Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 490

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

443.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

tg x=t,

= òt

+1)

dt =

+ C =

dx =

1+ t 2

+ t2

tg x5

tg x3

+ C.

Пример 8. Вычислить интеграл ò x

4 - x2 dx.

Решение. Вычислим интеграл методом замены.

	4 - x2 = t
ò x 4 - x2 d =	4 - x2 = t2				= -òt ×t dt = -	t3	+ C =

	-2x dx = 2t dt				3
	x dx = -t dt
	= -	1	( 4 - x	2	)3 + C.

3

Пример 9. Вычислить интеграл òsin 5x sin 3x dx.

Решение. Сначала представим подынтегральную функцию в виде сумм двух простых функций по формуле

sin mx sin nx = 12 [-cos(m + n)x + cos(m -n) x], а затем вычислим полученные два интеграла, т.е.

òsin 5x sin 3x dx =

ò[-cos 8x + cos 2x]dx = -

sin 8 x

sin 2 x

+C.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

ò(2sin x -3cos x)dx.

11. ò

dx.

(x +1)(x - 2)

ò2xe

12. ò

dx.

(x -1)2 (x - 2)

3.òcos 2xdx.

4.ò x2 3 4 - 3x3 dx.

5.ò arcsin 2x dx.

1- 4x2

6.ò xex dx.

7. ò x ln xdx.

8 òarctg xdx.

9.òex (x2 + 2)dx.

10.òtg3 xdx.

x3dx

13.ò (x -1)(x2 +1) .

14.ò (3x + 2)dx . x(x -1)3

15. ò		dx	.
	3	+ 5 cos x

16.òcos2 x dx.

17.òcos10x sin 4x dx.


18.	ò		x dx	.
		4	5
			x +1
19. ò			2 + 3x		dx.

			x -3
20.	ò x2 7 - 6x - x2 dx.

II.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Определенный интеграл и задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Некоторые

физические толкования определенного интеграла

Определение 1. Пусть на отрезке[a, b] задана функ-

ция f (x) .	Разделим [a, b]		на	части произвольными			точками
a = x0 < x1 < ... < xn		= b и на каждом частичном отрезке [xi , xi+1 ]
данного разбиения выберем				произвольную		точкуξi . Сумма
n-1
Sn = å f (ξi )Dxi		называется		интегральной		суммой	функции
i=0
f (x) .
Определение 2.			Предел (если		он	существует), к
которому	стремится		интегральная			суммаS ,	когда
						n

max Dxi ® 0 ,	называется		определенным				интегралом	от
функции f	на отрезке[a, b]		и	обозначается следующим
образом:	b
	b	f (x)dx =	lim	n-1	f (ξ	)Dx .
	ò	f (x)dx =	lim	å	f (ξ	)Dx .
	ò		max Dx ®0	å	i		i
	a		i	i =0
	a			i =0

Число а называется нижним пределом определенного интеграла, а число b — верхним его пределом.

Теорема 1. Если функция f (x) интегрируема на [a, b] ,

то она интегрируема на любом отрезке [c, d ], содержащемся в

[a, b] .

Теорема 2. (существования определенного интеграла).

Если функция f (x)		непрерывна		на[a, b] , то	она и
интегрируема на этом отрезке.
Теорема 3. Если функция f (x) имеет на отрезке [a, b]
конечное	число	точек	разрыва	первого ,	торода она

интегрируема на [a, b] .

Задача 1. (о массе неоднородного стержня). Пусть дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси Ох в

пределах отрезка [a, b] (рис. 3).

Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная

	Рис. 3		функция от x : ρ(x) .
Разобьем		стержень	наn	произвольных		частей			точками
a = x	< x < ... < x = b.		В	пределах	каждой		частиx , x
0	1	n					[	i	i+1 ]
выберем		по произвольной		точкеξi . Так		как	в	пределах
[xi , xi+1 ]		функция ρ(x)	изменяется		мало,	то	массу		части

стержня, соответствующей отрезку [xi , xi+1 ] , можно считать приближенно равной mi = ρ(ξi )Dxi , где Dxi = xi+1 - xi . Составим сумму mn

n-1

mn = ρ(ξi )Dxi +... + ρ(ξn -1 )Dxn-1 = åρ(ξi )Dxi ,

i=0

которую называют интегральной суммой, по определению 1, и которая, очевидно, равна сумме mi .

Устремим все Dxi к нулю так, чтобы максимальный частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина mn стремится к определенному пределуm, не зависящему от способов разбиения и выбора точекξi , то

естественно величину m называть массой данного стержня. Таким образом

m = lim	n-1	ρ(ξ	)Dx	î ï ðåä.2	b	ρ(x)dx.
m = lim	å	ρ(ξ	)Dx	=	ò	ρ(x)dx.
max Dx ®0	å	i	i		ò
i	i=0				a
	i=0				a

Задача 2. (о площади криволинейной трапеции). Пусть на [a, b] задана неотрицательная непрерывная функция f (x) .

Требуется определить площадь фигуры, ограниченной кривой y = f (x) , осью Ox , прямыми x = a и x = b (рис. 4).

		Рис. 4
Разобьем		[a, b]	на n	частей		точками
a = x0 < x1 < ... < xn		= b. Выберем	на	каждом из	полученных
частичных	отрезков [xi , xi+1 ]		по	произвольной	точкеξi	,
значение	функции f (x) в этих точках будет				f (ξi )	и,
		22

следовательно,				площадь				каждого		из	полученны
прямоугольников будет					f (ξi )Dxi .
								n-1
Составим				сумму Sn				= å f (ξi )Dxi ,		которую,	по
								i=0
определению 1,			называют интегральной суммой и которая,
очевидно, равна сумме площадей прямоугольников.
Пусть max Dxi					® 0 ,			тогда Sn	® S	при	любом
разбиении	и		выборе			точекξi . Таким			образом, величина
S = lim	n-1	f (ξ		î ï ðåä.2		b	f (x)dx.		является		площадью
S = lim	å	f (ξ		)Dx	=	ò	f (x)dx.		является		площадью
max Dx ®0	å		i	i		ò
i	i =0					a
	i =0					a

криволинейной трапеции.

Обе из рассмотренных задач привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного

происхождения,			заданными			на [a, b] .		Эта	операция
называется операцией интегрирования функции на отрезке, а
ее	результат — число				— называется			определенным
интегралом от функции на отрезке.
	Некоторые физические толкования определенного
				интеграла
	1.	Если	f (x) —		это	скорость		прямолинейного
							b
движения		точки	в момент		времениx,		то ò f (x)dx		выражает
							a
путь, пройденный данной точкой от							момента времениx = a
до момента x = b .
	2. Если f (x)			— это	переменная сила, под				действием
									b
которой материальная точка движется по оси Ox , то ò f (x)dx
									a
выражает		работу,		произведенную			данной		силой	при
перемещении точки по отрезку [a, b] .

3. Если f (x) — это теплоемкость материала тела при

	b
температуре x,	то ò f (x)dx	выражает	количество тепла,
	a
приобретенного	телом при	нагревании	его от температуры

x = a до температуры x = b .

4. Масса, распределенная на линии, равна интегралу от

			S
плотности, взятому по длине линии m = ò f (S )dS.
				0
2. Основные свойства определенного интеграла
	a
Свойство 1.	ò f (x)dx = 0 .
	a
Доказательство.		Соответствующая			криволинейная
трапеция вырождается		в	отрезок	прямой(ее		основание
b - a = 0 ). Площадь такой «трапеции» равна нулю.
	b	a
Свойство 2.	ò f (x)dx = -ò f (x)dx
	a	b
Свойство 3.	Постоянный		множитель можно			выносить
			b		b
за знак определенного интеграла, т.е. òkf (x)dx = k ò f (x)dx.
			a		a
Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической
суммы функций равен алгебраической				сумме	их	интегралов,
т.е.
b			b	b
ò[ f (x) ± q(x)]dx = ò f (x)dx ± òq(x)dx .
a			a	a
Свойство 5. (аддитивность)
	b	c		b
	ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx.
	a	a		c

Геометрически это свойство выражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции с основанием[a, b] равна

сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями[a, c] и

[c, b] (рис. 5).

					b	Рис.5
					b
Свойство 6. Если f (x) ³ 0				на[a, b] , то ò f (x)dx ³ 0.
Свойство 7. Если на [a, b]					a
Свойство 7. Если на [a, b]				f (x) ³ q (x) , то
	b		b
	ò f (x)dx ³ òq(x)dx
	a		a
Иными	словами,		неравенство		можно		почленно
интегрировать.							f (x)
Теорема 4.		(о	среднем		значении). Если		f (x)
непрерывна на [a, b] , то существует такая точка c Î[a,b] , что
			b
			ò f (x)dx = f (c)(b - a).
			a
			Теорема		о среднем		значении
		допускает		наглядное		геометрическое
		толкование		(рис.6):		площадь
		криволинейной трапеции, ограничен-
Рис. 6		ной	кривой		y = f (x) ³ 0		и
прямыми y = 0 ,	x = a и x = b , равна площади прямоугольника
с тем же основанием и с высотойf (c) , равной ординате
кривой в некоторой промежуточной точке с основания.
3. Производная интеграла по переменной верхней
		границе
Замечание.		От		обозначения			переменно
интегрирования		значение		определенного		интеграла		не
зависит.

			x
Определение 3.	Пусть	дан	ò	с
Определение 3.	Пусть	дан	интегралf (t)dt	с
			a

постоянным нижним пределома и переменным верхним

пределом		х.	Тогда	величина		этого	интеграла	является
функцией		верхнего		предела.	Обозначим эту		функцию F(x) ,
т.е.					x
					x
				F(x) = ò f (t)dt,
					a
и	назовем			ее	интегралом		с
переменным верхним пределом.
	Исходя		из	геометрического
смысла		интеграла,		функция F(x)
представляет			собой		переменную
площадь криволинейной трапеции с							Рис. 7
основанием			[a, x] ,	ограниченной		y = f (x), y = 0,t = a		и

t = x (рис. 7).

Теорема 5. (о связи между производной и интегралом). Производная интеграла от непрерывной функции п переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу,

æ x	ö'
т.е. F' (x) = ç ò	f (t)dt ÷ = f (x).
è a	øx

Замечание. Функция F(x) является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f (x) . Как известно, всякая другая первообразная для f (x) отличается от F(x) на

постоянную. Таким образом, связь между определенным и неопределенным интегралами заключается в следующем:

ò f (x)dx = ò f (t )dt +C.

Теорема 6.	(основная	теорема	интегрального
исчисления). Пусть функция f (x)		непрерывна на [a, b] . Тогда

если функция F (x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то справедлива формула

ò f (x)dx = F (b) - F (a) = F (x)|ba.

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница.

Доказательство. Пусть F(x) = ò f (t)dt, тогда, по

теореме о связи между производной и интегралом, функция F(x) является первообразной дляf (x) на [a, b] . Таким образом F (x) и F(x) — две первообразные функции f (x) на

[a, b] . Так как первообразные отличаются на постоянную, т.е.

F(x) = F (x) + C,	a £ x £ b,
то имеет место равенство,
x
ò f (t)dt = F (x) + C,	a £ x £ b.
a

Подставляя в это равенство значение x = a и используя свойство 1 определенного интеграла, имеем

ò f (t)dt = F (a) + C; 0 = F (a) + C Þ C = -F (a),

т.е. " Î			x		=		-
т.е. " Î		[a, b ,]ò f (t)dt			=		-
x		[a, b ,]ò f (t)dt				F (x)		F (a).
			a
							b
Полагая x = b , имеем ò f (t)dt = F (b) - F (a).
							a
	4. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 7.				Если выполняются условия: 1) f (x)
непрерывна на [a, b] ; 2)						[a, b] является множеством значений
функции			x = φ(t) ,	определенной					на отрезкеt Î[α,β] и
имеющей			на нем		непрерывную				производную; 3) φ(α) = a ,

φ(β) = b ,— то справедлива формула замены переменной под знаком определенного интеграла

b β

ò f (t)dt = ò f (φ(t))φ' (t )dt.

aα

5.Интегрирование по частям в определенном

			интеграле
	Теорема 8.	Если	функции u(x) и v(x)			непрерывны
вместе	со своими	производнымиu '(x) и v '(x)				на [a, b] , то
		b		b
справедлива формула òu dv = u ×v\|ba - òv du.
		a		a
		6. Несобственные интегралы
					b
	Определение 4. Если интеграл ò f (x)dx					стремится к
					a
конечному пределу при неограниченном возрастанииb, то
этот	предел	называется		несобственным			интегралом	с
бесконечной верхней			границей		отf (x) и	обозначается
	+¥
символом ò f (x)dx.
	a
		+¥			b
	Таким образом, ò		f (x)dx = blim®+¥ ò f (x)dx. В этом случае
		a			a
			говорят, что данный несобственный
			интеграл	существует		или	сходится
			(рис. 8). Если указанный предел не
			существует		или	бесконечен, то
			говорят, что интеграл не существует

или расходится.

Рис. 8

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022441.76 Кб2Учебное пособие 486.pdf
#
30.04.2022441.77 Кб4Учебное пособие 487.pdf
#
30.04.2022442.46 Кб2Учебное пособие 488.pdf
#
30.04.2022442.61 Кб7Учебное пособие 489.pdf
#
30.04.2022246.5 Кб1Учебное пособие 49.pdf
#
30.04.2022443.51 Кб1Учебное пособие 490.pdf
#
30.04.2022443.91 Кб8Учебное пособие 491.pdf
#
30.04.2022444.81 Кб4Учебное пособие 492.pdf
#
30.04.2022444.98 Кб1Учебное пособие 493.pdf
#
30.04.2022445.4 Кб3Учебное пособие 494.pdf
#
30.04.2022445.44 Кб4Учебное пособие 495.pdf