МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

А. Б. Кущев, С. С. Сумера, В. А. Шаруда

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенный и определенный интеграл

Учебно-методическое пособие

Воронеж 2021

Введение

Со времен Ньютона методы математического анализа сначала в науке, а затем и в технике все шире и глубже используются по мере их развития. Вы уже овладели началами математического анализа, важнейшей операцией которого является дифференцирование. Теперь мы будем заниматься обратной к ней операцией интегрированием, которая, как и любая обратная операция, гораздо сложнее (например, извлечение корня существенно сложнее возведения в степень и приводит к иррациональным и комплексным числам) и, кроме разработки различных методов интегрирования, тоже выводит за привычные рамки элементарных функций. Кроме того, на практике громадное количество приложений при решении геометрических и физических задач связано с введением сначала определенного интеграла Римана, а затем его обобщения как по увеличению размерности (двух и трехмерного), так и по «направлению» множества, по которому берутся интегралы (кривые вместо отрезков, поверхности вместо плоских областей). Естественно, при этом потребовалось распространить математический анализ на функции двух и большего количества переменных.

В первой главе изучается неопределенный интеграл от функции одной переменной, и излагаются основные методы интегрирования, но вы должны быть готовы к тому, что в отличие от операции дифференцирования, здесь требуется хорошее знание алгебры и тригонометрии. Во второй главе, для нахождения площади криволинейной трапеции, вводится определенный интеграл Римана, и рассматриваются его основные геометрические и физические приложения. Но основное, что желательно понять и научиться применять – это дифференциальный метод (§6 гл. 2). Суть метода в том, что считается дифференциал интересующей нас глобальной величины, причем он вычисляется очень грубо: кривые заменяются отрезками прямых (их линейной частью), а если в качестве множителя присутствует дифференциал независимой переменной, то интегральные функции можно считать постоянными на этом маленьком кусочке; но при переходе к интегралу, ответ получается (и это следует подчеркнуть) абсолютно точным.

В конце главы рассматриваются обобщения интеграла Римана на бесконечный отрезок интегрирования (несобственный интеграл первого рода), и на случай бесконечного разрыва функций (несобственный интеграл второго рода), а в последнем параграфе рассмотрены приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Усвоение понятий, методов интегрирования и многочисленных приложений определенных интегралов потребует значительных усилий. Успеха вам!

3