Методическое пособие 521

y4(x) 0,9991 1,0183x 0,4212x2 0,2786x3 .

Это решение оказывается более точным, чем y3, что хорошо видно из таблицы, в которой представлены значения данных функций и точного решения yточн(x) ex .

Пример. Решить уравнение

x

y(x) 1 e x 3 sh(x t)y(t)dt . 2 0

Порядок решения в системе Maple

Составим программу, реализующую метод взвешенных невязок и обладающую достаточной универсальностью, чтобы она выполнялась в зависимости от значения переменной m – числа параметров аппроксимации.

>restart;Digits:=20;

>f:=x->-1+exp(-x); K:=(x,t)->sinh(x-t); lambda:=-3/2; a:=0;b:=2.;

>m:=3; alpha:=vector(m);

Записываем аппроксимацию в виде (7.9) с базисными функциями Ni(x) = xi–1:

>z:=x->(f(x)+sum(alpha[j]*x^(j-1),j=1..m));

Вводим невязку и весовые функции

>R1:=z(x)-f(x)-lambda*int(K(x,t)*z(t),t=a..x);

>W:=[x^(k-1)$k=1..m];

Составляем уравнения взвешенных невязок

> for i from 1 to m do g[i]:=int(R1*W[i],x=a..b); od;

170

Решаем систему

>r:=solve({g[k]$k=1..m},{alpha[k]$k=1..m});

>r1:=evalf(r);

>phi:=unapply(subs(r1,z(x)),x);

Эта функция и есть приближенное решение задачи. Чтобы дать оценку погрешности, сначала найдем точное решение, для чего воспользуемся преобразованием Лапласа в силу того, что данное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода есть уравнение типа свертки.

> r1:=inttrans[laplace](y(x)=f(x)+ lambda*int(K(x,t)*y(t),t=a..x),x,p); r2:=inttrans[invlaplace] (solve(r1,laplace(y(x),x,p)),p,x);

> u:=unapply(r2,x); # функция u(x) – точное решение

Далее – табулирование приближенного и точного решений, вывод их графиков (рис. 7.2) и вычисление нормы погрешности аппроксимации.

>plot([phi(x),u(x)],x=a..b,color=[red,blue], thickness=[2,2]);

>evalf(int((phi(x)-u(x))^2,x=a..b))^(1/2);

Для проверки сходимости достаточно перезапустить программу с несколькими различными значениями переменной m и проанализировать полученные данные.

171

x

Вариант 17. cos(x t)y(t)dt xsin x.

0

x

Вариант 18. (x t)2 y(t)dt x3 .

0

173

x

Вариант 19. (1 x t)y(t)dt 12e x sin x .

0 x

Вариант 20. ex t cos(x t)y(t)dt xex .

0

2. Решить уравнения Фредгольма 2-го рода методами последовательных приближений, конечных сумм и моментов. Проверить сходимость.

1

Вариант 1. y(x) 2x xty(t)dt.

0

Вариант 10. y(x) x sin(x 2t)y(t)dt .

174

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на то, что в пособии рассмотрены методы аппроксимации решения дифференциальных и интегральных уравнений, заданных только в одномерных областях, их основные идеи относительно легко могут быть распространены на дву- и трёхмерные задачи. Таким образом, приведенные здесь сведения позволяют сформировать представление об общих методах аппроксимации функций и служить начальным этапом для более глубокого изучения предмета.

Следует отметить, что в последние годы заметно повысился интерес к численным методам решения задач математической физики. Связано это в первую очередь с широким распространением недорогих высокопроизводительных компьютеров, что сделало доступным моделирование физических процессов весьма широкого класса. При снятии ограничений на вычислительные ресурсы наиболее эффективными оказались методы, основанные на аппроксимации базисными функциями, отличными от нуля в некоторых сравнительно небольших подобластях, принадлежащих всей области определения решения. Это направление привело к появлению метода конечных элементов и его многочисленных вариантов. Данный метод, являющийся по сути вариационноили проекционноразностным, в настоящее время стал стандартом численного анализа дифференциальных уравнений в частных производных. На основе метода конечных элементов созданы мощные программные комплексы для компьютерного моделирования процессов как узкоспециализированные, так и мультифизичные.

175

13.Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление [Текст]: учебник. – Изд. 5-е / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 320 с.

14.Кострюков, С.А. Основы вариационного исчисления [Текст]: учеб. пособие / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин. – Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. – 158 с.

15.Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование [Текст]: учеб. пособие для студентов втузов /

Ю.П. Боглаев. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.

16.Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н.Н. Ка-

литкин. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

17.Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст] / Н.С. Бахвалов. – М.: Наука, 1975. – 632 с.

18.Поршнев, С.В. Вычислительная математика. Курс лекций [Текст] / С.В. Поршнев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

–320 с.

19.Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. [Текст] / под общ. ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. – М.:

Изд-во физ.-мат. лит., 2002. Ч. 3. – 576 с.

20.Дьяконов, В.П. Maple 7: учебный курс [Текст] / В.П. Дьяконов. – СПб: Питер, 2002. – 672 с.

21.Кетков, Ю.Л. MATLAB 7: программирование, численные методы [Текст] / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.

22.Алексеев, Е.Р. Решение задач вычислительной мате-

матики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 (Самоучи-

тель) [Текст] / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.

23.Мэтьюз, Дж. Г. Численные методы. Использование MATLAB [Текст] / Дж. Г. Мэтьюз, К.Д. Финк. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2001. – 720 с.

177

7. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . . . . . . 153 7.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.2. Метод последовательных приближений . . . . . . . . . 154 7.3. Операционный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.4. Численные методы решения интегральных

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.4.1. Метод конечных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.4.2. Метод взвешенных невязок . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. . . . . . . . . . . . . . . . . 176

179