Учебное пособие 582

аналогичные многочлену в (41), их коэффициенты постоянны. Пример 1. Решить уравнение

y(V ) - 2 y(IV ) -16 y¢+ 32 y = 0 .

РЕШЕНИЕ. Пишем характеристическое уравнение l5 - 2l4 -16l + 32 = 0 .

Разлагая левую часть на множители, находим корни

(l - 2)(l4 -16) = 0 (l - 2)2 (l + 2)(l2 + 4) = 0 ,

l1 = l2 = 2 ; l3 = -2 ; l4 = 2i ; l5 = -2i .

По изложенным выше правилам пишем общее решение

y= (c1 + c2 x)e2 x + c 3 e-2x + c4 cos 2x + c5 sin 2x .

6.3.Линейные неоднородные уравнения с постоянными

коэффициентами

Если правая часть линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами состоит из суммы произведений функций

b0 + b1x +... + bm xm , ea x , cos b x , sin b x ,

то частное решение неоднородного уравнения можно искать

корня. Чтобы найти коэффициенты многочлена Qm (x) , надо

решение (42) подставить в дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения.

40

Если коэффициенты левой части уравнения вещественны, то для уравнения с правой частью

y¢¢¢ + 3y¢¢ - 4 y¢ = sin x , y3* = D cos x + E sin x .

41

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

y* = x (Ax + B) + Cxex + D cos x + E sin x .

Найдем коэффициенты A , B , C , D , E . Для этого вычислим производные y*¢, y*¢¢ , y*¢¢¢, подставим в данное уравнение и приведем подобные члены:

y*¢ = 2 Ax + B + Cex + Cxex - D cos x + E sin x ,

y*¢¢ = 2 A + 2Cex + Cxex - D cos x - E sin x ,

y*¢¢¢ = 3Cex + Cxex + D cos x - E sin x ,

-8Ax + (6A - 4B ) + 5Cex + (-3D - 5E )cos x + (5D -3E )sin x =

=x + ex + sin x ,

xì-8A =1,

42

Ищем y* в виде y* = x2 (Ax2 + Bx + C ). Находим производные

и подставляем их в исходное уравнение: y* = Ax4 + Bx3 + Cx2 ,

y*¢ = 4 Ax3 + 3Bx2 + 2Cx , y*¢¢ =12 Ax2 + 6Bx + 2C , y*¢¢¢ = 24Ax + 6B ,

y*IV = 24A ,

9x2 = -36 Ax2 -18Bx + 6C + 24 A .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и находим:

9 = -36 A , 0 = -18B , -6C + 24 A Þ A = - 1 , B = 0 , C = -1 . 4

Подставляя найденные значения, получаем общее решение уравнения

y = C1 + C2 x + C3 e- 3 x + C4 e 3 x - x4 - x2 . 4

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения дифференциальных , уравнени удовлетворяющие заданным условиям:

1.y¢ = 3 х 2 , y(0) = 1;

2.у¢ = 3х , у(1) = 2;

3.y¢ = e 2 х , y(0) = 0;

43

10. y¢ = y 3 , y(0) = 1.

Решить данные уравнения. Найти также решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия):

16.(x +1)3 dy - ( y - 2)2 dx = 0;

17.sec 2 x sec ydx + ctgx sin ydy = 0;

18.( xy + x ) y¢ - y = 0;

19.y = y¢cos2 x ln y, y(p ) = 1;

20.x(1 + y 2 )dx + y(1 + x 2 )dy = 0;

21.yxe x2 dx + (1 + y)dy = 0;

22.x(1 + y 2 )dx + e x dy = 0, y(0) = 0;

23.3 y 2 dx - 1 dy = 0;

3

44

28.x 2 (1 + y)dx + (x3 -1)( y -1)dy = 0;

29.2xdx + 3ydy = 4x2 ydy - 2xy 2 dx;

30.y¢ = y 2 cos x;

31.(1 + x 2 )dy - 2xydx = 0, y(0) = 1;

32.y¢ = y +1 , y(1) = 0;

x

33.(1 + e x ) yy¢ = e x , y(0) = 1;

34.y¢ctgx + y = 2, y(0) = -1;

35.y¢ = 33 y 2 , y(2) = 0;

36.xy¢ + y = y 2 , y(1) = 0,5;

37.2x 2 yy¢ + y 2 = 2;

38.y¢ - xy 2 = 2xy;

39.e-x (1 + dy ) = 1;

dx

40.y¢ = 10x+ y ;

41.xydx + (x +1)dy = 0;

42.y 2 +1dx = xydy;

43.(x 2 -1) y¢ + 2xy 2 = 0, y(0) = 1;

44.(1 + x) ydx + (1 - y)xdy = 0;

45.x 2 y 2 y +1 = y;

45

46.y dy + x = t. dx

Уравнения вида y' = f (ax + by) приводятся к уравнениям с

47.y¢ = cos( y - x);

48.y¢ - y = 2x - 3;

49.(x + 2 y) y¢ = 1, y(0) = -1;

50.y¢ = 4x + 2 y -1.

Решить уравнения:

61.( y + xy )dx = xdy;

62.xy¢ = x 2 - y 2 + y;

63.(2x - 4 y + 6)dx + (x + y - 3)dy = 0;

46

64.(2x + y +1)dx - (4x + 2 y - 3)dy = 0;

65.(x - y -1) + ( y - x + 2) y¢ = 0;

66.(x + 2 y)dx - xdy = 0;

67.(x - y)dx + (x + y)dy = 0;

68.( y 2 - 2xy)dx + x 2 dy = 0;

69.2x3 y¢ = y(2x 2 - y 2 );

70.y 2 + x 2 y¢ = xyy¢.

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

71.y¢ - yctgx = sin x;

72.y'-y = e x ;

73.x 2 dy - 2xy = -3, y(-1) = 1; dx

74.y¢ + y = x 2 ; x

75.y¢ - ytgx = cos x;

76.y¢ + 2xy = x;

77.y¢ - 4 y = e2 x ;

47

83.(2x +1) y¢ = 4x + 2 y;

84.y¢ + ytgx = sec x;

85.(xy + e x )dx - xdy = 0;

86. y¢ + y = x y ;

87.x 2 y 2 y¢ + xy3 = 1;

88.cos ydx = (x + 2 cos y) sin ydy.

Проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах, и решить их:

y

97.y 2 dx - (xy + x 3 )dy = 3;

98.y 2 dx + (e x - y)dy = 0.

Разные уравнения первого порядка:

99.xy¢ + x 2 + xy - y = 0;

100.2xy¢ + y 2 = 1;

102.(2xy 2 - y)dx + xdy = 0;

103.(xy¢ + y)2 = x 2 y¢;

104.y - y¢ = y 2 + xy¢;

105.(x + 2 y 3 ) y¢ = y;

48

106.y¢3 - y¢e2 x = 0;

107.x 2 y¢ = y(x + y);

108.(1- x 2 )dy + xydx = 0;

109.y¢2 + 2(x -1) y¢ - 2 y = 0;

110.y + y¢ln 2 y = (x + 2 ln y) y¢;

111.xy¢ - 2xy = 3y;

112.x + yy¢ = y 2 (1 + y¢2 );

113.y = (xy¢ + 2 y)2 ;

1

114. y¢ = x - y 2 ;

115. y¢3 + (3x - 6) y¢ = 3y;

116. x - y = 2 ; y¢ y

117.2 y¢3 - 3y¢2 + x = y;

118.(x + y)2 y¢ = 1;

119.2x3 yy¢ + 3x 2 y 2 + 7 = 0.

Решить уравнения:

120.(3x + 2) y¢¢ + 7 y¢ = 0;

121.(1 + x 2 ) y¢¢ + y¢2 +1 = 0;

122.y 3 y¢¢ +1 = 0;

123.y¢2 - yy¢¢ = y 2 y¢;

124.y¢¢ = 3 y , y(0) = 1, y¢(0) = 2;

125.xy¢¢ + y¢ = x , y(1) = 1, y¢(1) = 0;

126.2 yy¢¢ = y¢2 +1;

127.y 2 + y¢2 - 2 yy¢¢ = 0, y(0) = 1, y¢(0) = 1;

128.1 + y¢2 = 2 yy¢¢;

129.(x +1) y¢¢ = y¢ +1, y(0) = 1, y¢(0) = 2.

49