Учебное пособие 598

Вариант 18

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3y dl ,

L

если L – дуга кубической параболы y = 2x3 1 £ x £ 2 .

2. Найти массу кривой y = ch x на участке от x = 0 до x = 3 3

считая, что в каждой точке плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y2dx + z2dy + (x - y)dz , где L – отрезок прямой от точки

L

А(1,0,2) до точки В (2,-1,0).

4. Убедившись, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, вычислить интеграл

(1, 2)

ò(3x 2 - 2xy + y 2 ) dx + (2xy - x 2 - 3y 2 ) dy .

( -1,-1)

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò x2 + y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

определяемой условиями ìí x 2 + y 2 = 4,üý .

îz = 0, z = 1þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода òò z dxdy,

31

Вариант 19

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(2x + y) dl , если L – дуга астроиды

L

y = 2sin 3 t, x = 2 cos3 t 0 £ t £ p .

ò(x2 - y2 )dx + 2xy dy , где L – дуга параболы x = y2 при y £ 1.

L

4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл ò- x 2 ydx + xy 2 dy , если L – окружность с центром в

L

начале координат радиуса R, пробегаемая в положительном направлении.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(xy + z2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòz 2 dxdy, где S – внешняя сторона эллипсоида

32

Вариант 20

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò y dl ,

L

если L – дуга кривой y = 3 x, 3 £ x £ 4 .

2. Найти массу первого витка винтовой линии

ìx = 2 cost

ï

íy = 3sin t плотность которой в каждой точке равна квадрату

ïîz = t

полярного радиуса этой точки.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(1 + x2 ) y dx + (1 + y2 )x dy , где L – контур треугольника АВС с

L

вершинами А(0,0), В(2,0), С(4,2) при положительном направлении обхода.

4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный

L

пробегаемый в положительном направлении.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò3 9 - x2 - y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòxz dxdy + xy dydz + yz dxdz, где S – внешняя сторона

S

пирамиды, составленной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1.

33

Вариант 21

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò(2x + 3y) dl , если L – дуга циклоиды

L

x = 3(1 - cos t), y = 3(t - sin t), p £ t £ 3p .

от точки, соответствующей t = 0 до t = 2 , если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1,0,1) равна 2.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx + xy dy , где L – четверть дуги эллипса с полуосями а=2,

L

в=1, лежащая в первой координатной четверти при положительном направлении обхода.

(2,8)

4. Вычислить криволинейный интеграл ò(x3 - 2xy)dx - x 2 dy

(0,0)

по прямой y = 4x и по дуге параболы y = x3 .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòxds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòyz dxdy + xz dydz + xy dxdz, где S – внешняя сторона

S

поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндра x 2 + y 2 = R 2 и плоскостей x = 0, y = 0, z = 0 и z = H .

34

Вариант 22

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò3x 2 dl ,

L

если L – дуга кривой y = 2lnx, 2 £ x £ 3 .

2.Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии x = 5cost, y = 5sin t, z = t , считая плотность равной 3.

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx - x dy , где L – верхняя полуокружность

L x2 + y2

x = 5cost, y = 5sin t при положительном направлении обхода. 4. С помощью криволинейного интеграла найти площадь, ограниченную кардиоидой

x = 2 cos t - cos 2t, y = 2sin t - sin 2t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòzds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò y 2 z dxdy + xz dydz + x 2 y dxdz, где S – внешняя сторона

S

поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида вращения z = x 2 + y 2 , цилиндра x 2 + y 2 = 1 и координатных плоскостей.

35

Вариант 23

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò5x dl ,

L

если L – дуга кривой x = t, y = 2t 2 , 1 £ t £ 2 .

2.Вычислить статический момент первого витка винтовой линии x = t cos2 t, y = t sin 2 t, z = t , относительно плоскости Оxy, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости r = 2z 2 .

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(6 - y)dx - (3 - y)dy , где L – арка циклоиды

L

x = 3t - 3sin t, y = 3 - 3cost,0 £ t £ 2p .

4. Найти работу силы F = {- y, x} от точки A(0,0) до точки

B(0,2pa) вдоль дуги циклоиды x = a(t - sin t), y - a(1 - cost) .

замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур.

36

Вариант 24

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò2 y 2 dl,

оси Оx.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò( y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz , где L – дуга кривой

L

x = t2 , y = t 4 , z = t6 ,0 £ t £1.

4. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = cos t, y = 2 sin t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(z2 +1)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

L

окружность x 2 + y 2 = R 2 , z = 0 , используя формулу Стокса,

взяв в качестве поверхности полусферу z = + R 2 - x 2 - y 2 .

37

Вариант 25

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(2x 2 + 5 y) dl , если L – дуга кривой

L

x = 10 cos2 t, y = 10 sin 2 t, p £ t £ p .

32

2.Найти центр тяжести одной арки циклоиды

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òxy dx + (x2 + y2 )dy , где L – контур четырехугольника АВСD

L

с вершинами А(-1,0), В(1,0), С(2,1), D(2,2) при положительном направлении обхода.

4. Найти площадь области, ограниченной линиями

x = t 2 , y = t 3 , x = 1.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòz4ds

S

по пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной интеграл по объему тела, ограниченного этой поверхностью: òò x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy . Интегрирование

S

ведется по внешней стороне поверхности S.

38

Вариант 26

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò2x dl ,

L

если L – дуга параболы y = 4x 2 1 £ x £ 3 .

2.Вычислить статический момент относительно координатных осей отрезка СВ, соединяющего точки С(1,1) и В(3,5). Плотность в каждой точке отрезка равно произведению координат этой точки.

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

положительном направлении материальной точки. 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò x2 + y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò z dxdy + y dxdz + x dydz, где S – верхняя сторона плоскости

S

x + 4 y - z = 1, ограниченной координатными плоскостями.

39

Вариант 27

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(3x3 y + 4xy 3 ) dl , если L – дуга окружности

L

x = 2 cos t, y = 2 sin t, p £ t £ p . 2

2. Найти массу кривой y = x3 от точки x = 0 до x = 2 , если в

каждой точке кривой плотность равна квадрату ее абсциссы. 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òx dy - y dx , где L – дуга астроиды x = cos3 t, y = sin 3 t от

L

точки А(1,0) до точки В(0,1).

4. Найти работу силы F = (4x - y) i + (x + 2 y) j вдоль ломаной АВС, где А(1,2), В(1,5), С(-3,5).

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + y2 - 2z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить с помощью формулы Остроградского интеграл

òòxz dxdy + xy dydz + yz dxdz, где S – внешняя сторона

S

пирамиды, составленной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и

x + y + z = 1.

40