Учебное пособие 498

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра «Высшая математика и физико-математическое моделирование»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по организации учебного процесса изучения дисциплины « Геометрия»

для студентов специальности 090301.65 «Компьютерная безопасность » очной формы обучения

Воронеж 2015

Составитель: канд. физ.-мат. наук Е.Н. Провоторова

УДК 517.9

Методические указания по организации учебного процесса изучения дисциплины « Геометрия» для студентов специальности 090301.65 «Компьютерная безопасность » очной формы обучения. / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: Е.Н. Провоторова.

Воронеж, 2015. 65 с.

Методические указания представляют собой единое руководство по организации изучения студентами дисциплины « Геометрия», составленное в соответствии с учебными планами специальности 090301.65 «Компьютерная безопасность».

Издание подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержится в файле гео.пдф.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. М.В.Юрьева

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015

ВВЕДЕНИЕ

Четкая организация изучения курса «Геометрия», основанная на правильном сочетании аудиторных учебных занятий, продуктивной самостоятельной работе студентов и систематическом контроле, играет основополагающую роль в глубоком математическом образовании современного студента.

Настоящая методическая разработка дает целостную картину процесса изучения курса. Структура указания следующая: объем отдельных видов учебных занятий, вид итогового контроля, содержание дисциплины; перечень контрольных мероприятий, рекомендуемая литература, рекомендации по самостоятельному изучению разделов дисциплины, образцы контрольных работ, теоретические вопросы и образцы задач для подготовки к коллоквиуму и зачету.

Лекции и практические занятия, относятся к аудиторным видам занятий, которые планируются в расписании занятий, вся остальная самостоятельная работа предполагает внеаудиторную работу студента.

Программа определяет основное содержание тем и разделов дисциплин, подлежащих изучению. В основном материал программы излагается на лекциях, некоторые разделы предлагаются длясамостоятельногоизученияиопределяютсяв п. 7.

В п. 6 определены виды контрольных мероприятий и сроки их проведения. Наряду с традиционными текущими заданиями, студенты в течение каждого семестра выполняют типовые расчеты. Каждый типовой расчет содержит расчетную часть – типовые задачи, задачи на построение кривых и поверхностей, задачи прикладного характера.

Номер варианта, выполняемого студентом, соответствует его порядковому номеру в списке группы и сообщается преподавателем студенту.

Типовой расчет выполняется в отдельной тетради и проверяются преподавателем. Завершающим этапом является защита типового расчета. Во время защиты студент должен уметь правильно ответить на теоретические1 вопросы, пояснить решения задач, решить задачи аналогичного типа.

Результаты отчета по всем контрольным точкам выставляются в журнале учета успеваемости и учитываются при выставлении оценки итогового контроля.

1. Цель и задачи дисциплины

Дисциплина «Геометрия» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию системного мышления. Она знакомит студентов с координатным методом исследования геометрических объектов и простейшими примерами его применения с использованием векторной алгебры и дифференциального исчисления.

Дисциплина «Геометрия» является одной из основных при переходе от школьной математики к высшей. Изучаемый в курсе материал систематически используется в курсах «Алгебра» и «Математический анализ».

Дисциплина является базовой для изучения всех математических дисциплин. Знания и практические навыки, полученные по дисциплине «Геометрия», используются обучаемыми также при изучении общепрофессиональных дисциплин и при выполнении курсовых и домашних работ.

Целью изучения геометрии является:

-воспитание достаточно высокой математической культуры в области геометрии;

привитие навыков современных видов математического мышления в области геометрии;

-использование математических методов геометрии в практической деятельности.

Задачи изучения курса геометрии:

-сформировать ясное понимание необходимости освоения геометрии как части математического образования в общей подготовке инженера, в том числе выработать представление о роли и месте геометрии в современной цивилизации и мировой культуре;

-научиться логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении геометрических понятий;

-научиться основным методам векторной алгебры; координатным методам исследования геометрических задач; основам теории поверхностей второго порядка; основным понятиям, связанным с преобразованиями плоскости и пространства.

Перечень дисциплин, знания которых необходимы при изучении математики – школьные предметы: алгебра и начала анализа, геометрия.

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

Студент должен иметь представление:

-о значении геометрии, ее месте в системе фундаментальных наук и роли в решении прикладных задач;

3

-об истории развития и современных направлениях в геометрии;

-о методологических вопросах геометрии.

Студент должен знать:

-возможности координатного метода для исследования геометрических и алгебраических объектов;

-основные понятия аналитической геометрии на плоскости и в пространстве – декартовы, полярные, цилиндрические

исферические координаты, расстояние между точками в декартовых координатах, способы задания линий на плоскости, поверхностей и линий в пространстве;

-определение вектора с геометрической точки зрения, линейные операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства;

- способы задания прямой на плоскости и в пространстве (общий, канонический, параметрический), общее уравнение плоскости;

-канонические уравнения кривых и поверхностей второго порядка, их фокальные свойства, изображения кривых и поверхностей второго порядка, заданных каноническими уравнениями.

-основные понятия, связанные с аффинными преобразованиями плоскости и пространства.

Студент должен уметь:

1.Определять координаты точки в разных системах координат.

2.Находить координаты вектора с заданными концами, его длину.

3.Выполнять линейные операции с векторами, заданными в координатной форме или геометрически.

4

4.Находить скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, заданных

вкоординатной или в любой другой форме.

5.Применять векторы для решения следующих задач

аналитической геометрии:

вычисление углов, проекций, расстояний, площадей треугольников и параллелограммов, нахождение уравнений прямой на плоскости, плоскости в пространстве, прямой в пространстве.

6.Определять тип кривой или поверхности второго порядка, заданной каноническим уравнением, изображать их графически.

7.Приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.

8.Исследовать форму поверхностей методом сечений.

9.В пространстве R2 и R3 определять длину элементов, углы между векторами, находить расстояния между точками, между точкой и плоскостью или прямой.

10.Разлагать вектор по ортогональному базису в конечномерном пространстве.

11.Решать системы линейных уравнений.

12.Применять преобразование координат.

3. Содержание дисциплины

Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Предмет и метод геометрии. Структура и содержание курса аналитической геометрии, ее роль в подготовке специалиста высшей квалификации.

Понятие матрицы. Специальные виды матриц. Линейные операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число. Алгебраические свойства линейных операций. Произведение матриц. Алгебраические свойства операции произведения матриц. Транспонирование матрицы.

Определители второго и третьего порядка, их свойства. Понятие определителя произвольного порядка.

Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородные системы. Условие существования нетривиального решения

Раздел 2. Векторная алгебра

Понятие вектора и линейные операции над векторами. Алгебраические свойства линейных операций Нулевой и противоположный вектор. Вычитание векторов. Линейная зависимость векторов.

Базис векторного пространства. Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторные пространства и базисы в них. Разложение вектора по базису. Координаты

Ортогональная проекция вектора на направление другого вектора и ее линейные свойства. Действия над векторами в координатной форме.

Скалярное произведение векторов, его алгебраические и геометрические свойства. Угол между векторами. Длина вектора. Критерий ортогональности векторов. Единичный вектор (орт вектора). Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Формулы для вычисления скалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами в координатной форме при использовании координат векторов в ортонормированном базисе. Направляющие косинусы вектора.

Векторное произведение двух векторов, его геометрический и механический смысл. Алгебраические и геометрические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе.

Смешанное произведение векторов ,его геометрический смысл. Алгебраические свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

Самостоятельное изучение. Двойное векторное произведение векторов, свойства.

Раздел 3. Прямая линия на плоскости

Прямоугольная декартова система координат. Радиус– вектор. Деление отрезка в заданном отношении.

Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение прямой, исследование общего уравнения. Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой с заданным угловым коэффици-

ентом. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми. Уравнение биссектрисы угла между прямыми.

Самостоятельное изучение. Уравнение пучка прямых на плоскости.

Раздел 4 . Системы координат на плоскости. Преобразо-

вание систем координат

Афинная и декартова системы координат на плоскости. Формулы преобразования координат при параллельном переносе начала координат и при повороте осей координат.

Полярная система координат на плоскости. Связь декартовых координат с полярными. Спираль Архимеда Различные способы задания линий на плоскости. Уравнение прямой на плоскости.

Самостоятельное изучение. Некоторые замечательные кривые, встречающиеся в математике и ее приложениях.

Раздел 5. Кривые второго порядка

Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Их канонические уравнения и свойства. Фокальные и оптические свойства эллипса и гиперболы. Эксцентриситет и директрисы. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Диаметры эллипса, гиперболы и параболы. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Исследование кривых второго порядка, заданных общим уравнением.

Общая теория линий второго порядка. Центр линии второго порядка. Упрощение уравнения центральной линии

9

второго порядка при помощи параллельного переноса и поворота осей координат. Классификация центральных линий второго порядка. Классификация нецентральных линий второго порядка.

Самостоятельное изучение. Кривые второго порядка в по-

лярной системе координат.

Раздел 6. Прямая и плоскость в пространстве

Аффинная и декартова системы координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат. Формулы преобразования координат при параллельном переносе начала координат и при повороте осей координат. Уравнение поверхности и линии в пространстве.

Уравнение плоскости в векторной форме. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Нормальное уравнение плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

Уравнение прямой в пространстве. Переход от общего уравнения к каноническому и обратно. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие параллельности и ортогональности прямых. Угол между прямыми.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Некоторые задачи аналитической геометрии, решаемые в векторной форме.

Самостоятельное изучение. Пучок плоскостей.

10

Раздел 7. Поверхности второго порядка

Эллипсоид. Однополостный и двухполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды Метод сечений.

Поверхности вращения, цилиндрические и конические поверхности.

Начала общей теории поверхностей второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.

Раздел 8. Аффинные преобразования

Определение движений и аффинных преобразований плоскости. Основные свойства аффинных преобразований. Движения как изометрические преобразования. Классификация движений плоскости. Преобразование подобия. Представление преобразования подобия в виде композиции гомотетии и движения плоскости. Движения и аффинные преобразования пространства.

4.Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1.Беклемишев Д.Е. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры./ Д.Е.Беклемишев.М.,1987.

2.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии./ Н.В.Ефимов. М.: Физ.-мат. лит., 2005.

б) дополнительная литература:

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С.Александров –М.: Наука, 1970.

11

2.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа /под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М., 2001.Ч.1.

3.Данко Л.Е., . Высшая математика в упражнениях

изадачах / Л.Е. Данко, А.Г. Попов М., 1986. Ч. 1.

4.Мантуров О.В., Курс высшей математики. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной/. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. М., 2003.

5.Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии : учеб. пособие / под ред. Н.В. Ефимова. - СПб. : Наука, 2007.

6.Привалов И.И. Аналитическая геометрия/ И.И.Привалов. СПб.: Лань, 2007.

в) методическая литература:

1. Методические указания к решению прикладных задач по курсу математики для студентов специальностей 220300 и 220100, ч. 1, № 19-2002, Е.Г.Глушко, А.П. Дубровская.

2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты/. Л.А. Кузнецов, М., 2005.

5. Контрольные мероприятия

Планируются следующие контрольные мероприятия, обеспечивающие систематическую работу студентов и ее контроль в течение семестра и, в совокупности, охватывающие почти весь материал этой дисциплины.

1. Контрольная работа № 1 «Определители. Системы линейных уравнений» (4-ая неделя).

12

7. Примеры заданий для подготовки к контрольной работе №1

Тема: «Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений»

1. Вычислить определитель

2. Решить систему методом Крамера и методом Гаусса

3. При каких значениях «а» и «в» система имеет бесчисленное множество решений

4. Прикакихзначениях«а»системаимеетненулевоерешение

x y 2z 0

ax y z 0ax 3y 0

15

5. Найти решение системы методом Гаусса.

2x1 x2 x3 2x4 3x5 2

6. При каком значение «а» система не имеет решение

x y 2z 1

2x y az 44x y 4z 2

7. Найти решение системы методом Гаусса.

3x1 2x2 2x3 2x4 2

2x1 3x2 2x3 5x4 3

9x1 x2 4x3 5x1 1

2x1 2x2 3x3 4x4 57x1 x2 6x3 x4 7

8. Решить систему: а) методом Крамера; б) методом Гаусса.

16

8.Вопросы для подготовки к коллоквиуму

1.Определители, их свойства.

2.Система двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.

3.Матрицы, действия с матрицами.

4.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Однородные системы уравнений.

5.Векторы: длина вектора, направляющие косинусы, угол между векторами, условия перпендикулярности и параллельности

6.Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис в пространстве.

7.Скалярное произведение векторов. Алгебраические и геометрические свойства.

8.Векторное произведение векторов. Алгебраические и геометрические свойства

9.Смешанное произведение трех векторов. Алгебраические и геометрические свойства

10.Общее уравнение прямой на плоскости. Исследование общего уравнения. Уравнение прямой в отрезках.

11.Каноническое уравнение прямой. Параметрическое уравнение прямой.

12.Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

13.Уравнение прямой в полярной системе координат. Нормальное уравнение прямой.

14.Расстояние от точки до прямой.

15.Взаимное расположение прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.

16.Уравнение биссектрисы угла между прямыми.

17.Полярная система координат на плоскости. Связь декартовых координат с полярными. Спираль Архимеда Различные способы задания линий на плоскости.

18 Эллипс. Вывод канонического уравнения.

19.Гипербола. Вывод канонического уравнения.

20.Парабола. Вывод канонического уравнения.

21.Фокальные и оптические свойства эллипса и гиперболы.

22.Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Диаметры эллипса, гиперболы и параболы.

23.Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

24.Исследование кривых второго порядка, заданных общим уравнением.

25.Общая теория линий второго порядка.

26.Формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей координат.

9.Задания для подготовки к коллоквиуму

2.Составить уравнения биссектрис углов между пря-

мыми 3x 4y 20 0 и 8x 6y 5 0.

3.Даны вершины треугольника: А (0;0), В (-1;-3) и С (-5;-1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.

4.Определить расстояние от точки М (2;-1) до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 8, b = 6.