Учебное пособие 582

X =

C1

.

u2 + 2u -1

Y

Подставляя вместо u =

, получим

X

C1

X =

.

( Y )2 + 2( Y ) -1

X

X

(x -1) =

C1

.

( y - 2)2 + 2( y - 2) -1

x -1

x -1

III. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнении

y ' =

a1x + b1 y + c1

a2 x + b2 y + c2

a1 b1

c

a

определитель D =

a2 b2

= 0

, а

1

¹

1

.

c2

a2

В этом случае a2

= la1 и b2

= lb1 , поэтому уравнение можно

записать в виде

a1x + b1 y + c1

y ' =

.

y ' =

x + y - 2

.

-2x - 2 y + 3

РЕШЕНИЕ.

Вычислим

æ 1

1

ö

= 0 . Уравнение

D = ç

-2

÷

è -2

ø

Полученное

уравнение

является

уравнением

разделяющимися переменными

2z -3

dx =

dz.

Общий интеграл уравнения

z -1

так как

2z - 3

x = 2z - ln

z -1

+ ln C ,

1

ò

dz =

ò

(2 -

)dz = 2z - ln

z -1

.

z -1

z -1

Потенцируя обе части общего интеграла, получаем

e

x

=

Ce2 z

.

Определение 1.

Линейным

дифференциальным

уравнением первого порядка называется дифференциальное

уравнение вида:

y¢+ P(x) y = Q(x) ,

(22)

где P(x) , Q(x) -

функции,

непрерывные

на

заданном

интервале (a,b).

Замечание. Некоторые уравнения становятся

линейными,

если в них поменять ролями функцию и аргумент.

3.1. Метод Бернулли решения линейных уравнений

По

методу

Бернулли

решение

линейного уравнения

ищется в виде

y = u(x)u(x) ,

где u(x) , u(x) – неизвестные функции.

¢

Найдем y (x) и подставим в уравнение (22):

y

¢

¢

¢

= u (x) ×u(x) + u(x) ×u (x) ,

¢

¢

u (x) ×u(x) + u(x) ×u (x) + P(x) ×u(x)u(x) = Q(x) .

Далее сгруппируем второй и третий члены этого уравнения и

вынесем за скобки u(x) :

u¢(x) ×u(x) + u(x)[u¢(x) + P(x) ×u(x)] = Q(x) .

(23)

Выберем

теперь

функциюu(x) так, чтобы выражение в

квадратных скобках обратилось в нуль, то есть u(x)

находим

из уравнения

¢

(24)

u (x) + P(x)u(x) = 0 .

du(x) = -P(x)dx , ò du(x) = ò-P(x)dx ;

dx

dx

u(x) = e-òP( x)dx .

Для нахождения u(x)

подставим найденное u(x) в уравнение

(23), получим

¢

-òP ( x)dx

= Q(x) .

u (x)e

Решаем это уравнение

du(x)

= Q(x)eòP ( x)dx , u = òQ(x)eòP( x )dx dx + C ,

dx

где C – произвольная постоянная. Подставляя u(x)

и u(x) в

y = u(x) ×u(x) , получаем решение данного уравнения в виде

é

òQ(x)e

òP ( x)dx

ù

-òP( x )dx

.

(25)

y(x) = ê

dx + C ú e

ë

û

Отметим, что

при

решении

конкретных

уравнений

нецелесообразно

пользоваться

громоздкой

и

трудн

запоминаемой формулой (25), а

проще

усвоить изложенный

способ нахождения общего решения линейного уравнения и

применять его в каждом конкретном случае.

Пример 1.

Найти

общее

решение дифференциального

уравнения

y

¢

¢

¢

.

= u u + uu

Подставим y и y¢ в данное уравнение

¢

¢

-

uu

= x

2

.

u u + uu

x

Преобразуем это уравнение к виду

u

¢

æ

¢

-

ö

= x

2

.

÷

u u + u çu

x

è

ø

Найдем функцию u так,

чтобы

выражение в скобках

обратилось в нуль.

du

u¢ -

u

= 0 Þ

=

u

.

dx

x

x

ln

u

= ln

cx

.

Нам нужно

найти одну

какую-либо функциюu , положим

c =1. Получим

u = x .

Подставляем u = x в уравнение (26):

xu¢ = x2

Þ du = xdx

Þ u =

x2

+C .

найденные u

и u

y = uu ,

2

Подставляя

в

получим общее

решение данного уравнения

æ

x

2

ö

y = x ç

+ C ÷ .

(26)

Пример 2. Найти

è

2

ø

общее

решение

дифференциального

уравнения

y¢ - 2xy =

xex2 .

y

¢

¢

¢

.

Подставляем y и y¢

= u u + uu

в данное уравнение, получаем

¢

¢

- 2xu ) =

xe

x2

(27)

u u + u (u

.

Найдем функцию u

так,

чтобы

выражение

в скобках

обратилось в нуль

du

u¢ - 2xu = 0 Þ

= 2xy .

dx

Разделяем переменные

du

= 2xdx Þ

ò

du

= 2òxdx

Þ ln

u

= x 2 Þ u = e x2 .

u

u

Подставляем u = ex2

в уравнение (27):

y

¢

-

2x

y = 1 .

1+ x2

¢

æ

¢

2x

ö

-

2 u ÷

= 1.

(28)

u u + u çu

1+ x

è

ø

¢

2xu

du

2xu

du

2xdx

u

-1+ x2

= 0 Þ dx

= 1+ x2 Þ u = 1+ x2 ,

ò

du

= 2ò

xdx

Þ ln

u

= ln

1+ x2

Þ u = 1+ x2 .

2

u

1+ x

Подставляя u =1+ x2 в уравнение (28), получим

u

¢

(

+ x

2

)

=1 .

1

Отсюда

du

=

1

Þ du =

dx

Þ u = arctgx + c .

1+ x2

1+ x2

dx

Подставляя

найденные u

и

u

в

y = uu , получим общее

решение данного уравнения

(

)

y = (arctgx + c )

1+ x2

.

Найдем

теперь

решение, удовлетворяющее

начальному

условию y(1) = 0 , имеет вид

C = C(x) .

Эту

функцию

находят

из

дифференциального

уравнения

с

разделяющимися

переменными, которое

получается

в

результате

подстановки

общего

решения

однородного уравнения в неоднородное уравнение.

Пример 4. Решить уравнение

1

y¢ + ytgx =

.

cos x

РЕШЕНИЕ. Сначала находим общее решение однородного

уравнения, соответствующее данному:

y¢+ ytgx = 0 .

Разделяем

переменные

и

после интегрирования

находим

y = C cos x , где C – произвольная постоянная.

Для

получения

всех

решений

исходного

уравнения

считаем

C = C(x)

и

требуем, чтобы

функция y = C cos x

удовлетворяла ему. Для этого

находим y¢

и подставляем y ,

y¢ в данное уравнение:

y

¢

= (C(x) cos x)

¢

¢

-C(x) sin x ,

= C (x) cos x

¢

1

,

C (x) cos x - C( x) sin x + C( x) cos x tg x =

1

cos x

¢

откуда,

после

сокращений,

=

.

Отсюда находим

C (x)

cos2

C(x) = tgx + C0 ,

C0

x

где

–

новая

произвольная

постоянная.

Подставив

значение C(x)

в

равенствоy = C(x) cos(x) ,

окончательно получим

y = C(x) cos( x) = (tg x + C0 )cos( x) = sin x + C0 cos x .

использовать

старое обозначениеC . Таким

образом,

в

рассмотренном

примере y = sin x + C cos x

есть

общее

РЕШЕНИЕ.

Решаем

соответствующее

однородное

уравнение

(2x +1) y¢ = 2 y .

Его общее решение имеет вид y = C (2x +1) . Применим метод

вариации произвольной постоянной.

Имеем y = C (x)(2x +1),

находим y¢ и подставляем y и y¢ в исходное уравнение:

)

(

¢

( )(

)

( ))(

)

( )(

C

x 2x +1 + 2C x 2x +1

= 4x

+ 2C x 2x +1

Þ (2x +1)2 C¢ x( =) 4x.

Отсюда находим

xdx

1

C (x )=

4ò

+ C0 = ln

2x +1

+

+ C0 .

(2x +1)2

2x +1

Таким образом, окончательно получаем

y =

(

)(

ln

2x +1

+ C

)

+1 .

2x +1

3.3. Уравнения Бернулли

Определение 2.

Уравнением

Бернулли

называется

уравнение вида

y¢+ P (x) y = Q (x ) y n , n = const ,

где P (x) , Q (x) - непрерывные

функции

на

заданном

интервале (a, b).

Заметим, что

при n = 0 , n = 1

мы

получаем

линейные

уравнения.

1

1

y¢ + P (x )

= Q (x )

yn

yn-1

и введем новую переменную z

по формуле

z =

1

.

yn-1

y¢-

y¢

=

x2

, x > 0 .

2x

2 y

РЕШЕНИЕ.

Данное

уравнение

является

уравнением

Бернулли. В

данном случае n = -1 .

Решение ищем в виде

y = uu . Найдем y¢ и подставим y и y¢

в данное уравнение:

y

¢

¢

¢

¢

¢

uu

x2

,

-

2x

= 2uu .

= u u + uu

u u + uu

Преобразуем уравнение

¢

æ

¢

-

u

ö

=

x2

(29)

÷

u u + u çu

uu

и найдем u

è

2x ø

так,

чтобы

выражение

в

скобках

обратилось в

нуль:

u

du

dx

du

1

dx

u¢ -

= 0 Þ

=

Þ

ò

=

ò

Þ

2x

u

2x

u

2

x