Учебное пособие 265

Лекция 28. Первообразная, теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям.

Лекция 29. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичныемножители. Разложение правильных дробей на простейшие дроби. Интегрирование простейших дробей и рациональных функций.

Лекция 30. Интегрирование некоторых иррациональностей. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

Лекция 31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Лекция 32. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций. Свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке определенного интеграла и теорема о среднем.

Лекция 33. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле.

Лекция 34. Несобственные интегралы. Признаки сходимости. Примеры использования несобственных интегралов Лекция 35. Некоторые физические и геометрические

приложения определенного интеграла.

Лекция 36. Двойные интегралы. Определение, свойства и условия существования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

8

Лекция 37. Двойные интегралы в полярных координатах. Применение двойных интегралов.

Лекция 38. Тройные интегралы. Цилиндрические и сферические координаты. Применение тройных интегралов.

Лекция 39. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Свойства. Геометрические и физические приложения.

Лекция 40. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Отыскание потенциала векторного поля.

Лекция 41. Поток и циркуляция векторного поля. Интегральные теоремы теории поля.

Лекция 42. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Некоторые свойства основных классов векторных полей.

Лекция 43. Понятие меры, измеримые функции и их свойства.

Лекция 44. Абстрактный интеграл Лебега и его свой-

ства.

Самостоятельное изучение. 1)Применение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

2)Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Геометрические и физические приложения.

Раздел 5. Дифференциальные уравнения ( 20).

Лекция 45. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Метод изоклин.

9

Лекция 46 Примеры составления дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными. Од- нородные дифференциальные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным.

Лекция 47. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения.

Лекция 48. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Общее, частное решение. Теорема о существовании и единственности решения. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Лекция 49.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейно зависимые и линейно независимые системы решений, фундаментальные системы решений. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Линейные одно-

эффициентами со специальной правой частью. Метод вариаций произвольных постоянных.

Лекция 51. Основные понятия теории систем дифференциальных уравнений. Приведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе. Метод исключения неизвестных. Метод интегрируемых комбинаций.

Лекция 52. Системы линейных дифференциальных уравнений. Основные свойства решений. Пространство решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

10

Лекция 53. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

Лекция 54. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений Структура общего решения. Метод Лагранжа вариаций произвольных постоянных для линейной неоднородной системы.

Самостоятельное изучение темы:1) Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

2). Фазовая плоскость и фазовая траектория нормальной системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Фазовое пространство.

Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1. Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М., 1987.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М., 2001. Т.1.2.3.

3.Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М:. МЦНМО, 2002 г.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2: Учебное пособие для втузов. – М: Наука, 2001. – 560 с.

5.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:" Наука", 1970

6.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:" Наука", 1970.

11

7. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратов Т.В. «Дифференциальные уравнения»/ Под редакцией Зарубина В.С.- издание №3 , Москва МГТУ им. Н .Э. Баумана, 2004.

б) дополнительная литература:

1.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа /под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., 1987. Ч.I и II.

2.Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г., Позняк М., 1980. Ч.1,2.

3.Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / Л.Е. Данко, А.П. Попов М., 1986. Ч. I и II.

4.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: «Высшая школа», 2002.

5.Кисилев Л.И. и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., "Высшая школа", 2001.

6.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

7.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:"Ижевск НИЦ ", 2004.

8. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. – 464 с.

9.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2007. – 432 с.

10.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учебное пособие для втузов / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368 с.

12

в) методическая литература:

.

1. Методические указания к решению прикладных задач / сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская, Е.Н. Провоторова.

2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. – СПб: Лань, 2007 – 240 с.

3. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты. – СПб: Лань, 2007. – 192 с.

4. Провоторова Е.Н. «Дифференциальные уравнения первого порядка». Учебное пособие. ВГТУ, магнитный носитель 4,6 изд.листа. 18.04.2011.

5. Контрольные мероприятия.

Четкая организация изучения дисциплины «Математический анализ» основана на правильном сочетании аудиторных учебных занятий, продуктивной самостоятельной работе студентов и систематическом контроле, играет основополагающую роль в глубоком математическом образовании современного студента. Исходя из этих принципов, рекомендуются следующие контрольные мероприятия, обеспечивающие систематическую работу студентов и ее контроль в течение семестра и, в совокупности, охватывающие почти весь материал этой дисциплины.

II семестр

1.Типовой расчет № 1 «Неопределенные и определенные интегралы» (выдача 3-я неделя, прием 10 неделя).

13

Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М.: 2007.

2.Контрольная работа № 1 «Неопределенный интеграл» (7-ая неделя).

3.Коллоквиум «Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных » (12-ая неделя).

4.Контрольная работа № 2 « Дифференциальные уравнения первого порядка» (16-ая неделя).

5.Типовой расчет № 2 «Дифференциальные уравнения» (выдача 13-ая неделя, прием 15 неделя).Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М.: 2007.

6.Прием отчета по самостоятельной работе (17-ая неделя).

7.Экзамен.

6. Рекомендации по самостоятельному изучению разделов курса

Тема 1. Применение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

1). Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М.: МЦНМО, 2002. Гл.6, п.4,стр.436.

2). Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: 1987. Гл.1, п.3, стр. 32.

3). Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.Т.1. М.: Наука, 2005. Гл.12, п. 8.

4). Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: 2001. Гл.10. п.1.

Тема 2. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Геометрические и физические приложения.

1. Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: 1989. Гл 5 ,п.44.

14

2.Фихтенгольц Г.М. Основы дифференциального и интегрального исчисления, Т.2.. М.: Лань 2002, Гл.20, п.2.334, стр.228.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Т.1. М.: Наука, 2005. Гл.15, п.2.

Тема 3. Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратов Т.В. «Дифференциальные уравнения»/ Под редакцией Зарубина В.С.- издание №3 , Москва МГТУ им. Н .Э. Баумана, 2004:, Гл. 9 пар .2.8 .

7. Задания для подготовки к контрольной работе №1

1.Вычислить интегралы:

15