графиком:

Вариант 5	1
1. Является ли оригиналом функция f (t)		(t) ?
	(t 1)2

2.Найти изображения оригинала: 1 teet 2t et cos2 t

3.Найти оригиналы, соответствующие изображению:

p2 1 p2 3

4.Не вычисляя интегралы, найти изображение

0t 2e2 d

5.Вычислить интеграл 0t sin e / 2 d

6.Найти решение задачи Коши

x 4x x 1 2et ; x 0 2; x 0 1 7. Решить систему уравнений

x x y 2

x 0 0; y 0 1

y x y 2t

8.Решить интегральное уравнение 0t e2 t u x u du t2et

9.В схеме (см. рис.) при включенном рубильнике напряжение на конденсаторе равно E0 , а ток через катушку

индуктивности равен E0 / R2 . При выключенном

рубильнике начинается разряд конденсатора. В конденсаторе предполагается наличие апериодических разрядов. Найти напряжение на конденсаторе в момент времени t .

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022500.37 Кб9Учебное пособие 624.pdf
#
30.04.2022500.57 Кб1Учебное пособие 625.pdf
#
30.04.2022500.87 Кб10Учебное пособие 626.pdf
#
30.04.2022501.41 Кб3Учебное пособие 627.pdf
#
30.04.2022501.77 Кб6Учебное пособие 628.pdf
#
30.04.2022502.15 Кб7Учебное пособие 629.pdf
#
30.04.2022253.97 Кб4Учебное пособие 63.pdf
#
30.04.2022502.23 Кб6Учебное пособие 630.pdf
#
30.04.2022503.71 Кб4Учебное пособие 631.pdf
#
30.04.2022504.24 Кб9Учебное пособие 632.pdf
#
30.04.2022504.42 Кб1Учебное пособие 633.pdf

Является ли оригиналом функция f (t) eit

Найти изображения оригинала:

Найти оригиналы, соответствующие изображению: