Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 490

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

443.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Аналогично определяется несобственный интеграл с

				b			b
бесконечной нижней границей: ò f (x)dx = alim®-¥ ò f (x)dx.
				-¥			a
	Несобственный			интеграл		с	двумя		бесконечными
границами					определяется
+¥	c		+¥
ò	f (x)dx = ò	f (x)dx + ò		f (x)dx, где с — любая точка оси Ox .
-¥	-¥		c
				+¥
	Таким	образом,		ò f (x)dx	существует			только		тогда,
				-¥
						c		+¥
когда существует каждый из интегралов ò f (x)dx и ò									f (x)dx.
						-¥		c
	Определение 5. Пусть функция					f (x)	разрывна в точке
b	интервала [a, b]		и непрерывна		во	всех	внутренних			точках
этого интервала.			Если	c ® b - 0 éc Î(a,b )ù			и	определенный
				ë		û
	c
интеграл ò f (x)dx			стремится к конечному пределу,						то	этот
	a

предел называется несобственным интегралом от разрывной

функции и обозначается ò f (x)dx.

	a
		b		c
Таким	образом,	ò f (x)dx = clim®b-0 ò f (x)dx.			В этом
		a		a
случае говорят, что несобственный интеграл существует или
сходится. Если	указанный		предел	не	существует	или
бесконечен, то	говорят,	что	интеграл	не существует или
расходится.
Аналогично, если функция f (x)				разрывна в точке а
интервала [a, b] , то
	b		b
	ò f (x)dx = clim®a+0 ò f (x)dx.
	a		c

Наконец, если функция разрывна в точке d Î(a, b), то

			b								d											b
			ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx.
			a									a										d
Примеры решения практических задач
																				1
Пример 1. Вычислить интеграл ò x2dx.
																				0
				1						x	3				1		(1)		3		(0)			3					1
				1							3				1				3					3
				ò x2dx =											=					-							=					.
				ò x2dx =											=					-							=					.
				0								3			0		3				3						3
				0								3			0					e
																				e
Пример 2. Вычислить интеграл òln x dx.
																				1
e					u = ln x, du =													dx															e		e
e																		dx																	e
òln x dx =																			x			= x ×ln x												-	òdx =
																						= x ×ln x											1	-
					dv = dx,										v = x																		1
1					dv = dx,										v = x																				1
1																																			1

				= e1 ×1-1×0 - x												1e = e - e +1 =1.


																				3		xdx
Пример 3. Вычислить интеграл ò																						xdx						.
Пример 3. Вычислить интеграл ò																												.
																				0		x +1
								x +1 = t2
								x +1 = t2
3		xdx						x = t2 -1													2		t	2		-1
ò		xdx				=		dx = 2tdt												= ò			t			-1				2t dt =
ò		x +1				=		dx = 2tdt												= ò										2t dt =
0		x +1						x = 0						Þ t = 1							1				t
								x = 0						Þ t = 1
								x = 3 Þ t = 2

æ	2		3			ö	2			2										2							14									8
æ	2		3			ö	2			2										2							14									8
= ç		t		- 2t ÷					=				×8 - 4 -								+ 2 =											- 2			=		.
= ç	3	t		- 2t ÷					=	3			×8 - 4 -							3	+ 2 =						3					- 2			=	3	.
è						ø	1
è						ø	1
																				1		x		2	dx
Пример 4. Вычислить интеграл ò																						x			dx						.
Пример 4. Вычислить интеграл ò																									2						.
																				0		4 - x

x = 2 sin t

x2dx

dx = 2 cos tdt

4 sin2 t ×2 cos t dt

6 sin2 t ×cos t dt

x = 0 Þ t = 0

= ò

= 8 ò

4 - x

4 - 4 sin

2 cos t

x =1 Þ t =

= 4 ò (1- cos 2t)dt = ç4t -

sin 2t ÷

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл ò

¥ dx

= blim®¥

ç-

=limb®¥ ç

+1÷

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл ò

1 + x

-¥

= lim (arctg x )

= lim (arctg b - arctg a) =

- ç

÷ = p.

1+ x2

b®¥

2 è

-¥

a®-¥

Пример 7. Вычислить интеграл ò

3 2

-1

J = ò

;

x = 0 — разрыв.

3 2

-1

-3

2 dx

= lim

= 3,

2 dx = lim 3x

a®0

-1

-3

lim

2 dx =lim 3x

= 3.

a ®0

a®0

J = 3 + 3 = 6.

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить определенные интегралы:

xdx

а) ò

; б) ò

; в)

ò x cos xdx; г) ò

2 - x

dx; д) òtg

xdx.

4 - x

cos

Ответы: а) 1; б)

; г)

p - 2

; д)

ln 2.

2. Вычислить несобственные интегралы:

arctg

ln( x +1)

а) ò

; б) ò

; в) ò

; г) ò

;

2x -1

+ 2x +1

1 1+ x

x +1

Ответы: а) ¥ ; б) 7 p 3 ; в)1; г) ¥ . 8

Приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади в декартовых координатах

Если	на [a, b]	функция y = f (x)			непрерывна и
положительна,	то	площадь	криволинейной				трапеции,
ограниченной	линиями y = f (x) ;			y = 0;	x = a; x = b,
определяется формулой
		b	b
		S = ò ydx = ò f (x)dx.					(1)
		a	a
Пусть теперь f (x) < 0 на [a, b], тогда
		b	b
		S = -ò ydx = -ò f (x)dx.
		a	a
Если	фигура	ограничена		кривымиy = f (x)			и
					1	1

y2 = f2 (x) и прямыми (рис. 1), то ее площадь

)

S =

(x)dx -

ò(

( y

f (x)dx =

(x) - f

(x) dx =

- y )dx.

Если

фигура

ограничена

кривымиy = f (x)

y2 = f2 (x) и

прямыми x = a, x = b,

y = 0 ,

как

показано

рис. 2, то площадь такой фигуры

c	b	c	b
S = ò f1 (x)dx +ò f2 (x)dx = ò y1dx + ò y2dx.
a	c	a	c

на

			Рис. 1		Рис. 2
Площадь		фигуры, ограниченной				кривой,	заданной
параметрическими				ìx = x(t),
параметрическими			уравнениями í			вычисляется
следующим образом:				îy = y(t),
следующим образом:				t2
			b	t2
		S = ò y dx = ò y(t ) × x' (t)dt,					(2)
			a	t1
где a = x(t1 ), b = x(t2 ).
	2. Вычисление площади в полярных координатах
Определение 1.			Плоскую		фигуру, ограниченную
кривой	ρ=ρ(φ)		и	двумя		полярными		,	радиуса
составляющими с полярной осью углы α и β , будем называть
криволинейным сектором.
Теорема 1.			Пусть	кривая		задана	в		полярн
координатах		уравнением ρ=ρ(φ) ,			α £ φ £ β .		Площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле

		1	β
	S =		òρ2 (φ)dφ.		(3)

	2		α
	Доказательство.				Разобьем
	произвольно			отрезок [α,β]
	на		n частей		точками
			α = φ0 < φ1 < ... < φn = β .
	Выберем на каждом частич-
Рис. 3	ном отрезке		[φi ; φi +1 ],	i = 0, …, n – 1
произвольно точку ξi	и построим		круговые		секторы с
радиусами ρ(ξi ) (рис. 3).

В результате получена веерообразная фигура, площадь

которой

приближенно

равна

площади

криволинейного

n-1

сектора S »

åρ2 (ξi )Dφi .

2 i =0

Таким образом, получена интегральная сумма. Так как

функция ρ2 (φ) непрерывна на [α,β],

то предел этой суммы

существует

при max Dφi

® 0

и площадь

криволинейного

сектора численно равна

n -1

S =

lim

ρ2

(ξ

)Dφ

ρ2 (φ)dφ.

max Dφi ®0 å

i=0

3.Длина дуги кривой

1.В прямоугольных координатах. Пусть задана кривая

	АВ. Разобьем			ее	точками
	M1, M 2 ,..., M n на n частей (рис. 4).
	Соединив	последовательно			точки
	разбиения,	получим		ломаную,
	вписанную	в	дугуАВ.		Эта
	ломаная состоит из
Рис. 4	звеньев AM1, M1M 2 ,..., M n-1B .

Примем обозначения Mi , Mi+1 = DLi . Тогда периметр

n-1

этой ломаной Ln = DL0 + DL1 +...+ DLn -1 = åDLi .

i=0

Очевидно, с уменьшением длин звеньев DLi ломаной

она по своей форме приблизится к дуге АВ.

Определение 2. Длиной ℓ дуги АВ называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, наибольшая из длин звеньев стремится к нулю:

l = lim		n-1	DL .
l = lim		å	DL .
max DL ®0		å		i
i		i=0
Нетрудно показать, что DLi	= 1+			é	'	ù	2	×Dxi	. Тогда
Нетрудно показать, что DLi	= 1+			ë f		(ci )û		×Dxi	. Тогда

l = lim	n-1	DL =	lim	n-1	1+ é f ' (c )ù		2	×Dx		b
l = lim	å	DL =	lim	å	1+ é f ' (c )ù		2	×Dx	=	ò
max DL ®0	å	i	max DL ®0	å	ë	i û		i		ò
i	i=0		i	i =0						a
	i=0			i =0						a

1 +	é	'	ù	2
1 +	ë f		(ci ) û	dx.

Теорема 2.

Пусть

криваяАВ

задана

уравнением

y = f (x) ,

где

f (x)

—

непрерывная

функция,

имеющая

непрерывную

первую

производную

во всех точках[a, b] .

Тогда длина дуги АВ определяется формулой

l = ò

é '

(4)

ë f

(x)û

dx = ò

1+ ë y

dx.

Длина

дуги

кривой,

заданной параметрическими

уравнениями. Пусть теперь кривая задана параметрическими уравнениями

	ìx = x(t),	t1 £ t £ t2 .
	í	t1 £ t £ t2 .
	îy = y(t),		функции x(t) и y(t)
При	этом предположим,	что	функции x(t) и y(t)
непрерывны	вместе со своими		производными x'и(t) > 0 .
Тогда

é ' ù2

l = ò

dx.

ë y û

Произведем в этом интеграле замену

переменной,

положив x = x(t) .

Так как при этом y = y(t) ,

то,

по

правилу

дифференцирования

функции, заданной

параметрически,

найдем y' =

y' (t)

и, замечая, что dx = x' (t) dt , получим

x' (t)

æ y' (t) ö2

1+ yx dx = 1 + ç

÷ x (t)dt =

dt.

ëx (t)û

ëy (t) û

(t) ø

Следовательно,

l = ò

(t))

+ ( y

(t))

dt,

(5)

1+ ë y

dx = ò

где a = x(t1 ), b = x(t2 ).

3. Длина дуги кривой, заданной уравнениями в полярных

координатах ρ=ρ(φ) , α £ φ £ β .

Предположим,

что

и ρ'

непрерывны

на [α,β] .

Эту

кривую

можно

задать

параметрически, принимая за параметр полярный угол. φ

Действительно,

между

декартовыми

полярными

координатами существует зависимость

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ.

Найдем

x ' = ρ'cos φ -ρ sin φ;

y ' = ρ'sin φ+ρ cos φ.

Подставив полученные выражения в формулу(5), получим

	b		b
	l = ò	(x ')2 + ( y ')2 dφ = ò (ρ'cosφ + ρ'sin φ)2 + (ρ'sinφ + ρ'cosφ)2 dφ =
	a		a
β
= ò	ρ'2 cos2 φ - 2ρ'ρsinφ+ρ2 sin2 φ+ρ '2 sin2 φ + 2ρ'ρ sin φ cos φ + ρ2 cos2 φdφ=
α
		β
		= ò (ρ '2 + ρ2 ) cos2 φ + (ρ '2 + ρ2 ) sin2 φ dφ
		α
			β
	Таким образом, l = ò			ρ'2 + ρ2 dφ.
			α
		4. Вычисление объема тела вращения
	Теорема 3. Пусть тело образовано вращением вокруг
оси	Ox	криволинейной		трапеции, заданной		непрерывной
функцией y = f (x)			на [a, b] , объем		тела вращения (рис. 5)
				вычисляется по формуле
					b
				V = p ò y2dx.			(7)
					a
		Рис. 5
	Замечание.		Если	криволинейная			трапеция,
ограниченная			линиями0 £ x £ φ(y),a £ y £ b,				вращается
вокруг		осиOy , то	объем	тела	вращения	вычисляется по
формуле				b
				b
			Vy = p ò x2dy.				(8)
				a

Примеры решения практических задач

Пример1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

ìx = 2 cos t,	y =1 ( y >1).
í	y =1 ( y >1).
îy = 2sin t,

Решение. Построим искомую фигуру в плоскости Oxy

(рис. 6). Фигура,	заданная параметрическими уравнениями,
	представляет собой окружность радиуса
	2 с центром в начале координат. Прямая
	y =1 ( y >1) параллельна оси Ox				и
	отсекает	от	окружности		круговой
	сегмент	(на	рис. 6	заштрихованная
	область).	Так	как	полученная	фигура
	симметрична относительно оси Оу, то ее
	площадь	S удобно искать следующим
Рис. 6	образом:

S = 2SABC . Из рисунка видно, что SABC = SOABCD - SOACD . (*)

Найдем SOABCD .

Для

этого

определим

значение

параметра t1 и t2

точках

О и

соответственно.

Для

нахождения

параметра t1 в точке O(0; 0)

решим для x = 0

уравнение x = 2 cos t :

2 cos t = 0 Þ cos t = 0 Þ t

Для

нахождения

параметра t2

в точке D

решим

для

y =1 уравнение y = 2sin t :

2 sin t =1 Þ sin t =

Þ t2 =

Пользуясь

формулой (2),

найдем

площадь

криволинейной трапеции ОАВСD:

SOABCD = ò y(t)x '(t )dt = ò2sin t(-2sin t)dt = -4òsin 2 tdt =

æ p

2ò(1- cos 2t)dt = 2 çt -

sin 2t ÷

= 2 ç

sin p -

sin

÷ =

è 2 2

6 2

æ p

3 ö

4p + 3 3

2 ç

4 ø

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022441.76 Кб2Учебное пособие 486.pdf
#
30.04.2022441.77 Кб4Учебное пособие 487.pdf
#
30.04.2022442.46 Кб2Учебное пособие 488.pdf
#
30.04.2022442.61 Кб7Учебное пособие 489.pdf
#
30.04.2022246.5 Кб1Учебное пособие 49.pdf
#
30.04.2022443.51 Кб1Учебное пособие 490.pdf
#
30.04.2022443.91 Кб8Учебное пособие 491.pdf
#
30.04.2022444.81 Кб4Учебное пособие 492.pdf
#
30.04.2022444.98 Кб1Учебное пособие 493.pdf
#
30.04.2022445.4 Кб3Учебное пособие 494.pdf
#
30.04.2022445.44 Кб4Учебное пособие 495.pdf