2.2. Оптимизация заданной металлической рамы на стадии пластического деформирования

1. Назначение расчётных сечений (см. п. 1.2), где возможно образование пластических шарниров представлено на рис. 9. Кружками выделены четыре узла расчётной схемы (здесь узлом считается место объединения не менее двух расчётных сечений).

Рис. 9. Назначение расчетных сечений и узлов по расчетной схеме рамы

2. Назначение основных параметров задачи:

k = 6 – степень статической неопределимости рамы; n = 15 – число расчётных сечений;

m = n – k = 9 – число степеней свободы.

3. Выбор целевой функции. В теоретических интересах сравнения эффективности оптимизации поставленную задачу можно решить для двух вариантов целевой функции:

Вариант I (основной), когда число оптимизируемых параметров, т. е. искомых предельных моментов в целях унификации сечений стоек и ригелей s = 2. В этом случае целевая функция (2´) запишется в виде:

Z2 = Mo1lст + Mo2lриг min, (I)

где Mo1, Mo2 - искомые оптимальные предельные моменты стоек и ригелей, а lст = 20 м, lриг = 19 м - суммы длин стоек и ригелей соответственно.

Вариант II (дополнительный), когда s = 7 - число оптимизируемых параметров, т. е. искомых предельных моментов назначается без требования унификации сечений стоек и ригелей и могут принимать различные значения в назначенных ниже стержнях рамы (j = 1…7) - стойка 1-2-3 длиной l1 = 8 м;

Здесь цифрами обозначены номера расчётных сечений принадлежащие соответствующим элементам.

При этом целевая функция (2´) примет вид:

где Moi, - искомые оптимальные предельные моменты расчётных сечений (i = 1… s=7).

4. Формирование матрицы коэффициентов уравнений равновесия и век-

тора нагрузок. Матрица А коэффициентов уравнений равновесия (5) имеет размерность mxn, т. е. число строк равно числу степеней свободы (числу уравнений равновесия), число столбцов равно числу расчётных сечений. Уравнения равновесия состоят из уравнений равновесия узлов по изгибающим моментам, уравнений равновесия стержней стоек и ригелей.

Уравнения равновесия узлов. Для их составления в четырех узлах вводятся приложенные к сечениям стержней неизвестные изгибающие моменты, которые направляются против часовой стрелки (Рис. 10).

Узел 1: М3 + М4 + М5 = 0.Узел 2: М7 + М8 = 0.

Узел 3: М9 + М10 + М11 = 0.Узел 4: М13 + М14 + 12 = 0.

Рис. 10. Формирование четырех уравнений равновесия узлов

Уравнения равновесия стержней. Для их составления используется принцип возможных перемещений. Т.е. с ним составляется сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях отвечающих механизму пластического разрушения стержня и приравнивается к нулю. Возможное перемещение от действия нагрузки принимается равным единице. При этом независимо от наличия горизонтальной составляющей нагрузки обязательно должны быть рассмотрены возможные горизонтальные смещения ригелей.

19

Правила знаков: моменты по концам стержня (участок между узлами) принимаются направленными по часовой стрелке; слагаемое в уравнении работ принимается положительным, если возможный поворот механизма разрушения совпадает с направлением момента, в противном случае - со знаком минус.

Стержень 5-6-7, уравнение 5: 1/4 М5 + (1/4+1/2) М6 - 1/2 М7 + 20 1 = 0.

Стержень 12-10, уравнение 6: (1/4+1/2) М12 - 1/2 М10 + 18 1 = 0.

Стержень 4 (консоль), уравнение 7: - 1/1 М4 + 20 1 = 0.

Рис. 11. Графические представления для записи уравнений равновесия стержней

20

Ригель 2-3-8-9, уравнение 8: -1/4 М2 + 1/4 М3 + 1/4 М8 + 1/4 М9 - 15 1 = 0.

Ригель 1-2-3-8-9-11-14-15, уравнение 9:

1/4 М1 + (1/2+1/2) М2 - 1/4 М3 - 1/4 М8 -1/4 М9 + + 1/4 М11 + 1/4 М14 + 1/4 М15 + 35 1 = 0.

Рис. 12. Графические представления для записи уравнений равновесия ригелей

Полученные уравнения равновесия (рис. 11,12) оформляются в виде матрицы коэффициентов A размерности mхn и вектора нагрузок F.