Учебное пособие 598

2) ПИ 1р

2.1. Определение ПИ 1р

f (x, y, z) непрерывна в

l = max diamDGi , m(M ) - поверхностная плотность G Þ

Þ m = òòm(x, y, z)ds – масса G .

G

2.2. Вычисление ПИ 1р

G : z = z(x, y))x, y) Î D - гладкая поверхность Þ

3) ПИ 2р

3.1. Определение ПИ 2р

P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны в W Ì R3 ,G Ì W –

двусторонняя ориентированная поверхность,

11

Связь ПИ Iр и ПИ IIр:

òò Pdydz + Qdxdz + Rdydx = òò(P cosa + Q cos b + R cos g )ds

тупых.

12

5) Формула Стокса

P(M ), Q(M ), R(M ) - непрерывные вместе с частными производными на ориентированной поверхности G, L = ¶G - гладкая Þ

13

4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА Вариант 1

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò x d l ,

L y

если L – дуга окружности x = 2sin t, y = 2 cos t, p £ t £ p .

4. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл ò x 2 y dx - xy 2 dy по окружности L с центром в

L

начале координат радиуса R, при положительном направлении обхода.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òò x y z ds

S

по пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

условиями ìíx + y + z = 1, üý.

îx ³ 0, y ³ 0, z ³ 0þ

6. Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл

ò y dx + z 2dy + x2dz , где L – окружность, по которой плоскость

L

z = 3 пересекает сферу, заданную уравнением x2 + y2 + z2 = 4 .

14

Вариант 2

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò y dl

L x

по кривой L y = x 2 , 1 £ x £ 2 .

2. Определить центр тяжести дуги астроиды

x = 2 cos3 t, y = 2 sin 3 t , лежащей в первой четверти 0 £ t £ p . 2

Плотность считать равной единице.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòxdydz + ydzdx + zdxdy , где S - внешняя сторона сферы

S

x2 + y2 + z 2 = a2 .

15

Вариант 3

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò xy 2 dl

L

по кривой L: x = 3cos t, y = 3sin t, p £ t £ 2p .

2.Вычислить статический момент относительно координатных осей прямолинейного отрезка АВ, соединяющего точки А(0,0) и B(1,1). Плотность в каждой точке отрезка равна произведению координат этой точки

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(x2 + xy)dx - ydy , L-контур квадрата АВСD с вершинами

L

А(1,0), В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном направлении обхода.

4.Найти функцию u = u(x, y) по ее полному дифференциалу du = (e 2 y - 5y 3e x ) dx + (2xe2 y -15 y 2 e x ) dy .

5.Вычислить поверхностный интеграл первого рода

6.Вычислить поверхностный интеграл II рода

òò( y - z)dydz + (z - x)dzdx + (x - y)dxdy , где S - нижняя

S

сторона части конической поверхности z = x2 + y2 , при z Î[0, h].

16

Вариант 4

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò x 2 y dl

2. Найти массу кривой y = x2 от точки x = 0 до x = 2 , если в

каждой точке кривой плотность равна квадрату ее абсциссы. 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò(x2 - 2xy)dx + ( y2 - 2xy)dy , где L - дуга параболы y = x2 при

L

x£ 1 при положительном направлении обхода.

4.Найти работу силы F = {x - 2 y, 3x + 5 y}, совершаемую при

перемещении материальной точки вдоль ломаной АВС, где А(1,-2), В(1, 3), С(5,3).

5.Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x +18 y + 24z)ds по пространственной области

S

6.Вычислить поверхностный интеграл II рода

òòx2dydz + y2dzdx + z 2dxdy , где S - внешняя сторона сферы

S

x2 + y2 + z 2 =1 при x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0 .

17

Вариант 5

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

2. Найти массу участка кривой y = lnx от точки с абсциссой

x1 = 3 до точки с абсциссой x2 = 2 2 , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx + z dy + x dz , L - отрезок прямой АВ, А(0,1,2), В(3,2,-1).

L

4. Найти площадь, ограниченную астроидой x = 2 cos3 t, y = 2 sin 3 t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòzds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6. Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный интеграл ò( y2 - z 2 ) dx + (z 2 - x2 )dy + (x2 - y2 )dz , где L –

L

граница сечения куба 0 £ x £ a,0 £ y £ a,0 £ z £ a плоскостью

x + y + z = 3a , которая обходится против часовой стрелки, 2

если смотреть из точки (2 a ,0,0).

18

Вариант 6

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

считая, что в каждой точке плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò dx + dy , L-контур квадрата АВСD с вершинами А(1,0),

L x + y

В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном направлении обхода.

4.Найти работу, совершаемую силой F = (-y, x) при перемещении материальной точки вдоль верхней полуокружности x 2 + y 2 = 4 в положительном направлении.

5.Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x + y + z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить поверхностный интеграл II рода òò x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy

S

по внешней стороне S сферы x2 + y2 + z2 = R2 .

19

Вариант 7

x = a(t - sin t), y = a(1 - cost),0 £ t £ 2p при положительном направлении обхода.

4. Найти работу силы F = (z, x, y) , совершаемую при перемещении материальной точки вдоль окружности

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòzds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

6. Вычислить поверхностный интеграл II рода òòzdxdy , где S -

S

нижняя сторона части конуса z = x2 + y2 , заключенного между плоскостями z = 0 и z =1 .

20