Учебное пособие 265
.pdf
59. |
|
dx |
; |
60. |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x(x 1)2 |
|
|
x3 1 |
||||
61. |
|
x2 1 |
dx; |
62. |
|
dx |
|||
|
|
x(x 1)3 |
|||||||
|
|
4x3 x |
|
|
|
||||
8.Вопросы для подготовки к коллоквиуму.
1.Многочлены. Теорема Безу.
2.Основная теорема алгебры.
3.Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители
4.Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.
5.Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интегралов.
6.Интегрирование подстановкой, интегрирование по
частям.
7.Интегрирование простейших дробей. Интегралы
вида |
|
|
|
dx |
|
, |
|
|
Ax B |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
px q |
x |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
px q |
|||||
8.Интегрирование рациональных дробей.
9.Интегрирование некоторых классов тригонометрических выражений, интегрирование некоторых иррациональныхфункций.
10.Определенный интеграл: определение, свойства определенного интеграла.
10.Суммы Дарбу. Свойства.
11.Критерий интегрируемости функций.
12.Классы интегрируемых функций.
18
13.Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона–Лейбница
14.Интегрирование по частям, замена переменной в определенном интеграле.
15.Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат, в полярной системе координат и в случае параметрического задания кривой.
16.Вычисление длины дуги кривой декартовой системе координат, в полярной системе координат и в случае параметрического задания кривой.
17.Вычисление объема тела.
18.Несобственные интегралы 1 рода. Признаки сходимости
19.Несобственные интегралы 2 рода. Признаки сходимости
20.Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Условия существования.
21.Вычисление, свойства двойного интеграла.Двойные интегралы в полярных координатах. Применение двойных интегралов.
22.Тройные интегралы. Определение. Вычисление, свойства.
23.Цилиндрические и сферические координаты. Применение тройных интегралов.
24.Криволинейные интегралы первого рода. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Определение. Вычисление, свойства.
25.Криволинейные интегралы второго рода. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Определение. Вычисление, свойства. Приложения криволинейных интегралов первого рода.
26.Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
19
27. Приложения криволинейные интегралы второго рода. Отыскание потенциала векторного поля.
9. Примеры практических заданий для подготовки к коллоквиуму
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
x 12cost 5sint; |
y 5cost 12sint. |
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
x acos3 t; |
y asin3 t. |
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
4 cos( |
|
) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
6 |
|
6 |
3 |
|
|||
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
acos .
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
sin2 |
|
(справа от луча |
|
). |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
asin3 (площадь одной петли).
20
7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
2cos 1 (вне круга 1).
8.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y =2x + 1, y =1 – 2x, y = 0
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
y |
16 |
|
y 17 x2 |
(1четверть) |
|
x2 |
|||||
|
|
x2 y2 4 |
|
||
xy 20 |
(1четверть). |
||||
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
xy 4 2 |
x2 6x y2 0 |
y 0 |
x 4. |
|||||||||||
11. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
||||||||||||||
|
y lnsinx |
от x |
|
до x |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|||
12. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
||||||||||||||
|
|
y |
x2 |
|
от x 0 до x 1. |
|
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
||||||||||||||
y 1 lncosx от |
x 0 |
до x |
|
. |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
14. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
||||||||||||||
x |
t3 |
t |
|
y t2 2 |
от t 0 до t 3. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
15. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
|
|
|
|||||
x et cost |
y et sint |
от t 0 до t ln . |
||||||
16. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
|
|
|
|||||
x 8sint 6cost |
y 6sint 8cost |
от t 0 |
до t |
. |
||||
|
||||||||
17. Вычислить длину дуги плоской кривой: |
2 |
|
||||||
|
|
|
||||||
x 9(t sint) |
y 9(1 cost) |
(длину одной арки циклоиды) |
||||||
.
18.Вычислить длину дуги плоской кривой:
1 cos .
19.Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox:
y |
64 |
|
x2 8y. |
|
|||
|
x2 16 |
|
|
20. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox:
y |
x2 |
|
y |
x2 |
. |
|
|
||||
2 |
|
8 |
|
||
21.Изменить порядок интегрирования
3 
4 x2 0 2 
4 x2
dx |
f (x, y)dy dx |
f (x, y)dy |
|||
2 |
0 |
|
3 |
|
0 |
22. Найти массу пластины, заданной неравенствами
D: 1 |
x2 |
y |
2 |
4; |
M |
8y |
y 0; |
y |
x |
|
|
x2 |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
23. |
Найти объем тела V : |
x y 8; |
y |
|
4x |
|||||||||
|
|
|
|
z 2y, |
x 0 |
|
|
|||||||
24. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4xy x3 y3)dxdy, где |
D: |
|
|
|
|
|
x 1, |
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
y |
|
x, |
y x |
(x 0) |
||||||||||
D |
|
|
|
|
||||||||||
25. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями |
|||||||||||||
|
y = x, |
y = 5x, |
x = 1 |
|
|
|
||||||||
26. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12x2 y2 16x3y3 dxdy, |
|
D: x 1, y x2, y |
|
|||||||||||
|
x |
|||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8xy 9x2 y2 dxdy, |
x 1, y 3 |
|
, y x3 |
||||||||||
|
x |
|||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
Вычислить |
|
|
|
3x 4y dxdydz,V : y x, y 0, x 1, |
z 5 x2 y2 , z 0 |
|||
V |
|
|
|
|
29. |
Найти объем тела |
|
|
|
|
x2 y2 4x 0, |
z 8 y2, |
z 0. |
|
23
30. Вычислить криволинейный интеграл
x y dx y z dy z x dz
L
по L от точки А(1,2,3) до В(5,4,7)
31. Вычислить криволинейный интеграл
(x y)dx (x y)dy, |
где |
c |
|
C:x Rcost, у Rsint, |
|
окружность, пробегаемая против часовой стрелки. |
|
10.Задания для подготовки к контрольной работе №2
1: Найти решение дифференциального уравнения
|
2 |
|
dy |
2 |
|
|
|
|
4 x |
|
x y x |
|
0 |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
удовлетворяющее начальному условию |
у(2)= 0. |
||||||
2. Найти общее решение дифференциального уравнния
x |
d |
y |
|
|
3 y3 6 y x2 |
|
|
2 y2 3x2 |
|||
|
dx |
||||
24
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
y x y 2. 2x 2
4. Решить задачу Коши
d |
|
y |
y |
|
|
ex(x 1) |
|
x 1 |
|
||||||
dx |
|||||||
|
|||||||
|
, |
||||||
где у(0)=1.
5. Найти общий интеграл дифференциального уравне-
ния
y2 y sec(x)2 dx (2x y tg(x))dy 
0
6.Найти общий интеграл дифференциального уравне-
ния:
|
2 |
|
2 |
|
2x |
2x |
2x |
|||
(3x |
|
|
|
cos |
|
)dx |
|
cos |
|
dy 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
y |
y2 |
y |
||||
7. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
y = 2x.
8 . Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
xy(IV) + y = 0.
9. Найти решение задачи Коши
y'' 128y3; y(0) 1; y'(0) 8.
25
10. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
y''' 3y'' 2y' (1 2x)ex.
11. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
y'' 4y' 4y e2x sin6x.
12. Найти общее решение дифференциального уравне-
ния
y'' y 2sin x 6cosx 2ex.
13. Решить уравнение
y y 1 . cosx
методом вариаций произвольных постоянных.
11.Вопросы для подготовки к экзамену
1.Задача Коши. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения.
2.Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения.
3.Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
4.Однородные дифференциальные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным.
5.Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.
6.Уравнения в полных дифференциалах.
7.Интегрирующий множитель
8. Условие Липшица. Теорема Пикара.
9. Задача Коши для дифференциального уравнения n-
26
го порядка. Задача Коши. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения
10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейно зависимые и линейно независимые системы решений, фундаментальные системы решений. Определитель Вронского.
11. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.
13. Метод вариаций произвольных постоянных. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.
15. Уравнения, допускающие понижение порядка.
16. Основные понятия теории систем дифференциаль-
ных уравнений. Приведение дифференциального уравнения
высшего порядка к нормальной системе. Метод исключения
неизвестных. Метод интегрируемых комбинаций.
17. Основные свойства решений системы линейных
дифференциальных уравнений. Пространство решений. Фун-
даментальная система решений. Структура общего решения.
Формула Остроградского–Лиувилля и ее следствия.
18.Метод Лагранжа вариаций произвольных постоянных для линейной неоднородной системы.
19.Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
27