Учебное пособие 582

PA

AM

x

и получаем уравнение

y

y ' = -

,

(2)

x

независимую переменную.

Проверкой

можно

убедиться, что

уравнению (2)

удовлетворяет

любая функция видаy =

C

.

Таким образом,

x

в формулуy =

C

, получим

3 =

C

, С = 6. Следовательно,

x

2

n

ma = åFk ,

(3)

где a =

d 2 x

ускорение груза, х = x(t) — искомый закон

dt

2

вес

груза

и F2

= (-cx)i

— сила, действующая со

стороны

пружины, где с — коэффициент жесткости

r

—

пружины, i

единичный вектор, направленный вдоль осиОх. Проекции

этих сил равны F1 = mg ,

F2 = -cx . Получаем уравнение

m

d 2 x

= -cx + mg ,

dt2

содержащее

неизвестную

функциюх

и

ее

вторую

производную.

Проверкой можно убедиться, что уравнению

d 2 x

+ k

2

x

= g ,

(4)

c

dt2

где

k 2 =

,

удовлетворяет функция

m

g

x = c cos kt + c

sin kt +

,

1

2

k 2

где c1 и c2 — произвольные постоянные.

Действительно, подставим

значение х

в

левую

часть

уравнения (4):

d 2 x

+ k

2

x = -ck

2

cos kt -c k

2

sin kt + c k

2

cos kt +c k

2

sin kt + g = g .

dt2

2

1

2

Таким образом, функция

x = c cos kt + c

sin kt +

g

удовлетворяет уравнению (4).

k 2

1

2

Поскольку х зависит от двух произвольных постоянных,

то для получения определенного закона

движения

нужно

задать два дополнительных условия. Например,

найдем закон

x = c +

g

Þ c = x -

g

.

k 2

0

1

1 0

k 2

Далее

dx

= -c k sin kt + c k cos kt ,

dt

1

2

v0

v

= c k Þ c =

.

0

2

2

k

Таким образом, искомый закон движения

x = (x

-

g

) cos kt +

v0

sin kt +

g

.

0

k 2

k

k 2

В каждой из

рассмотренныхзадач

мы получили для

функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Определение 3.

Функция у = у(х), определенная

на

некотором

интервале (а, b),

называется

решением

находим

их

решения, которые

выражаются

через

элементарные функции и интегралы от них. Однако доказано,

что

во

многих

случаях

решения

дифференциальны

уравнений, хотя и существуют, но не выражаются в виде

конечной комбинации элементарных функций и интегралов от

них. Например, решение уравнения y ' = x2 + y2

нельзя найти в

таком виде.

Для

нахождения

частных

решений

в

таких

случаях

широко

применяются

различные

численные ,

методы

эффективность которых существенно возросла с развитием

компьютерных технологий. В настоящее время численные

методы позволяют находить решения дифференциальных

уравнений практически с любой требуемой точностью.

Отметим,

что

имеются

справочники

дифференциальным

уравнениям,

в

которых

приведены

2.1.

Метод изоклин

Дифференциальное

уравнение у' = f(x,y) геометрически

неизвестна.

Определение 1.

Геометрическое

место

точек

плоскости

(x,y),

в которых наклон касательных к решениям уравнения

у' = f(x,y) один и тот же, называется изоклиной.

Каждой точке (x,y) ставится в

соответствие

некоторое

направление; мы получаем поле направлений.

Уравнение изоклины имеет видf(x,y) = k , где k

= const.

Чтобы приближенно построить решение уравнения у' = f(x,y),

можно

начертить

достаточное

число

изоклин, а

затем

провести решение.

Пример 1.

Методом

изоклин

построить

интегральные

кривые уравнения

y ' = x - y2

РЕШЕНИЕ.

Изоклинами

данного

дифференциального

уравнения являются линии, уравнения которых

x - y2 = k .

Для

нескольких

значенийk ,

например, для k = 0, ±1, ±2 ,

проведем

изоклины x - y2

= k .

Это

— параболы. Каждую

изоклину

x - y2 = k

пересечем

короткими

отрезками

под

углом

a ,

tga = k ,

к оси

Ох,

не

доходящими

до

других

РЕШЕНИЕ. Изоклинами

этого

дифференциального

уравнения являются линии

у' =

1

,

x2 + y2 =

1

(окружность радиусом

1

с центром в

2

2

2

или в виде, разрешенном относительно у':

где F

y ' = f (x, y) ,

(6)

— заданная

непрерывная

функция

трех

своих

аргументов, f — непрерывная заданная функция от x, y.

Определение

2.

Функция

y = y(x, c) , где

c

—

произвольная

постоянная,

называется

общим

решением

дифференциального уравнения первого порядка, если при

любом

значении с

функция y = y(x, c)

является

решением

дифференциального уравнения.

Определение 3.

Равенство j(x, y, c) = 0 , которое

неявно

определяет

общее

решение y = y(x, c)

дифференциального

уравнения,

называется

общим

интегр

дифференциального уравнения.

Если

равенство j(x, y, c) = 0

можно

разрешить

относительно у, то получим общее решение в виде y = y(x, c) .

Определение

4.

Если

в

общем

решенииy = y(x, c)

произвольной

постоянной

придать

конкретное

значение

c = c0 ,

то

полученное

решениеy = y(x, c0 )

называется

частным решением дифференциального уравнения.

Определение

5.

Нахождение

решенияy = y(x) ,

dy

непрерывны,

то для всякой точки(x0 , y0 )

области D

существует

единственное

решениеy = y(x)

уравнения