Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 490

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

443.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Pm (x) =W (x) + Pr (x) , m ³ n, r < n.

Qn (x) Qn (x)

			4. Интегрирование простейших рациональных
		Определение 6.				дробей
						Правильные			рациональные дроби
следующих видов:
I.	A	; II.		A	, K ³ 2; III.		Ax + B	; IV	Ax + B	, k ³ 2
	x - a			(x - a)k			x2 + px + q		(x2 + px + q)k

(в дробях корней не имеет) IV типов.

III, IV видов знаменатель действительных называются простейшими дробями I, II, III,

I. ò

dx = Aò

= A ln

x - a

+ C.

x - a

(x - a)-k +1

II. ò

dx = Aò(x - a)

-k

dx = A

+ C =

(x - a)k

-k +1

+ C

(-k +1)(x - a)k -1

Ap ö

Ax + B

(2x + p) +

ç B -

III. ò

dx = ò

x2 + px + q

2x + p

Ap ö

dx + ç B -

2 ò x

+ px

+ q

+ px + q

2 øò x

Ap ö

+ px + q

+ ç B -

ø ò éæ

ö2

p2 öù

êç x

± çq -

÷ú

êè

øú

Последний

интеграл

является

табличным

типа

, где x +

= z , q -

= a

z2 ± a2

Дробь IV типа в рамках данного курса не рассматривается.

5. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Интегрирование рациональных дробей

Теорема

9.5.

Пусть

дана

правильная

рациональная

дробь

Rr (x)

, r < n .

Qn (x)

Если Q(x) = A(x - a)k1 (x - b)k2 L(x2 + p1x + q1)t1 (x2 + p2 x + q2 )t2 ...,

то дробь

(x)

может быть представлена в виде

Qn (x)

R (x)

+ ...+

+ ...

Q (x)

(x - a)k1

(x - b)

(x -b)2

(x - a) (x - a)2

+ ... +

x + N

+ ...

(x - b)k2

x2 + p1x + q1

(x2 + p1 x + q1 )2

x + Nt

+ ... +

C x + D

x + D

+ ...

(x2 + p1 x + q1 )t1

x2 + p2 x + q2

(x2 + p2 x + q2 )2

Ct2 x + Dt2

+ ...

(3)

(x2 + p2 x + q2 )t2

Разложение (3) называется разложением рациональной

функции

на

элементарные(простейшие)

дроби.

Чтобы

определить

числа Ak

, Bk

, M t

, Nt

, Ct

, Dt

правую

часть

разложения

приводят

общему

знаменателю

числители

левой и

правой

дробей

приравнивают. Так как равенство

между

многочленом Rr (x)

многочленом, который

получится

правой

части, справедливо

для

всехх, то

коэффициенты при одинаковых степеняхх этих многочленов равны между собой. Таким образом, получим ряд уравнений первой степени, из которых найдем неизвестные числа. Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной

дроби	R(x)	,	т.е. ò	R(x)	dx . Интеграл от рациональной дроби

	Q(x)			Q(x)

вычисляется согласно следующим основным правилам.

1.Если рациональная дробь неправильная, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

2.Разлагают знаменатель правильной рациональной дроби на множители.

3.Правильную рациональную дробь раскладывают на сумму простейших дробей, т.е. сводят интегрирование

правильной	рациональной	дроби	к	интегрировани
простейших дробей.

6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы от некоторых иррациональных функций с помощью определенных подстановок приводятся интегралам рациональных функций , иследовательно, до конца интегрируются.

Вид интеграла

Замена переменной в

интеграле

= x, тогда

ç x, x n1

, x n2 ,...÷dx,

dx = k ×t

k -1

dt, где

—

общий

знаменатель

всех

где R — рациональная функция

дробных

показателей

своих аргументов

переменной

х.

результате

получаем

интеграл от рациональной

дроби

ax + b = t

, тогда

R ç x, (ax + b) n1 , (ax + b) n2 ,...÷dx,

a ×dx = k ×t

k -1

dt, где

—

общий

знаменатель

всех

дробных

показателей

переменной х

ax + b

æ ax + b ö

= t , где k — общий

x, ç

, ç

,... dx,

cx + d

+ d

è cx

ø è cx + d ø

знаменатель всех дробных

показателей у переменной

òR (x,

- x

)dx

x = a sin t.

Полезно

знать

формулу sin

+ cos

òR (x,

a2 + x2 )dx

x = a tg t.

Полезно

знать

формулу 1+ tg2 x =

cos2 x

òR (x,

x2 - a2 )dx

x = a sec t =

Полезно

знать

cos t

форму

tg2 x =

-1

cos2 x

7. Интегрирование тригонометрических функций

Вид интеграла

Способ

решения

òR(sin x, cos x)dx

Универсальные

тригонометрические

подстановки (общий случай):

t = tg

; sin x =

; cos x =

1-t 2

;

+ t 2

1+ t2

2dx

x = 2 arctg t; dx =

1+ t2

результате

получится

интеграл

от

рациональной функции

òR(sin x) cos xdx

t = sin x, cos xdx = dt Þ òR(t)dt

òR(cos x) sin xdx

t = cos x, - sin xdx = dt Þ - òR(t)dt

ò R(tg x)dx

t = tg x, x = arctg t, dx =

Þ òR(t)

1+ t

òR(sin x, cos x)dx

t = tg x, sin

x =

t 2

; dx =

; cos

sin x, cos x

1+ t 2

1+ t2

входят

только в

четных степенях

òsinm x cosn xdx :

а) Пусть n = 2k +1

а) по

крайней

òsinm x cosk +1xdx = òsin m x cos2k x cos xdx =

мере, одна из m

= òsin

x(1

-sin

cos xdx =

и n — нечетна;

б) m, n —

t = sin x

= òt

- t

)

dt — интеграл от

четные,

больше

dt = cos xdx

нуля,

т.е.

рациональной функции.

m = 2 p, n = 2 p;

б) Воспользоваться формулами понижения

в) n, m —

степени

четные

и хотя

1- cos 2x

1 + cos 2x

бы

sin2 x =

;

cos2

x =

один

отрицателен

в) Вводится замена tg x = t

или ctg x = t

òcos mx cos nx dx,

Воспользоваться формулами

cos mx cos nx =

[cos(m + n)x + cos(m -n) x],

òsin mx cos nx dx,

sin mx cos nx =

[sin(m + n) x +sin(m - n)x ],

òsin mx sin nx dx,

sin mx sin nx =

[-cos(m

+ n) x + cos(m - n) x]

m ¹ n

8. Понятие об интегрируемости в конечном виде

или о функциях, интегралы от которых не выражаются

через элементарные функции

Трудность интегрального исчисления по сравнению с

дифференциальным

исчислением

состоит

в,

чтом

неопределенный интеграл от элементарной функции может не

быть элементарной функцией.

f (x)

Определение 7.

Говорят,

что

функция

интегрируема в конечном виде (или интеграл ò f (x)dx

берется

конечном

виде), если

ее

первообразная

является

элементарной функцией.

Определение 8. Говорят, что элементарные функции,

интегралы от которых не выражаются никакими конечными

комбинациями

основных

элементарных

функций, не

интегрируемы

элементарных

функциях(или

не

интегрируемы в конечном виде).

sin x

cos x

Например, интегралы

òe-x2 dx; ò

dx;

;

ò 1- k 2 sin2 x dx

нельзя

представить

никакими

ln x

элементарными

функциями.

То

есть

первообразные

от

элементарных

функций e-x2 ,

sin x

cos x

и т.д.

не являются

элементарными

функциями.

подобных

случаях

первообразная представляет собой, очевидно,

некоторую

новую

функцию,

которая

не

сводится

комбинации

конечного числа элементарных функций. Так, например, та из

первообразных

òe-x2 dx + C,

которая

обращается

в нуль

при

x = 0 , называется

функцией

Лапласа

обозначается

F(x). То есть,

	F(x) =	2	òe- x2 dx + C,	если F(0) = 0.

		p
Эта функция хорошо изучена. Составлены таблицы ее
значений	при		различных	значенияхx. График
подынтегральной функции y = e-x2				представлен на рис. 1.

График функции Лапласа y = F(x) представлен на рис. 2.

Рис. 1 Рис. 2

Та	из		ò	2 sin2 xdx + C (k <1),
		первообразных1- k
которая	обращается	в	нуль	x =при0 , называется
эллиптическим интегралом и обозначается E(x) :
	E(x) = ò 1- k 2 sin2 xdx + C2 ,			если E(0) = 0.

Для этой функции также составлены таблицы значений при различных значенях x.

Примеры решения практических задач

Пример 1. Вычислить интеграл ò x

xdx .

Решение.

Так

как

подынтегральная

функция

представляет

собой

произведение

двух

функций

одинаковым основанием, но разными степенями, то

x 2

ò x xdx = ò x

dx =

+ C =

x5 + C. .

Пример 2. Вычислить интеграл ò x

x -5dx .

Решение. Произведем в данном интеграле замену

переменной.

x - 5 = t

ò x x -5dx =

x - 5 = t2

= ò(t

+ 5) ×t ×2t dt

= 2ò

+ 5t

)dt =

x = t

+ 5

dx = 2t dt

2t5

10t3

+ C =

(x - 5)2 +

(x - 5)2 + C.

Пример 3. Вычислить интеграл ò x ln xdx .

Решение.

Данный

интеграл

вычисляется

методом

интегрирования по частям

ò x ln xdx =

u = ln x,

du =

x2 ln x

dx =

dv = xdx, v =

x2 ln x

ò x dx =

x2 ln x

+ C.

Пример 4. Вычислить интеграл

(x4

+1)

dx .

ò x3 - x2 + x -1

Решение.

Так

как

подынтегральная

функция

представляет неправильную дробь, то сначала необходимо

выделить

целую

часть

рациональным

методом

деления

числителя на знаменатель.

x4 +1

x3 - x2 + x -1

x4 - x3 + x2 - x

x +1

-x3 - x2 + x +1 x3 - x2 + x -1

Получим.

(x4 +1)

= x +1

x3 - x2 + x -1

Разложим

знаменатель

полученной

правильной

рациональной дроби на элементарные множители:

x3 - x2 + x -1 = (x -1)(x2 +1) Þ

x3 - x2 + x -1

(x -1)(x2

+1)

Методом

неопределенных

коэффициентов

представим данную дробь в виде суммы двух простейших дробей по формуле (9.3):

Bx + C

A(x2 +1) + (Bx + C)(x -1)

(x -1)(x2 +1)

( x -1)(x2

+1)

x -1

Отсюда Ax2 + A + Bx2 - Bx + Cx -C = 2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

х слева и справа последнего равенства, получим

A + B = 0,ü

A = -B,

C =1,

C =1, ü

C - B = 0,

Þ A =

A =1,

C - B = 0,ý

A - C = 2

-2B = 2

-B - C = 2þ

B = -1;þ

-x +1

x -1

(x -1)( x2 +1)

x -1

x2 +1

x -1

x2 +1

Окончательно получаем.

(x4 +1)

= x +

x -1

;

x3 - x2 + x -1

-1 x2 +1

(x4 +1)

x -1 ö

dx =

ç x

+1+

÷dx =

x dx +

dx +

ò x

- x

+ x

ò x -1

-1

x -1 x

2x dx

+ ò

+ x + ln

x -

+ arctg x + C.

Пример 5. Вычислить интеграл ò

(1+ 3

x ) x

Решение. Так как в интеграле присутствуют корни различных степеней, то сначала находится наименьшее общее кратное между ними, а затем х в наименьшей степени заменяется через другую переменную, т.е.

ò	dx		x = t6	= ò	6t 5dt
		=	dx = 6t 5dt			.
	(1+ 3 x ) x				(1+ t2 )t3

Теперь, так как дробь неправильная, выделим целую часть и вычислим по отдельности полученные два интеграла,

t5dt

т.е 6

ç1

÷ dt =6t

- 6arctg t + C = 6 6

x -

ò (1

+ t

-6arctg 6

x + C.

Пример 6. Вычислить интеграл ò

sin x

Решение. Данная подынтегральная функция является

тригонометрической,

причем sin x присутствует

в первой

степени,

поэтому

воспользуемся

следующей подстановкой:

sin x =

; x = 2arctg t; dx =

2dx

и получим

1+ t 2

1+ t2

= ò

2dt

= ò

= ln

+ C = ln

+ C.

sin x

(1+ t2 ) ×

1+ t 2

Пример 7. Вычислить интеграл ò sin2 x dx. cos6 x

Решение. Данная подынтегральная функция является тригонометрической, причем sin x и cos x присутствуют в четных степенях, поэтому распишем 1, которая домножена на sin2 x и преобразуем полученное выражение.

sin 2 x

dx = ò

sin2 x(sin2 x + cos2 x)2

dx = òtg

x(tg

x +1)

dx =

cos

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022441.76 Кб2Учебное пособие 486.pdf
#
30.04.2022441.77 Кб4Учебное пособие 487.pdf
#
30.04.2022442.46 Кб2Учебное пособие 488.pdf
#
30.04.2022442.61 Кб7Учебное пособие 489.pdf
#
30.04.2022246.5 Кб1Учебное пособие 49.pdf
#
30.04.2022443.51 Кб1Учебное пособие 490.pdf
#
30.04.2022443.91 Кб8Учебное пособие 491.pdf
#
30.04.2022444.81 Кб4Учебное пособие 492.pdf
#
30.04.2022444.98 Кб1Учебное пособие 493.pdf
#
30.04.2022445.4 Кб3Учебное пособие 494.pdf
#
30.04.2022445.44 Кб4Учебное пособие 495.pdf