Учебное пособие 397

4.3. Заряд равномерно распределен по поверхности шара с поверхностной плотностью σ . Найдите величину Е напряженности электрического поля в точке, находящейся от поверхности шара на расстоянии, равном его диаметру.

5. Работа в электростатическом поле. Энергия взаимодействия точечных зарядов

5.1. Точечные заряды q1 =6,6 10−9 и q 2 =13,2 10−9 Кл находятся на расстоянии r1 =40см. Какую работу А следует совершить, чтобы медленно сблизить их до расстояния r 2 =25см?

5.2. Точечные заряды q1 =25мкКл q 2 = – q1 находятся на расстоянии r=5см. Ка-

кую работу А совершает внешняя сила, при равномерном перемещении пробного заряда q=0,12мкКл вдоль прямой, соединяющей заряды, из точки посередине между зарядами в точку, лежащую на а=1см ближе к заряду q 2 ?

5.3. Расположение точечных зарядов q1 =10мкКл, q=100мкКл, q 2 =25мкКл показано на рис.2. Расстояние между зарядами q1 и q r1 =3см, а между q 2 и q расстояние r 2 =5см. Какую минимальную работу А следует совершить, чтобы поменять заряды q 1 и q 2 местами?

Рис.2

5.4. Какую минимальную работу А следует совершить для перевода трех бесконечно удаленных друг от друга электронов в вершины равностороннего тре-

угольника со стороной r=10 −10 м?

5.5. В вершинах квадрата со стороной а=50см расположены точечные заряды q1 =3мкКл. Какую минимальную работу А следует совершить, чтобы перемес-

тить точечный заряд q 2 = – 8мкКл из центра квадрата в середину любой сторо-

ны?

5.6. Четыре точечных заряда q расположены на прямой. Расстояние между ближайшими равно r. Какую минимальную работу А следует совершить, чтобы поместить заряды в вершинах тетраэдра с ребром r?

6.Потенциал электростатического поля

6.1.Величина напряженности однородного электрического поля Е=600В/м.

Найдите разность ϕА - ϕВ потенциалов в точках А и В таких, что ΑΒ составляет угол α =60 0 с Е. ΑΒ =d=2мм.

11

6.2. В пространство между обкладками А и В незаряженного плоского конденсатора вносится металлическая пластина с зарядом q (рис.3). Между пластиной и обкладками конденсатора при этом остаются зазоры шириной l1 и l 2 . Площа-

ди пластины и обкладок одинаковы и равны S. Определите разность ϕА -ϕВ потенциалов обкладок конденсатора.

A

l1

l2

B

Рис.3

6.3. Электростатическое поле создаётся точечным зарядом. Потенциалы в точках А и В равны ϕА =30В и ϕВ =20В, соответственно. Найдите потенциал ϕс в

точке С, лежащей посередине между точками А и В (прямая АВ проходит через заряд).

6.4.Две пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда

σ =0,2мкКл/м2 одна положительным, другая отрицательным зарядами. Расстояние между пластинами d1 =1мм. Найдите приращение ∆(ϕ+ -ϕ− ) разности

потенциалов пластин при увеличении расстояния между ними до d 2 =3мм.

7.Конденсаторы

7.1.После пролета заряженной частицы через заряженный конденсатор емко-

стью С=4,4пФ образовалось N=2 105 пар однократно заряженных положительных и отрицательных ионов. Найдите приращение ∆U напряжения на конденсаторе.

7.2.Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого d1 =1см, зарядили до напряжения U1 =100В, затем отключили от источника напряжения и раздвинули обкладки конденсатора до расстояния d 2 =2см. Определите напряжение U 2 на конденсаторе в конечном состоянии.

7.3.Величина напряженности электрического поля в плоском конденсаторе Е=56кВ/м, разность потенциалов между обкладками U=280В. Площадь каждой

обкладки S=10 −1 м 2 . Найдите емкость С конденсатора.

7.4.Обкладки конденсатора представляют собой две полоски фольги, каждая

площадью S=0,4м2 , разделенные парафиновой бумагой, толщина которой d=0,08 мм, диэлектрическая проницаемость ε =2,2. Найдите приращение ∆q заряда конденсатора, при котором напряжение на конденсаторе увеличится на

∆U=175В.

12

7.5.Конденсатор с воздушным зазором емкостью С=4,5нФ подключен к источнику постоянного напряжения U=112В. Не отключая конденсатор от источника, воздушный зазор целиком заполняют слюдой с диэлектрической проницаемостью ε =6. Найдите приращение ∆q заряда конденсатора.

7.6.Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: слоем стекла толщиной d1 =1см, диэлектрической прони-

цаемостью ε1 =7 и слоем парафина толщиной d 2 =2см, диэлектрической проницаемостью ε2 =2. Определите емкость С конденсатора. Площадь каждой об-

кладки S=100см2 .

7.7. Плоский конденсатор состоит из трех пластин, соединенных, как показано на рис.4. Площадь каждой пластины S=100см2 , расстояние между ближайшими d=0,5см. Найдите емкость С конденсатора. Как изменится емкость конденсатора при погружении его в керосин (ε =2)?

Рис. 4

7.8. Конденсатор, заряженный до напряжения U1=100В, соединяют с конденсатором той же емкости, заряженным до U2=200В: один раз одноименно заряженными обкладками, другой – разноименно заряженными обкладками. Какие напряжения UI и UII установятся на конденсаторах?

8.Движение заряженных частиц в электростатическом поле

8.1.Заряженная капелька жидкости массой m=2 10−12 кг покоится в электрическом поле напряженностью Е=1,3 105 В/м. Определите величину q заряда капельки.

8.2.Отрицательно заряженная капелька массой m=10−12 кг покоится в электрическом поле плоского конденсатора, напряжение на котором U=1кВ. Расстояние между обкладками d=4,8мм. Сколько избыточных электронов N находится на капельке?

8.3.В плоском конденсаторе с горизонтально расположенными обкладками, расстояние между которыми d, находится заряженная капелька массой m. В отсутствии электрического поля капелька падает равномерно с некоторой постоянной скоростью. Если напряжение на конденсаторе U, капелька падает вдвое медленнее. Найдите заряд q капельки.

13

8.4.Электрон движется с начальной скоростью υ0 =10 6 м/с в однородном элек-

трическом поле напряженностью Е=120В/м (υur0 ↑↑ E ). Найдите время t движения электрона до остановки.

8.5.С какой скоростью υ достигают анода электронной лампы электроны, испускаемые катодом, если напряжение между анодом и катодом U=200В? Начальная скорость электронов мала.

8.6.Электрон движется с нулевой начальной скоростью в однородном элек-

трическом поле с ускорением a=1012 м/с2 . Найдите: 1) величину Е напряженности поля; 2) величину υ скорости электрона в момент времени τ=1мкс; 3) работу А сил электрического поля на перемещении за время от t = 0 до t=τ ; 4) разность потенциалов (ϕ2 -ϕ1 ) в конечной и начальной точках перемещения элек-

трона.

8.7.В плоский конденсатор с зарядом q влетает электрон со скоростью υur0 па-

раллельно обкладкам. Найдите величину υ скорости электрона при вылете из конденсатора и угол a между векторами υur и υur0 . Емкость конденсатора С, расстояние между обкладками d=1см, длина каждой обкладки L.

8.8. Электрон со скоростью υ0 =2 107 м/с влетает в плоский конденсатор параллельно обкладкам. Величина напряженности электрического поля в конденсаторе Е=6кВ/м. Найдите величину ∆υuur приращения скорости электрона за

время пролета конденсатора. Длина каждой обкладки L=6см.

Постоянный ток

9.Закон Ома для участка цепи

9.1.По проводнику течет ток величиной I=8А. Площадь поперечного сечения

проводника S=5см2 . Концентрация свободных электронов в проводнике

n=10 28 см−3 . Определите величину υ скорости упорядоченного движения электронов.

9.2. Птица сидит на проводе линии электропередачи, по которому течет ток величиной I=1800А. Сопротивление каждого метра провода R1 =2 10−5 Ом/м.

Если расстояние между лапами птицы d=2,5см, то под каким напряжением U находится птица?

9.3. Резистор сопротивлением R=38 Ом изготовлен из медного провода массой m=11,2г. Найдите длину l и диаметр d провода. Удельное сопротивление меди ρ =1,7 10−8 Ом·м, плотность меди D=8,9 103 кг/м3 .

9.4. По медной проволоке диаметром d=0,8 мм течет ток силой I=0,5А. Определите величину Е напряженности электрического поля в проволоке. Удельное сопротивление меди ρ =1,7 10−8 Ом·м.

14

9.5.Сопротивление провода длиной l1 =20 м и диаметром d1 =1,5мм равно

R1 =2,5 Ом. Найдите сопротивление R 2 провода из того же материала длиной l 2 =35м и диаметром d 2 =3мм. Температуры проводов одинаковы.

9.6. Во сколько раз величина тока в момент подключения лампы с вольфрамовой нитью к источнику постоянного напряжения при комнатной температуре t1 =20 0 С больше величины тока в рабочем состоянии, если температура накала

t 2 =2400 0 С? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама

α =0,51 10−2 К−1 .

9.7.Сопротивление проволоки R=36 Ом. Когда ее разрезали на N равных частей и соединили эти части параллельно, сопротивление полученного резистора оказалось равным r=1 Ом. На сколько N частей разрезали проволоку?

9.8.В схеме на рис.5 показание амперметра I=5А, показание вольтметра U=100В. Внутреннее сопротивление вольтметра r=2500 Ом. Определите вели-

чину R сопротивления резистора. Найдите относительную погрешность δ R определения величины сопротивления, обусловленную предположением о большом по сравнению R сопротивлении вольтметра.

V

R

А

Рис. 5

9.9. Для определения сопротивления резистора проводят измерения по двум электрическим схемам a) и b), подавая в обоих случаях одинаковое напряжение на клеммы CD (рис.6). В первом случае (схема a) вольтметр V показал напряжение U1 =190В, амперметр А – ток I1 =1,9А. Во втором случае (схема b) U 2 =170В

и I 2 =2А. Найдите сопротивление R резистора.

Рис. 6

15

10.Закон Джоуля – Ленца

10.1.По проводнику сопротивлением R=20 Ом течет постоянный ток. За время τ =5 мин через проводник прошел заряд q=300Кл. Найдите количество Q тепла, выделившегося в проводнике за время τ .

10.2.Две проволоки одинаковых размеров, одна из которых железная, а другая медная, соединены последовательно и включены в сеть. Найдите отношение Q1 /Q 2 количеств теплоты, выделяющихся в каждой проволоке за одно и тоже

время. Удельные сопротивления железа и меди ρ1 =9,8 10−8 Ом·м и ρ2 =1,7 10−8 Ом·м, соответственно.

10.3. Найдите диаметр d медного провода, если проводка рассчитана на максимальную величину тока I т =40А и на одном метре провода не должно выделять-

ся более P m =40Вт/м тепла. Удельное сопротивление меди ρ =1,7 10−8 Ом·м.

10.4. Электрическая лампочка с вольфрамовой нитью рассчитана на напряжение U=220В и мощность P=40Вт. Температура накаленной нити T=2700К. Найдите величину I 0 тока, протекающего в лампочке в первый момент включения

лампы (T 0 =273К). Температурный коэффициент сопротивления вольфрама

α =0,51 10−2 К−1 .

10.5.На спираль электроплитки мощностью P=576Вт подано напряжение U=120В. Какое количество N электронов ежесекундно проходит через поперечное сечение спирали?

10.6.У электроплитки на η1 =10% укоротили спираль. На сколько процентов η2

увеличилась мощность плитки?

10.7. Протекающий через резистор ток изменяется во времени по закону I=K t , где К=1А c−1 / 2 , (время измеряется в секундах, величина тока в амперах). За какое время τ от начала протекания тока на резисторе выделилось Q=1,8кДж тепла? Сопротивление резистора R=100 Ом.

10.8. Электрический нагреватель работает от источника с напряжением U=120В и при токе I=5А за τ =20мин нагревает m=1,5 кг воды от t1 =16 0 С до

t 2 =100 0 С. Найдите коэффициент полезного действия η нагревателя. Удельная

теплоемкость воды с=4200Дж/(кг·К).

10.9. Лампочка рассчитана на напряжение U 0 =120В и мощность P 0 =40Вт. Ка-

кое добавочное сопротивление R следует включить последовательно с лампочкой, чтобы она горела нормальным накалом при напряжении в сети U=200В? 10.10. Спираль нагревателя сопротивлением R 0 =5 Ом подключена к батарее с

внутренним сопротивлением r=20 Ом. При каком сопротивлении R шунта к нагревателю количество теплоты, выделяющейся в нагревателе, уменьшится в n=9 раз?

10.11. От источника с напряжением U=5кВ при помощи проводов с удельным сопротивлением ρ =2 10−8 Ом·м и площадью поперечного сечения S=10 −6 м2 передают электроэнергию. На нагрузке сопротивлением R=1,6кОм выделяется

16

мощность Р=10кВт. Найдите расстояние l от источника до нагрузки. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

10.12. Нагревательный элемент в электрической кастрюле состоит из двух одинаковых секций. Сопротивление каждой секции R=20 Ом, Через какое время τ закипит вода объемом V=2,2л, если: 1) включена одна секция; 2) обе секции включены последовательно; 3) обе секции включены параллельно? Начальная температура воды t1 =16 0 С, напряжение в сети U=110В, КПД нагревателя

η=85%. Удельная теплоемкость воды с=4,2 103 Дж/(кг·K). Плотность воды D=10 3 кг/м3 . Температура кипения воды t 2 =100 0 С.

10.13. Нагревательный элемент электрического чайника состоит из двух секций. При включении одной из них вода закипает через τ1 =15мин, при включении

другой через время τ 2 =10мин. Через какое время τ3 , τ4 закипит вода, если сек-

ции включить последовательно, параллельно?

10.14. От источника с напряжением U=750В необходимо передать удаленному потребителю мощность Р=5кВт. При какой величине R сопротивления линии передачи потери энергии составят η=10% полезной мощности?

11.Закон Ома для полной цепи

11.1.Плоский конденсатор емкостью С и расстоянием между обкладками d заполнен слабопроводящей средой с диэлектрической проницаемостью ε и удельным сопротивлением ρ . Найдите установившуюся величину Е напряжен-

ности поля в среде, после подключения конденсатора к источнику с ЭДС ξ и

внутренним сопротивлением r.

11.2. Элемент атомной батареи (источника тока) представляет собой плоский конденсатор, на одну из обкладок которого однородно нанесен радиоактивный препарат, испускающий α – частицы со скоростью υ=2,2 106 м/с. Определите ЭДС ξ такого элемента. Отношение заряда α – частицы к ее массе

mq =4,8 107 Кл/кг.

11.3. Найдите диаметр d железного провода длиной l=5см, если после замыкания им батареи с ЭДС ξ =1,5В и внутренним сопротивлением r=0,2 Ом величи-

на тока в цепи I=0,6А. Удельное сопротивление железа ρ =9,8 10−8 Ом·м.

11.4.При подключении некоторого сопротивления R к ЭДС ξ = 30 В и внут-

ренним сопротивлением r=2Ом напряжение на зажимах источника U=28В. Найдите величину I тока в цепи.

11.5. При подключении к батарее сопротивления R1 =5 Ом по цепи течет ток I1=3А. При подключении сопротивления R2=10 Ом, ток в цепи I 2 =2А. Найдите ток I 0 короткого замыкания батареи.

17

11.6.Определите напряжение U на полюсах источника с ЭДС ξ =12В, если

сопротивление внешней части цепи равно внутреннему сопротивлению источника.

11.7.К источнику с ЭДС ξ =11В подключают последовательно три провода

одинаковой длины с площадями поперечного сечения S1 =1мм2 , S 2 =2мм2 , S 3 =3мм2 , соответственно. Все провода изготовлены из одного материала. Определите напряжения U1 , U 2 , U 3 на проводах. Внутреннее сопротивление ис-

точника пренебрежимо мало.

11.8. Сопротивления R1 =12 Ом и R 2 =24 Ом соединены параллельно и подключены к батарее с ЭДС ξ =28В и внутренним сопротивлением r=6 Ом. Най-

дите величины токов, текущих через батарею и сопротивления.

11.9. Батарейка для карманного фонаря замкнута на реостат. При сопротивлении реостата R1 =1,65 Ом напряжение на нем U1 =3,3В, а при сопротивлении

реостата R 2 =3,5 Ом напряжение на реостате U 2 =3,5В. Найдите ЭДС ξ и внут-

реннее сопротивление r батареи.

11.10. При подключении к батарее гальванических элементов сопротивления R1 =16 Ом величина тока в цепи I 1 =1А, а при замене сопротивления R1 сопро-

тивлением R 2 =8 Ом величина тока в цепи I 2 =1,8 А. Найдите ЭДС ξ и внутреннее сопротивление r батареи.

12.Электролиз

12.1.Для покрытия цинком металлических изделий в электролитическую ванну помещен цинковый электрод массой m=120г. Найдите заряд q, который должен пройти через ванну, чтобы электрод полностью израсходовался. Электро-

химический эквивалент цинка k=3,4 10−7 кг/Кл.

12.2.При никелировании детали в течение τ =2ч через ванну проходил ток I=25А. Какова толщина d слоя никеля? Площадь детали S=0,2м2 . Электрохимический эквивалент никеля k=3 10−7 кг/Кл, плотность никеля D=8,9 103 кг/м3 .

12.3.Какое количество N ионов осядет на катоде при электролизе из соли любого двухвалентного металла за τ =40мин при величине тока I=4А?

13.Электромагнетизм

13.1.Два одинаковых круговых проволочных витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры витков совпадают. По виткам текут токи I1 и I 2 . Как следует расположить третий виток того же радиуса и

какой величины I 3 по нему пропустить ток, чтобы магнитное поле в общем цен-

тре трех витков было равно нулю? Все проводники изолированы друг от друга. 13.2. По обмотке очень короткой катушки радиусом R=16см течет ток силой I=5А. Сколько витков N проволоки намотано на катушку, если напряженность магнитного поля в ее центре H=800А/м?

18

13.3. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, скрещенным под прямым углом, текут токи I1=30А и I2=40А (рис.7). Расстояние между проводниками d=20 см. Определить магнитную индукцию В в точке С, одинаково удаленной от обоих проводников на расстояние, равное d.

I2

Рис.7

13.4.По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I=40А. Сто-

рона треугольника a=30см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот треугольника.

13.5. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии a=30см друг от друга, текут одинаковые токи силой 100А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу, действующую на единицу длины каждого провода.

14.Сила Лоренца

14.1.Заряженная частица движется со скоростью υ=0,6 106 м/с по окружности радиуса R=4см в однородном магнитном поле с индукцией В=0,31Тл. Кине-

тическая энергия частицы ЕК=1,2 10−15 Дж. Найдите заряд q частицы.

14.2. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов ∆ϕ =2кВ, движется по окружности радиуса R=1см в однородном магнитном по-

ле с индукцией В=1,51 10−2 Тл. Найдите величину |q|/m удельного заряда частицы.

14.3. Два одинаково заряженных иона, ускоренных одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Первый ион движется по окружности радиуса R1 =5 см, второй – по дуге окружности радиуса R 2 =2,5см.

Найдите отношение m1 /m 2 масс ионов.

14.4.Протон и α – частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравните радиусы дуг окружностей, по которым движутся частицы, считая одинаковыми: а) скорости; b) энергии. Заряд α – частицы в 2 раза, а масса в 4 раза больше, чем заряд и масса протона.

14.5.Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по дуге окружности радиуса R1 =2см. После прохождения через свинцовую пластинку ра-

диус кривизны траектории R 2 =21см. Определите относительное приращение δ энергии частицы.

19

15.Закон электромагнитной индукции

15.1.Проволочный круговой виток радиуса R=1см согнули по диаметру под прямым углом и поместили в однородное магнитное поле так, что линия сгиба витка перпендикулярна линиям индукции. Найдите максимальный магнитный поток Ф через поверхность, опирающуюся на виток, если величина индукции магнитного поля В=0,1Тл.

15.2.Магнитный поток через поверхность, опирающуюся на проволочный ви-

ток сопротивлением R=3 10 −2 Ом, за ∆t =2 с равномерно увеличился на ∆Ф=1,2 10−2 Вб. Найдите величину I индукционного тока в витке.

15.3. Магнитный поток через любую поверхность, опирающуюся на проволочное кольцо, равномерно возрастает со временем. Как зависит от времени величина индукционного тока в кольце? Рассмотрите два случая: сопротивление кольца конечное, кольцо в сверхпроводящем состоянии.

Изменение магнитного потока, обусловленное изменением индукции магнитного поля

15.4. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,2Тл расположен проволочный виток площадью S=50см2 . Нормаль к плоскости витка составляет с линиями магнитной индукции угол α =600. Найдите среднее значение <ξ > ЭДС индукции в витке при выключении поля в течение τ =0,02с.

15.5. Проволочная рамка площадью S=10 −2 м2 расположена в однородном магнитном поле так, что линии индукции перпендикулярны плоскости рамки. В некоторый момент времени магнитное поле выключают так, что за τ =1мс поле убывает по линейному закону от величины В0 =1Тл до нуля. Найдите ЭДС ин-

дукции ξ в рамке.

15.6. Проволочная квадратная рамка со стороной а=50см помещена в однородное магнитное поле. Линии индукции перпендикулярны плоскости рамки. При равномерном уменьшении магнитного поля до нуля в течение τ =0,01с в рамке возбуждается ЭДС индукции ξ =50мВ. Определите величину В индукции

магнитного поля.

15.7. Треугольный проволочный контур, длины сторон которого l=20см, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В=1Тл так, что нормаль к плоскости контура составляет с линиями индукции угол = 600. Начиная с некоторого момента величина индукции магнитного поля равномерно уменьшается до нуля, при этом в контуре возбуждается ЭДС индукции ξ =100В. Найдите

время τ уменьшения индукции магнитного поля до нуля.

15.8. Из двух одинаковых кусков проволоки изготовлены два контура – круглый и квадратный. Оба контура расположены в одной плоскости и находятся в однородном магнитном поле, изменяющемся во времени. В круглом контуре индуцируется постоянный ток величиной I1 =12,8А. Найдите величину I 2 тока в

квадратном контуре.

20