Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 582

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

481.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Þ ln u = 1 ln x Þ u = x . 2

Подставляя u = x в уравнение (29), получим:

xdx

u u =

x =

Þ udu =

+ c1 Þ

2uu

u x

Þ u2 = x2 + c , где c = 2c1 . 2

Отсюда

u = ±

+ c .

Подставляя найденные u , u в y = uu , получим:

u = ±

+ cx .

4 y

Пример 7.

Найти

решение

= x y ,

уравненияy

удовлетворяющее начальному условию y (1) =1 .

РЕШЕНИЕ.

Данное

уравнение

является

уравнением

Бернулли,

при

этом n =

Ищем решение в виде

y = uu .

Находим

подставляемy

данное

= u u + uu

уравнение

4uu

= x uu .

u u + uu

Преобразуем уравнение

4u ö

= x

(30)

u u + u çu

и находим u :

u¢ -

= 0 Þ

= 4

Þ ln

= 4 ln

Þu = x4 .

Подставляя u = x4

в уравнение (30), получаем

= x u × x2 Þ

= ò

+ c Þ 2 u = ln

+ c Þ u =

(ln

+ c )2 .

Подставляя найденные значения u и u

в y = uu , получим

общее решение данного уравнения

y =

(

+ c

)

2 .

Найдем

теперь

решение, удовлетворяющее

начальному

условию

y (1) =1 . Подставляя

общее

решение x = 1 , y =1,

получим c = 2 . Таким образом, решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y (1) =1 , имеет вид

y= 14 x4 (ln x + 2)2 .

4.Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий

множитель

4.1. Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение вида

M (x, y )dx + N (x, y )dy = 0

(31)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y ), то есть

¶M º ¶N . ¶y ¶x

Чтобы решить уравнение(31), надо найти функцию F (x, y ),

полный дифференциал которой равен	левой части уравнения
(31)
¢	¢

dF (x, y ) = Fxdx + Fydy .

Тогда общее решение уравнения (31) можно написать в виде

F (x, y ) = c ,

где c – произвольная постоянная.

Пример 1. Решить уравнение

(2x + 3x2 y )dx + (x3 - 3y2 )dy = 0 .

(32)

РЕШЕНИЕ. Найдем частные производные

¶M

¶N

¶y

¶x

¶ 2x + 3x2 y

¶x

(

)

(

¶y

)

= 3x2 ;

x3 - 3y

= 3x2 .

¶M

¶N

Так как

, то

уравнение (32) является

уравнением

¶y

¶x

полных дифференциалах. Найдем F (x, y ):

Fx¢ = 2x + 3x2 y ;

Fy¢ = x3 - 3y2 .

(33)

Интегрируем

по x

первое

из

уравнений(33), считая

постоянным,

вместо

постоянной

интегрирования поставим

j (y ) неизвестную функцию от y

F (x, y ) = ò(2x + 3x2 y )dx = x2 + x3 y +j (y ).

Далее найдем и подставим во второе уравнение (33)

Fy¢ = x3 - 3y2 ; j¢(y ) = -3y2 ; j (y ) = -3y2 ; j (y ) = -y3 + const .

Следовательно,

F (x, y ) = x2 + x3 y - y3

и общее решение имеет вид:

x2 + x3 y - y3 = c .

4.2. Интегрирующий множитель
Интегрирующим множителем для уравнения
M (x, y )dx + N (x, y )dy = 0	(34)

называется такая функция m (x, y ) ¹ 0 , после умножения на которую уравнение (34) превращается в уравнение в полных


дифференциалах.	Интегрирующий		множитель		существует,
если функции M (x, y ) , N (x, y )		имеют непрерывные частные
производные и	не обращаются		в нуль	одновременно. Но
общего метода	для его	нахождения.		Длянет	решения

некоторых уравнений можно применить метод выделения полных дифференциалов, используя формулы

d (xy) = ydx + xdy ; dy2 = 2 ydy

æ x ö

ydx - xdy

; d

(ln y )=

и т.д.

d ç

y ø

Пример 2. Решить уравнение

ydx - (4x2 y + x )dy = 0 .

(35)

Сначала выделяем группу членов, представляющую собой

полный дифференциал

ydx - xdy = -x2d (y / x ) .

Тогда делим уравнение на -x2 , получим

æ y ö

d ç

4 ydy = 0

, d ç

÷ + d (2 y

)= 0 .

x ø

Это уравнение

полных

дифференциалах. Интегрируя,

получим

y + 2 y2 = c . x

5. Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка

Среди уравнений второго порядка имеются такие типы уравнений, которые могут быть сведены к дифференциальным уравнениям первого порядка. Рассмотрим некоторые из таких типов уравнений.

5.1. Уравнения, не содержащие y в явном виде

Уравнения вида y¢¢ = f (x, y¢) явно не содержит y .

Обозначим y¢ = p . Тогда y¢¢ = p¢. Подставив это в уравнение, получим

p¢ = f (x, p ) .

Получили дифференциальное уравнение первого порядка. Его общий интеграл имеет вид

y = ò p (x, c1 )dx + c2 ,

где c1 , c2 - произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

(

)

¢¢

1+ x

+ xy

= 2 .

РЕШЕНИЕ.

Данное

дифференциальное

уравнение

не

содержит y . Поэтому для его решения положим y¢ = p . Тогда

y¢¢ = p¢. Подставим в данное дифференциальное уравнение

(

)

1+ x

+ xp

= 2 .

Относительно новой неизвестной функцииp

получили

линейное уравнение. Решение этого

уравнения ищем

виде

p = uu , p

Подставляя

уравнение p ,

= u u + uu

преобразуя это уравнение, получим

(1+ x

= 2 .

)u u + ë(1+ x

+ xuûu

(

)

Далее находим u :

1+ x

+ xu = 0 . Решаем это уравнение:

xdx

d 1+ x2

)

= -

Þ ò

= -

(

1+ x

Þ ln

= -

1+ x2

Þu =

Далее находим u :

1+ x2

1+ x2 u¢ = 2 Þ du =

dx Þ

1+ x2

Þ u = 2

+c , u = 2 ln

x + 1+ x2

+ c .

1+ x2

Теперь находим p :

p =

2ln

x +

1+ x2

+ c

Так как p = y¢, то

+ x

y¢ =

2ln

+ x

+ c1 ú

Находим y :

1+ x

y = òê2ln

x + 1

+ x

+ c1 ú

+ c2 =

2òln

x +

1+ x

+ c =

´d ln

x + 1+ x2

+ c

1+ x2

= ln2

x + 1+ x2

+ c ln

x + 1+ x2

+ c

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид

y = ln2

x + 1+ x2

+ c ln

x + 1+ x2

+ c

5.2. Уравнения, не содержащие x

в явном виде

Уравнение

вида y¢¢ =

f ( y, y¢)

явно не содержит x .

Положим

y¢ = p ( y ),

где

p ( y)

– новая неизвестная функция.

Найдем

y¢¢ .

По

правилу

дифференцирования

сложной

функции имеем

dy¢

y¢¢ =

= p

Подставляя выражения дляy ,

y¢

данное

уравнение,

получим

= f (y, p ) .

Относительно

получили

дифференциальное

уравнение

первого порядка.

Пусть нашли его общее решение

p = p (y, c1 ),

где c1

– произвольная

постоянная.

Так

как p = y¢, то

y¢ = p ( y, c1 )

–

это

уравнение

разделяющимися

переменными.

dx =

Þ x =

+ c2 ,

p (y, c1 )

ò p (y, c1 )

где c2 – произвольная

постоянная. В результате получили

общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения yy¢¢ = y¢2 .

РЕШЕНИЕ.

Данное

уравнение не содержит явноx .

Поэтому

для

его

решения полагаемy¢ = p ,

тогда y¢¢ = p

Подставляем в уравнение

= p2 Þ y

= p

( p ¹ 0)

- уравнение с разделяющимися переменными

+ ln

Þ ln

= ln

+ ln

Потенцируя

обе

части

этого

равенства, получаем

p = c1 y .

Далее,

= c1 y

Þ y

= c1dx Þ ò y

= c1 òdx + lnc2 Þ

Þ ln

= c x + ln

Þ y = c

ec1x

- общее решение.

5.3. Уравнения, разрешенные относительно второй производной

Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной имеет вид

y¢¢ = f (x) .

Обозначим

y¢ = p , тогда

уравнение принимает

вид

p¢ = f (x )

– уравнение первого

порядка

разделяющимися

переменными.

= f

(

)

Þ dp = f

(

x dx Þ

dp =

(

x dx +c

)

(

)

Þ p =

dx +c .

Далее вместо p подставляем y¢ =

= ò f (x )dx +c1 Þ dy = (ò f (x )dx +c1 )dx ,

y = ò(ò f (x )dx)dx + c1 òdx + c2 ,

y = ò(ò f (x )dx)dx + c1x + c2

- общее решение.

Пример 3. Решить уравнение y¢¢ = x2 .

РЕШЕНИЕ. Обозначим y¢ = p , тогда y¢¢ = p¢. Подставляем в уравнение

p¢ = x2 Þ dp = x2 Þ dp = x2dx , dx

	p = ò x2 dx +c1 Þ p =							x3		+ c1 ,

									3
dy		x	3		æ	x	3		ö
	=			+ c1	Þ dy = ç				+ c1 ÷dx ,
dx
	3				è 3				ø

y = ò 3 dx + c1 òdx + c2 ,

y = x4 + c1 x + c2 - общее решение. 12

6.Линейные уравнения n - го порядка

6.1.Основные определения

Определение 1.

Линейным

дифференциальны

уравнением n – го порядка называется уравнение вида

y(n) + a1 (x) y(n-1) + a2 (x ) y(n-2) + ...+ an-1 (x) y¢+ an (x ) y = f (x ) ,

(36)

где a1 (x),

a2 (x),…,

an (x) ,

f (x) -

функции, заданные на

некотором интервале.

Если

f (x) º 0 ,

то уравнение

называется

линейным

однородным дифференциальным уравнением n – го порядка;

если f (x) ¹ 0 , то линейным неоднородным уравнением.

Общее решение уравнения (36) имеет вид

y =

+ y* ,

где

–

общее

решение

соответствующего

однородного

уравнения,

- частное (какое-нибудь)

решение

неоднородного дифференциального уравнения.

(x )

Если

общее

решение

однородного

уравненияy

найдено, то частное решение может быть найдено методом

вариации произвольных постоянных.

(x) = c1 y1 + c2 y2 +... + cn yn ,

( 37)

y* (x) = c1 (x ) y1 + c2 (x ) y2 + ...+ cn (x )yn

Функции ci (x) определяются из системы

= 0

ïc1¢y1¢ + ... + cn¢ yn

ïc

= 0

+ ... + c y

ï 1

(38)

................................

(n-2)

= 0

ïc1¢y1

+... + cn¢ yn

(n-1)

+ ... + cn¢ y

(n-1)

= f

(x )

îc1¢y1

6.2. Линейные однородные уравнения с постоянными

коэффициентами

Чтобы

решить

линейное

однородное

уравнение

постоянными коэффициентами

a0 y(n ) + a1 y (n-1 ) +... + an-1 y¢ + an y = 0 ,

(39)

надо составить характеристическое уравнение

a ln + a ln-1 + ...+ a

l + a

= 0 ,

(40)

-1

и найти его корни l1 ,

l 2 , …, ln .

Общее решение уравнения (39) есть сумма, состоящая из

слагаемых

вида c

eli x

для

каждого

простого

корняl

уравнения (40) и слагаемых вида

(cm +1 + cm +2 x + cm +3 x + ... + cm +k xk -1 )el x

(41)

для каждого кратного корняl

уравнения (40).

Все ci

–

произвольные постоянные. Коэффициенты

уравнения (39)

корни l

могут быть вещественными и комплексными. Если

же коэффициенты (39) вещественные, то решение можно тоже

записать

вещественной

форме

случае

комплексных

корней

l .

Для

каждой

пары комплексных

сопряженных

корней l = a ± bi

формулу

общего

решения

включаются

слагаемые

cm +1 ea x cos b x + cm +2 ea x sin b x ,

если эти корни простые, и слагаемые

Pk -1 (x)ea x cos b x + Qk -1 ea x sin b x ,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022480.47 Кб15Учебное пособие 578.pdf
#
30.04.2022480.76 Кб11Учебное пособие 579.pdf
#
30.04.2022251.97 Кб3Учебное пособие 58.pdf
#
30.04.2022481.05 Кб25Учебное пособие 580.pdf
#
30.04.2022481.67 Кб6Учебное пособие 581.pdf
#
30.04.2022481.68 Кб1Учебное пособие 582.pdf
#
30.04.2022482.05 Кб3Учебное пособие 583.pdf
#
30.04.2022482.73 Кб2Учебное пособие 584.pdf
#
30.04.2022483.15 Кб12Учебное пособие 585.pdf
#
30.04.2022483.59 Кб14Учебное пособие 586.pdf
#
30.04.2022483.85 Кб4Учебное пособие 587.pdf