Учебное пособие 598
.pdfВариант 28
1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3y dl ,
L
если L – дуга параболы y 2 = x 1 £ x £ 4 .
2. Найти массу кривой y = 2ch x на участке от x = 0 до x = 3 2
считая, что в каждой точке плотность пропорциональна ординате этой точки.
3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
ò(x2 + y + z)dx + z2dy + (x + y2 )dz , где L – отрезок прямой от
L
точки А(2,1,0) до точки В(4,3,1).
4. Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, вычислить криволинейный
интеграл òe x cos y dx - e x sin y dy от точки А(0,0) до точки
L
В(x,y).
5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
òò(x2 + y2 - 2)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},
S |
|
|
определяемой условиями íìx 2 |
+ y 2 + z 2 |
= 3,ýü. |
î |
z ³ 0 |
þ |
6.Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл
òòyz dxdy + xz dydz + xy dxdz, где S – внешняя сторона
S
поверхности, расположенной в первом октанте и
составленной из цилиндра x 2 + y 2 = R 2 и плоскостей
x = 0, y = 0, z = 0 и z = H .
41
Вариант 29
1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3x dl ,
L
если L – дуга кривой x = t , y = t 2 , 2 £ t £ 4 . 2
2. Вычислить массу эллипса L, определенного
ìx = cos t
параметрическими уравнениями í
îy = sin t
(0 £ t £ 2p ) .
3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
ò y dx + x dy , где L – четверть дуги окружности
L
x = R cost, y = Rsin t , лежащая в первой координатной
четверти при положительном направлении обхода.
4. Найти функцию u = u(x, y, z) |
по ее полному |
||||||||||
дифференциалу du = (1 - |
1 |
+ |
y |
)dx + ( |
x |
+ |
x |
)dy - |
xy |
dz . |
|
y |
|
|
y 2 |
|
|||||||
|
|
z |
|
z |
|
z 2 |
5.Вычислить поверхностный интеграл первого рода
òò(21x - 21y + z)ds по пространственной области
S |
|
|
S = {(x, y, z)}, определяемой условиями |
ìx 2 |
+ y 2 + z 2 |
í |
z ³ 0 |
|
|
î |
= 10,üý .
þ
6. Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл òò y 2 z dxdy + xz dydz + x 2 y dxdz, где S – внешняя
S
сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения z = x 2 + y 2 , цилиндра x 2 + y 2 = 1 и координатных плоскостей.
42
Вариант 30
1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
ò(x + 2 y) dl , если L – дуга астроиды
L
x = 5 cos3 t, y = 5sin 3 t, p £ t £ 2p .
2. Найти массу дуги линии x = et cos 2t, y = et sin 2t, z = et
от точки, соответствующей t = 0 до t = p , если плотность
2
дуги пропорциональна квадрату полярного радиуса. 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
ò y2dx - x2dy , где L – контур треугольника ОАВ с вершинами
L
О(0,0), А(2,2), В(0,2) при положительном направлении обхода. 4. Найти площадь, ограниченную кривой
x = 2 sin 3 t, y = 6 cos3 t, 0 £ t £ 2p .
5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
òò(xy + z2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},
S |
|
|
определяемой условиями íìx 2 |
+ y 2 + z 2 |
= 1,ýü . |
î |
z ³ 0 |
þ |
6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода òò zdxdy,
где S – полусфера z = + R 2 - x 2 - y 2 .
43
|
Контрольные вопросы для самопроверки |
||||
1. |
Какая |
плоская |
(пространственная) |
кривая |
|
называется: а) |
простой |
незамкнутой (замкнутой); б) |
|||
спрямленной; в) гладкой; г) кусочно-гладкой? |
|
||||
2. Является |
ли |
кривая x = cos t, y = sin t, |
0 £ t £ 3p |
||
простой? |
Является ли |
кривая x = 2t -t2 , y = 3t -t3 , |
-1 £ t £1 |
гладкой, кусочно-гладкой?
3.Напишите параметрические уравнения плоской кривой, заданной: а) в декартовых координатах; б) в полярных координатах.
4.Дайте определение функции: а) непрерывной вдоль кривой; б) кусочно-непрерывной вдоль кривой.
5.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла1 рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла 1 рода.
6. Зависит |
ли |
от |
направления : |
обхода) |
|
криволинейный |
интеграл 1 |
рода; |
б) какая-нибудь |
его |
|
интегральная сумма? |
|
|
|
|
7.Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла 1 рода и вычисления его с помощью определенного интеграла.
8.Какие физические приложения криволинейного интеграла 1 рода вы знаете?
9. |
Для |
криволинейного |
интеграла1 |
рода |
сформулируйте: |
а) свойство линейности |
и аддитивности; |
б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.
10.Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла2 рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла 2 рода.
11.Зависит ли от направления обхода:
а) криволинейный интеграл 2 рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?
44
12.Дайте определение поверхностного интеграла первого и второго рода.
13.Сформулируйте теорему о существовании поверхностного интеграла первого рода и сведении его к
двойному |
интегралу |
для |
поверхности, заданной |
|
параметрически. |
|
|
|
|
14. Напишите формулу |
вычисления поверхностного |
|
||
интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для |
||||
явно заданной поверхности. |
|
|
|
|
15. |
Сформулируйте |
|
достаточные |
условия |
существования поверхностного интеграла второго рода и |
||||
напишите формулы сведения его к двойному интегралу в |
||||
случае, если поверхность задана: а) параметрически; б) явно. |
|
|||
16. |
Выразите поверхностный интеграл второго рода |
|
òò xdydz + ydzdx + zdxdy ,
F
через сумму двойных интегралов, где F—сфера
х2 + у2 + z2 =R2
и п(М) = {cos α, cos β, cos γ} — ее внешняя нормаль.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1989.
2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.2.
3.Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопрсах и задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев. М.:
Высш. шк., 1988.
4. Петрушко |
И.М Курс |
высшей |
математики. |
Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. |
|||
Дифференциальные |
уравнения / |
И.М. Петрушко, |
Н.В. |
Гулевич, Л.А. Кузнецов. Спб.: Изд-во «Лань», 2006. |
|
45
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 20.01.03 "Техносферная безопасность"
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 21.11.2016.
Уч.- изд. л. 2,8
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
3