Учебное пособие 498

C 3;3 найти длину высоты, проведенной из вершины С.

6.Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки A 2;3 и B 3;23 .

7.Точки A 1;2 и C 3;6 являются противополож-

ными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

8.На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой 8x 15y 10 0 равно 1.

9.Даны вершины треугольника: А (1;1), В (4;5) и С (13;-4). Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В, и высоты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника.

10.Найти прямую, проходящую через точку пересече-

ния прямых x 2y 3 0, 2x 3y 4 0 и параллель-

ную прямой 5x 8y 0.

11. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x 2y 1 0, 2x y 2 0 и образующую угол 135 с осью абсцисс.

12.Составить уравнения прямых, проходящих через точку М (а,b) и образующих с прямой x y с 0 угол 45 .

13.Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой

4x 3y 12 0, концы которого лежат на осях координат. 14. Заданы четыре точки:

A x1,y1,z1 , B x2,y2,z2 , C x3,y3,z3 , D x4,y4,z4 .

1) Проверить, что эти точки будут вершинами некоторой пирамиды и найти объем этой пирамиды.

19

2) Найти проекцию вектора AB на направление векто-

ра AC .

3)Найти угол ABC.

4)Найти площадь грани CBD.

5)Найти векторное произведение и скалярное произ-

Образец билета для сдачи коллоквиума

1.Координатная форма смешанного произведения.

2.Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние от точки до плоскости.

3.Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-

10. Примеры заданий для подготовки к контрольной работе №2

1.Уравнение плоскости.

1. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей:

20

а) x y z 2 0;

б) 3x 5y 4z 7 0.

2. Найти расстояние от точки M0 1;3; 2 до плоско-

сти 2x 3y 4z 12 0. Как расположена эта точка отно-

сительно плоскости?

3. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки M0 2;3; 5 на плоскость 4x 2y 5z 12 0.

4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точ-

ки P 2;0; 1 и Q 1; 1;3 и перпендикулярной плоскости

3x 2y z 5 0.

5. Найти уравнение плоскости, зная, что точка

P 4; 3;12 служит основанием перпендикуляра, опущенно-

го из начала координат на эту плоскость.

6. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно плоскости

3x 4y 5z 12 0.

7.Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удалены от точек P 1; 4;2 и Q 7;1; 5 .

8.Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку M 1; 1; 1 , одна из которых содержит ось Ox,

адругая – ось Oz.

9.Найти уравнение плоскости, проходящей через точ-

ку пересечения плоскостей 2x 2y z 7 0,

2x y 3z 3 0, 4x 5y 2z 12 0 и через точки

M 0;3;0 и N 1;1;1 .

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x 5y 9z 13 0,

3x y 5z 1 0 и через точку M 0;2;1 .

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x 2y 3z 5 0 и

3x 2y z 1 0 и отсекающей равные отрезки на осях

Ox и Oz.

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2x y 12z 3 0 и

3x y 7z 2 0 и перпендикулярной плоскости

x2y 5z 1 0.

13.Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M 0;2;1 и параллельной векторам a i j k и

b i j k.

14. Известны координаты вершин тетраэдра:

A 0;0;2 ,B 3;0;5 , C 1;1;0 и D 4;1;2 . Составить

уравнение его граней.

15.Вычислить объем тетраэдра, данного в предыдущей

задаче.

16.Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки:

3;1;0 , 0;7;2 , 1;0; 5 и 4;1;5 .

2.Прямая и плоскость в пространстве.

1.Найти уравнения проекций прямой

x 2y 3z 26 0,

3x y 4z 14 0

на координатные плоскости.

2. Привести к каноническому виду уравнения прямой

2x 3y 16z 7 0,

3x y 17z 0.

3. Вычислить углы, образованные с осями координат прямой

x 2y 5 0,

x 3z 8 0.

4. Найти уравнения прямой, проходящей через точку P 1; 2;3 и образующей с осями Ox и Oy углы 45 и

60 .

5. Найти уравнения прямой, проходящей через точку

P 5; 1; 3 и параллельно прямой

2x 3y z 6 0,

4x 5y z 2 0.

6.Найти точку пересечения прямых

x1 y 2 z 4 и x 2 y 5 z 1.

7. Даны три последовательные вершины параллело-

грамма: A 3;0; 1 , B 1;2; 4 и C 0;7; 2 . Найти

уравнения сторон AD и CD.

8.Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку M 1; 1; 1 , одна из которых содержит ось Ox,

адругая – ось Oz.

9.Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M 2; 5;1 и N 1;1;2 .

10.Вычислить расстояние между параллельными пря-

11. Даны точки A 1;2;3 и B 2; 3;1 . Составить уравнения прямой, проходящей через точку M 3; 1;2 и

параллельной вектору AB.

12. Найти угол между прямыми

13. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M 0;2;1 и образующей равные углы с векторами a i 2j 2k, b 3j, c 3k.

11.Вопросы для подготовки к зачету

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

1.1. .Понятие матрицы. Специальные виды матриц. Линейные операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число. Алгебраические свойства линейных операций.

1.2.Произведение матриц. Алгебраические свойства операции произведения матриц. Транспонирование матрицы.

1.3.Определители второго и третьего порядка, их свойства. Понятие определителя произвольного порядка.

1.4.Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

1.5.Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

1.6.Однородные системы. Условие существования нетривиального решения

24

Раздел 2. Векторная алгебра

1.1.Понятие вектора и линейные операции над векторами. Алгебраические свойства линейных операций. Нулевой и противоположный вектор. Вычитание векторов.

1.2.Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства. Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторные пространства и базисы в них.

1.3.Разложение вектора по базису. Координаты вектора относительно базиса. Линейные операции над векторами координатной форме.

1.4.Условие коллинеарности векторов.

1.5.Ортогональная проекция вектора на направление другого вектора и ее линейные свойства. Действия над векторами в координатной форме.

1.6.Скалярное произведение векторов, его алгебраические и геометрические свойства.

1.7.Угол между векторами. Длина вектора. Критерий ортогональности векторов. Единичный вектор (орт вектора). Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов.

1.8.Формулы для вычисления скалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами в координатной форме при использовании координат векторов в ортонормированном базисе. Направляющие косинусы вектора.

1.9.Векторное произведение двух векторов, его геометрический и механический смысл. Алгебраические и геометрические свойства векторного произведения.

1.10.Вычисление векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе.

1.11.Смешанное произведение векторов ,его геометрический смысл. Алгебраические свойства смешанного произведения.

25

1.12.Вычисление смешанного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

1.13.Двойное векторное произведение векторов, свойства.

Раздел 3. Прямая линия на плоскости

3.1.Прямоугольная декартова система координат. Радиус–вектор. Деление отрезка в заданном отношении.

3.2.Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение прямой, исследование общего уравнения

3.3.Векторное, параметрическое, каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

3.4.Уравнение прямой с заданным угловым ко-

эффициентом.

3.5.Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.

3.6.Взаимное расположение прямых на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.

3.7.Уравнение биссектрисы угла между прямы-

ми.

3.8.Уравнение пучка прямых на плоскости.

Раздел 4 . Системы координат на плоскости. Преобразо-

вание систем координат

4.1. Афинная и декартова системы координат на плоскости. Формулы преобразования координат при параллельном переносе начала координат и при повороте осей координат.

4.2. Полярная система координат на плоскости. Связь декартовых координат с полярными. Спираль Архимеда. Различные способы задания линий на плоскости.

26

4.3.Вывод уравнения прямой в полярной системе ко-

ординат.

4.4.Некоторые замечательные кривые, встречающиеся

вматематике и ее приложениях.

Раздел 5. Кривые второго порядка

5.1.Окружность. Эллипс. Их канонические уравнения

исвойства.

5.2.Гипербола. Каноническое уравнение и свойства.

5.3.Парабола. Каноническое уравнение и свойства.

5.5Фокальные и оптические свойства эллипса и ги-

перболы. Эксцентриситет и директрисы.

5.5.Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Диаметры эллипса, гиперболы и параболы.

5.6.Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

5.7.Исследование кривых второго порядка, заданных общим уравнением.

5.8.Общая теория линий второго порядка. Центр линии второго порядка. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка при помощи параллельного переноса и поворота осей координат.

5.9.Классификация центральных линий второго порядка. Классификация нецентральных линий второго порядка.

Раздел 6. Прямая и плоскость в пространстве

6.1.Аффинная и декартова системы координат в пространстве. Прямоугольная декартова система координат.

6.2.Формулы преобразования координат при параллельном переносе начала координат и при повороте осей координат. Уравнение поверхности и линии в пространстве.

6.3.Уравнение плоскости в векторной форме. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости,

27

проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

6.4.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Нормальное уравнение плоскости.

6.5.Взаимное расположение двух плоскостей. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями.

6.6.Расстояние от точки до плоскости.

6.7.Уравнение прямой в пространстве. Переход от общего уравнения к каноническому и обратно.

6.8.Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие параллельности и ортогональности прямых. Угол между прямыми.

6.9.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

6.10.Угол между прямой и плоскостью. 6.11.. Пучок плоскостей.

Раздел 7. Поверхности второго порядка

7.1.Эллипсоид. Метод сечений.

7.2.Однополостный и двухполостный гиперболоиды. Метод сечений.

7.3.Эллиптический и гиперболический параболоиды. Метод сечений.

7.4.Поверхности вращения, цилиндрические и конические поверхности.

7.5.Начала общей теории поверхностей второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.

28

12. Образцы билетов для сдачи зачета

Билет№1

1.Векторное произведение двух векторов.

2.Эллипс. Вывод уравнения, свойства.

3.Составитьуравнениепрямой, проходящейчерезточку (-1,-1,-1)и пересекающейдведанныепрямые.

x 1 y 2 z 4 3 2 5

иx 1 y z 1

1 2 3

4. Найти уравнения проекции прямой x y 3 z 2 2 1 2

на плоскость 2x 3y z 5 0.

Билет №2

1.Прямая на плоскости.

2.Теорема Крамера..Решениесистемлинейныхуравнений. Однородныесистемыуравнений.

3.Найти проекцию точки А (4,-3,1) на плоскость

x2y z 0

4.Найти уравнение плоскости, проходящей через пря-

мую x 1 y 2 z и перпендикулярной плоскости

3 1 4

3x y z 2 0.

Задание 2. Написать разложение вектора x по векторам

а,в,с.

Задание 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

8.A 9,5,5

D 6,9,2

9.A 0,7,1

D 3,9,8

10.A 6,1,1

D 1,2,6

11.A 2,0,3

D 1,3, 2

12.A 2,4,3

D 5,3,7

13.A 8,4,4

D 5,8,1

14.A 1,6,0

D 2,8,7

15.A 5,0,0

D 0,1,5

16.A 1, 1,2

D 2,2, 3

17.A 1,3,2

D 4,2,6

18.A 7,3,3

D 4,7,0

B 3,7,1

B 4,1,5

B 4,6,6

B 2,5,0

B 4,7,2

B 4,6,0

B 3,0,4

B 3,5,5

B 3,4, 1

B 3,6,1

B 5,5,1

C 5,7,8

C 4,6,3

C 4,2,0

C 2,0,5

C 0,8,8

C 4,6,7

C 3,5,2

C 3,1, 1

C 3, 1,4

C 1,7,7

C 3,5,6

ты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

2. На гиперболе x2 4y2 16 взята точка М с орди-

натой равной 1. Найти расстояния ее от фокусов.

ее асимптот и угол между асимптотами.

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния одной из ее вершин от фокусов равны 9 и 1.

5. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М (9;8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения

y 22 x.

3

6. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса x2 y2 1.

85

7.Через точку М (0;-1) и правую вершину гиперболы

3x2 4y2 12 проведена прямая. Найти вторую точку пе-

ресечения прямой с гиперболой.

8. Дана гипербола x2 y2 8. Найти софокусный эл-

ку, правый фокальный радиус-вектор которой равен 18.

12. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса

x2 y2 1.

25 9

13. Найти фокальные радиусы-векторы гиперболы

x2 y2 1 в точках пересечения ее с окружностью

16 9

x2 y2 91.

14.Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.

15.Доказать, что произведение расстояний от любой

точки гиперболы x2 y2 1 до ее асимптот есть величина постоянная.

16.Найти уравнение множества точек, равноотстоящих от окружности x2 4х y2 0 и от точки М (2;0).

17.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния одной из ее вершин от фокусов равны 8 и 1.

37

18. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М (1;3), если асимптоты гиперболы имеют уравнения

y 22 x.

3

19. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса x2 y2 1.

85

20.Через точку М (0;-1) и правую вершину гиперболы

3x2 4y2 12 проведена прямая. Найти вторую точку пе-

ресечения прямой с гиперболой.

Задание 7. Построить линию, уравнение которой задано в полярной системе координат: 1) определить точки, лежащие на линии, давая θ значения через промежуток, равный

8 ; 2) найти уравнение этой линии в прямоугольной декар-

товой системе координат .