Учебное пособие 490

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

125-2017

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы по курсу «Высшая математика»

для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»

(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)

очной формы обучения

Воронеж 2017

Следствие. Если F (x) — некоторая первообразная

подынтегральная функция, х — переменная интегрирования, С — постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, а производная — подынтегральной функции.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. (ò f (x)dx)' = f (x) и d (ò f (x)dx) = f (x)dx.

Доказательство. Пусть

ò f (x)dx = F (x) + C Þ (ò f (x)dx )' = (F (x) + C )' = F ' (x) = f (x).

d(ò f (x)dx)= d (F (x) + C) = (F (x) + C )' dx = F ' (x)dx = f (x)dx.

2.òdF (x) = F (x) + C.

Доказательство. Так как

dF (x) = F ' (x)dx, F ' (x) = f (x) , то òF ' (x)dx = F ( x) + C.

3. òaf (x)dx = aòF (x)dx.

2

Доказательство. Пусть F (x) — первообразная функции.

ò f1 (x)dx ± ò f2 (x)dx = (F (x) + C1 ) ± (F(x) + C2 ) =

= F (x) ± F(x) + C1 ± C2 = ò( f1 (x) ± f2 (x))dx

Замечание. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.

5.Если F (x) первообразная функции f (x) , то

òf (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + C.

a

Доказательство. Действительно

функцией этой переменной:

ò f (x)dx = F (x) + C Þ ò f (u)du = F (u) +C,

3

переменной z = z(x) .

zn+1

1.ò zn dz = n +1 + C (n ¹ -1), òdz = z + C.

2.ò dz = ln z + C.

4.òsin zdz = -cos z + C.

5.òcos zdz = -sin z + C.

6.ò cosdz2 z = tg z + C.

7.ò sindz2 z = -ctg z + C.

4

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном

исчислении нет универсальных приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести данный интеграл к табличному.

2. Основные методы интегрирования

Основными методами интегрирования являются: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной и интегрирование по частям.

1. Непосредственное интегрирование. Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы интегралов.

Например,

Замечание. Нет надобности после каждого слагаемого

5

2. Метод замены переменной или способ подстановки.

Интеграл, стоящий в правой части (1) может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным.

Итак, для вычисления ò f (x)dx с помощью подстановки

которое находится из соотношения x = φ(t) .

Иногда формулу (9.1) удобно применять справа налево,

т.е.

ò f (φ(x)) ×φ' (x)dx = ò f (φ(x))dφ(x)

или

ò f (φ(x)) ×φ' (x)dx = ò f (t )dt, где t = φ(x) .

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила:

1) если ò f (x)dx = F (x) + C, то ò f (ax)dx = 1 F (ax) + C; a

2) если ò f (x)dx = F (x) + C, то ò f (x ± b)dx = F (x ± b) + C;

3)если ò f (x)dx = F (x) + C, то ò f (ax ± b)dx = 1 F (ax + b) + C. a

6

так как в правой части формулы остался неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную. Формула

(2) называется формулой интегрирования по частям. По этой формуле нахождение интеграла òudv сводится к нахождению

другого интеграла òvdu . Применение этой формулы имеет

смысл в тех случаях, когда последний интеграл будет проще, чем заданный, или когда он будет ему подобен. Чтобы применить формулу интегрирования по частям к некоторому

сомножителей u и dv. За u чаще всего принимают функцию, которая при дифференцировании упрощается(например ln x , xn , arccos x , arctg x и т.д.) За dv всегда выбирают выражение (содержащее dx), из которого интегрированием можно найти v.

Иногда для получения окончательного результата

1. òPn (x)ekx dx; òPn (x) sin kx dx; òPn (x) cos kx dx, Pn (x) —

многочлен степени n; k — некоторое число. Интегралы этого типа берутся по частям, если положить u = Pn (x) , и интегрирование по частям ведется n раз.

7

степени n. Во всех этих случаях за u принимают функцию, являющуюся множителем при Pn (x) .

3. òeax cos bxdx; òeax sin bxdx, где a, b — числа. Для этих интегралов решение по частям применяется дважды.

3. Многочлены. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби

Определение 4. Корнем многочлена P(x) называют всякое число a , обращающее многочлен в ноль, т.е. такое, что P(a) = 0 .

Теорема 3. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, . . многочлен Pn (x) можно представить в виде

Pn (x) = A(x - x1 )k1 (x - x2 )k2 L(x - xr )kr (x 2 + p1x + q1 )t1 ´ ´(x2 + p2 x + q2 )t2 L(x2 + pm x + qm )tm ,

где x1, x2 ,..., xr — корни многочлена кратностиk1, k2 ,..., kr

соответственно. При этом k1 + k2 +... + kr + 2(t1 + t2 + ... + tm ) = n, все кратные трехчлены не имеют вещественных корней.

8