Методическое пособие 504
.pdf1.8. Ранг матрицы |
|
|
|
Если в матрице взять какие-либоk строк и столбцов и |
|||
составить определитель из элементов, которые окажутся на их |
|||
пересечении, то этот определитель называется миноромk-го |
|||
порядка данной матрицы. |
|
|
|
Из строк |
и столбцов матрицы можно составить |
||
определители |
различных |
порядков, не |
превышающих |
наименьшего из чисел т или п. |
|
|
|
Рангом r матрицы называют наибольший из порядков |
|||
определителей этой матрицы, отличных от нуля. |
|
||
Матрицы, |
имеющие одинаковый ранг, называются |
||
эквивалентными. |
Эквивалентность матриц |
обозначается |
|
знаком ~ между ними. Элементарными |
преобразованиями |
называются такие преобразования, при |
которых миноры |
матрицы либо не меняют своей |
величины, либо, меняя |
|
||
величину, не обращаются в нуль. |
|
|
|
|
Элементарные преобразования матриц позволяют: |
|
|||
1. Переставлять |
местами |
между |
собой |
строки |
(столбцы). |
|
|
|
|
2.Прибавлять к какой-либо строке(столбцу) другую строку (столбец), умноженную на любое число.
3.Умножать строку (столбец) на число, отличное от
нуля.
4.Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних
нулей.
Элементарные преобразования позволяют получить матрицу, эквивалентную исходной, для которой легко установить ранг.
Для этого необходимо с помощью элементарных преобразований привести исходную матрицу к диагональному виду
41
çæa11 |
a12 |
a13 |
K a1k |
K a1n ÷ö |
|
|
ç 0 a22 a23 |
K a2k |
K a2n ÷ |
|
|||
ç |
0 |
0 |
a33 |
K a3k |
÷ |
, |
ç |
K a3n ÷ |
|||||
ç |
M |
M |
M |
O M |
O M ÷ |
|
ç |
0 |
0 |
0 K akk |
÷ |
|
|
è |
K amn ø |
|
||||
где а ij = 0 при i >j; |
а ij ¹ 0 при i=j. |
|
|
|||
Ранг этой матрицы равен k, так как она имеет отличный от нуля определитель k-го порядка.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.
Теорема о базисном миноре. Если матрица имеет отличный от нуля минор порядка k, а все миноры порядка k+1, содержащие данный минор(окаймляющие миноры), равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Метод окаймляющих миноров. Находим минор второго порядка отличный от нуля, если такой существует, и вычисляем окаймляющие его миноры третьего порядка, пока не найдем среди них отличного от нуля и т. д.
Если найден отличный от нуля минор порядкаk, то вычисляем окаймляющие миноры k+1 порядка. Если все они равны нулю или таких миноров вообще нет (в случае, когда
матрица содержит k столбцов |
или k строк), то ранг матрицы |
|||
равен k, иначе этот процесс продолжаем. |
|
|
||
8.1. Найти ранг матрицы |
|
|
|
|
æ2 |
1 |
4 |
1 |
ö |
ç |
0 |
3 |
|
÷ |
A = ç1 |
-1÷. |
|||
ç |
2 |
11 |
1 |
÷ |
è5 |
ø |
|||
Решение. Поскольку минор второго порядка
2 1
2= -1 ¹ 0,
10
аоба окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю=M
42
|
|
|
2 |
|
1 |
4 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 0 3 |
= 0, |
1 0 -1 |
= 0, |
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
2 |
11 |
|
|
|
5 |
|
2 |
1 |
|
|
|
||||
то ранг матрицы А равен двум, а базисным минором является, |
||||||||||||||||||||
например, M2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. Найти ранг матрицы: |
æ 3 |
-1 |
1 |
5 ö |
||||||||||||||||
æ2 |
2 |
-1 |
|
|
8 |
|
|
1ö |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
7 |
|
5 |
÷ |
|||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç 1 |
|
-1÷ |
|||||
а) ç7 4 - 2 1 5÷ , б) |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ . |
||||||||||||
ç |
|
-1 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
-1 |
4 |
|
2 |
- 3÷ |
||||
è4 2 |
- 2 3ø |
|
|
ç |
7 |
1 |
|
7 |
÷ |
|||||||||||
Решение. а) Переставим |
è |
|
9 ø |
|||||||||||||||||
|
первый |
и |
второй столбец |
|||||||||||||||||
местами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ2 2 -1 8 1ö æ2 2 -1 8 1ö |
||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
||
ç7 4 - 2 1 5÷ ~ |
ç4 7 - 2 1 5÷ ~ |
|||||||||||||||||||
ç |
4 2 |
|
-1 - 2 3 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|||||||||
è |
|
ø è2 4 - |
1 - 2 3ø |
|||||||||||||||||
Чтобы иметь дело с меньшими числами, умножим |
||||||||||||||||||||
первый столбец на |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
æ1 |
2 |
-1 |
8 |
1ö |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
7 |
- 2 |
1 |
÷ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ ç2 |
5÷ ~ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
è1 4 -1 - 2 3ø |
|
|
|||||||||||
Первую |
|
строку |
|
|
прибавляем |
ко второй и ,третьей |
||||||||||||||
умножая при этом ее на (-2) и (-1), соответственно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
2 |
-1 |
|
8 |
1ö |
|
|||||||
|
|
|
|
|
~ çç |
0 3 0 -15 3÷÷ ~ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
2 |
0 |
|
-10 |
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
2ø |
|
||||||||||
Умножим вторую строку на |
|
|
1 |
, получим |
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
43
æ1 |
2 |
-1 |
8 |
1 |
ö |
|
~ çç |
0 |
1 |
0 |
- 5 |
1 ÷÷ ~ |
|
ç |
0 |
2 |
0 |
-10 |
2 |
÷ |
è |
ø |
|||||
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим ее к
третьей строке |
|
|
|
|
|
|
æ1 |
2 |
-1 |
8 |
1ö |
~ |
|
~ ç |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
0 |
1 |
0 |
- 5 |
÷ |
|
è |
1ø |
|
||||
Отсюда видно, что ранг матрицы равен r = 2. б) Поменяем местами первую и вторую строку
æ |
3 |
-1 1 |
5 ö |
|
æ |
1 |
7 |
5 |
-1ö |
|
|||
ç |
|
7 |
5 |
|
÷ |
|
ç |
|
-1 1 |
|
÷ |
|
|
ç 1 |
-1÷ |
~ |
ç 3 |
5 ÷ |
~ |
||||||||
ç |
-1 4 |
2 |
|
÷ |
ç |
-1 4 |
2 |
|
÷ |
||||
ç |
- 3÷ |
|
ç |
- 3÷ |
|
||||||||
ç |
7 |
1 |
7 |
9 |
÷ |
|
ç |
7 |
1 |
7 |
9 |
÷ |
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||||
Умножим первую строку на 3 и вычтем из второй, затем прибавим ее к третьей, а к четвертой прибавим первую строку, умноженную на (-7)
|
æ1 |
7 |
5 |
|
-1 |
ö |
|
|
|||||
|
ç |
|
- 22 |
-14 |
|
8 |
÷ |
|
|
||||
~ |
ç0 |
|
÷ |
~ |
|
||||||||
ç |
0 |
11 |
7 |
|
- 4 |
÷ |
|
||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
||||||||
|
ç |
0 |
- 48 |
- 28 |
|
16 |
÷ |
|
|
||||
|
è |
|
ø |
|
|
||||||||
Умножим вторую строку на ( - |
|
1 |
), а четвертую на |
1 |
|||||||||
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||
|
æ1 |
7 |
5 |
-1ö |
|
|
|
||||||
|
ç |
|
|
11 |
7 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
~ |
ç0 |
- 4÷ |
~ |
|
|
||||||||
ç |
0 |
11 |
7 |
- |
4 |
÷ |
|
|
|||||
|
ç |
÷ |
|
|
|
||||||||
|
ç |
0 |
-12 |
- 7 |
4 |
|
÷ |
|
|
|
|||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|||||||
Поменяем местами второй и четвертый столбец
44
|
|
æ1 |
|
|
-1 |
5 |
|
7 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ç |
|
|
|
|
- 4 |
7 |
|
11 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
ç0 |
|
|
|
÷ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
0 |
|
|
- 4 |
7 |
|
11 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
0 |
|
|
4 |
- 7 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
è |
|
|
|
-12ø |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Умножим |
второй столбец |
на (- |
|
) и |
вычтем вторую |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
строку из третьей, а к четвертой ее прибавим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
æ |
1 |
|
1 |
|
|
5 |
7 |
ö |
æ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
5 7 |
ö |
||||
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||
ç |
|
|
|
|
7 |
11 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||
~ ç |
0 1 |
|
|
÷ ~ ç |
0 1 7 11 |
÷ ~ |
||||||||||||||||
ç |
0 1 |
|
|
7 |
11 |
÷ |
ç |
0 0 0 0 |
÷ |
|||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
0 -1 - 7 |
- 22 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||
è |
ø |
è |
0 0 0 -1ø |
|||||||||||||||||||
Вычеркнем третью строку и поменяем местaми третий |
||||||||||||||||||||||
и четвертый столбец |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
æ |
1 |
|
|
1 |
5 |
7 |
ö |
æ |
1 |
1 |
|
|
|
7 |
5 |
ö |
|
||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
~ |
||||||
~ ç |
0 1 7 11 |
÷ |
~ ç |
0 1 11 7 |
÷ |
|||||||||||||||||
|
ç |
0 0 0 |
|
÷ |
ç |
0 0 -1 0 |
÷ |
|
||||||||||||||
|
ç |
-1÷ |
ç |
÷ |
|
|||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
Отсюда следует, что ранг матрицы r = 3.
1.9. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим |
систему т |
линейных уравнений сп |
|||||||||
неизвестными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìa11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn |
= b1; |
||||||||||
ï |
|
|
+ a22 x2 |
+ ... + a2n xn |
|
= b2 ; |
|||||
ïa21x1 |
|
||||||||||
í |
|
|
M |
|
|
|
O |
OM |
|||
ï |
|
|
|
|
|
||||||
ïa |
m1 |
x + a |
m2 |
x |
2 |
+ ... + a |
mn |
x |
n |
= b . |
|
î |
1 |
|
|
|
|
n |
|||||
45
Введем в рассмотрение матрицу системы
çæ a11 |
|
a12 |
K a1n ÷ö |
||||
A = ç a21 |
|
a22 |
K a2n ÷ |
||||
ç |
M |
|
M |
O |
M |
÷ |
|
ç |
|
|
am2 |
|
|
÷ |
|
èam1 |
|
K amn ø |
|||||
и расширенную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
çæ a11 |
a12 |
K a1n b1 ÷ö |
|||||
ç a21 |
a22 |
K a2n b2 ÷ |
|||||
B = ç |
|
|
M |
O |
M |
M |
÷. |
ç M |
|
÷ |
|||||
ça |
m1 |
a |
m 2 |
K a |
mn |
b |
÷ |
è |
|
|
n |
ø |
|||
|
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система |
|
||||
была |
совместна, |
необходимо и достаточно, чтобы ранг |
|
|||
матрицы А системы равнялся рангу расширенной матрицыВ, |
|
|||||
т. е. r (А) = r (В). |
|
|
|
|
|
|
|
Система называется несовместной, если она |
не имеет |
|
|||
ни одного решения. В этом случае ранг матрицыА меньше |
|
|||||
ранга матрицы В. |
|
|
|
|
|
|
|
Совместная система называется определенной, если она |
|
||||
имеет единственное решение, и неопределенной, если решений |
|
|||||
более одного. Совместная система будет определенной, если |
|
|||||
ранг |
системы |
равен |
числу |
неизвестных, . е. |
r(А)= n |
|
неопределенной, |
если |
ранг |
системы |
меньше |
числ |
|
неизвестных, т. e. r(А) < п. |
|
|
|
|
||
|
Если все свободные члены равны нулю b1, b2, …, bn = 0, |
|
||||
то система линейных уравнений называетсяоднородной и |
|
|||||
всегда совместна. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть, в |
общем случае, ранг совместной системы |
|
|||
меньше числа неизвестных или числа уравненийr < (n, v, m), |
|
|||||
причем базисный минор располагается вr строках и столбцах |
|
|||||
матрицы A . Эти r |
неизвестных |
x1, ... ,xr назовем базисными |
|
|||
неизвестными, a, хr+1,... ,хn назовем свободными неизвестными
и перенесем их в правую часть системы уравнений. Решая полученную систему уравнений(по формулам Крамера), определяем базисные неизвестные через свободные.
46
Придавая |
свободным |
неизвестным |
произвольные |
значения, находим, что решений у этой системы бесконечно |
|||
много. |
|
|
|
Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и r < т, то |
|||
выбираем из |
системы какие-нибудьr уравнений, |
матрица |
|
коэффициентов которых имеет ранг r.
Решение этих r уравнений будет являться решением и
остальных т – r уравнений системы. |
|
|
||||
Если же в этом случае |
r < |
|
п, то система имеет |
|||
бесчисленное множество решений. |
|
|
|
|||
9.1. Исследовать систему |
|
|
|
|
||
ìx1 + x2 - x3 = 5, |
||||||
ï2x + x |
2 |
+ 3x |
= 4, |
|||
ï |
1 |
|
3 |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
= 11, |
|
í2x1 + x2 - 4x3 |
||||||
ïx + 2x |
2 |
+ x = 4, |
||||
ï |
1 |
|
3 |
|
= 16. |
|
ï2x + 3x |
- 7x |
|
||||
î |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
Решение. Запишем расширенную матрицу системы |
||||||
|
æ1 |
1 |
-1 |
5 ö |
||
|
ç |
1 |
3 |
|
÷ |
|
|
ç2 |
|
4 ÷ |
|||
B = ç2 |
1 |
- 4 |
11÷ . |
|||
|
ç |
|
2 |
1 |
|
÷ |
|
ç1 |
|
|
4 ÷ |
||
|
ç |
|
3 |
- 7 |
÷ |
|
|
è2 |
|
16ø |
|||
Прибавим вторую строку к пятой, а третью к четвертой
47
æ1 |
1 |
-1 |
5 |
ö |
|
ç |
|
1 |
3 |
4 |
÷ |
ç2 |
÷ |
||||
B~ ç |
2 |
1 |
- 4 |
11 |
÷ . |
ç |
|
3 |
- 3 |
15 |
÷ |
ç3 |
÷ |
||||
ç |
4 |
4 |
- 4 |
20 |
÷ |
è |
ø |
||||
Разделим четвертую строку на3, а последнюю строку
на 4
æ1 |
1 |
-1 |
5 ö |
|
ç |
|
1 |
3 |
÷ |
ç2 |
4 ÷ |
|||
B~ ç |
2 |
1 |
- 4 |
11÷ . |
ç |
|
1 |
-1 |
÷ |
ç1 |
5 ÷ |
|||
ç |
1 |
1 |
-1 |
÷ |
è |
5 ø |
|||
Вычтем первую строку из четвертой и последней
æ1 |
1 |
-1 |
5 |
ö |
|
ç |
|
1 |
3 |
4 |
÷ |
ç2 |
÷ |
||||
B~ ç |
1 |
1 |
- 2 |
6 |
÷ . |
ç |
|
0 |
0 |
0 |
÷ |
ç0 |
÷ |
||||
ç |
0 |
0 |
0 |
0 |
÷ |
è |
ø |
||||
Вычеркнем четвертую и пятую строки
æ1 |
1 |
-1 |
5 |
ö |
|
ç |
|
1 |
3 |
4 |
÷ |
B ~ ç2 |
÷. |
||||
ç |
1 |
1 |
- 2 |
6 |
÷ |
è |
ø |
||||
Отсюда матрица системы
æ1 |
1 |
-1 |
ö |
|
ç |
|
1 |
3 |
÷ |
A ~ ç2 |
÷ . |
|||
ç |
1 |
1 |
- 2 |
÷ |
è |
ø |
|||
Найдем определитель последней матрицы
48
1 |
1 |
-1 |
|
1 |
1 |
-1 |
|
2 |
1 |
3 |
= |
2 |
1 |
3 |
= 1 ¹ 0. |
1 |
1 |
- 2 |
|
0 |
0 |
-1 |
|
Следовательно, r (А) = 3.
Ранг расширенной матрицы также равенr(B) = 3, поскольку только что рассмотренный определитель является минором расширенной матрицы. Следовательно, система совместна.
Для решения системы выберем, например, уравнения
ìx + x |
|
- x |
|
= 5, |
|
|
ï |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
í2x1 + x2 + 3x3 = 4, |
|
|||||
ïx + 2x + x = 4. |
|
|||||
î |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Решая систему |
по |
|
формулам Крамера, находим, |
что |
||
x1 = 3, x2 = 1, x3 = -1. Нетрудно |
убедится, что третье и |
пятое |
||||
уравнения при этих значениях неизвестных тождественно удовлетворяются.
9.2. Исследовать систему
|
ì2x + 2x + 8x - 3x + 9x = 2, |
|
||||||||||
|
ï |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
ï2x1 + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 = 2, |
|
||||||||||
|
íx + x + 3x - 2x |
4 |
+ 3x = 1, |
|
||||||||
|
ï |
1 2 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
||
|
ï3x + 3x + 5x - 2x + 3x = 1. |
|
||||||||||
|
î |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
Решение. Найдем ранг матрицы системы и ранг |
||||||||||||
расширенной |
матрицы |
|
системы. Для |
|
этого |
запишем |
||||||
расширенную матрицу системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
æ2 |
2 |
8 |
- 3 |
9 |
2 |
ö |
|
|||
|
|
ç |
|
2 |
4 |
|
-1 |
3 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
ç2 |
|
÷ |
|
|||||||
|
|
B = ç |
1 |
1 |
3 |
- 2 |
3 |
1 |
÷ . |
|
||
|
|
ç |
÷ |
|
||||||||
|
|
ç |
3 |
3 |
5 |
- 2 |
3 1 |
÷ |
|
|||
|
|
è |
ø |
|
||||||||
Вычтем |
из |
элементов |
|
|
первого |
столбца |
элементы |
|||||
второго столбца |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
æ0 |
2 |
8 |
- 3 |
9 |
2 |
ö |
|
|
ç |
|
2 |
4 |
-1 |
3 |
2 |
÷ |
B ~ |
ç0 |
÷ |
||||||
ç |
0 |
1 |
3 |
- 2 |
3 |
1 |
÷ . |
|
|
ç |
÷ |
||||||
|
ç |
0 |
3 |
5 |
- 2 |
3 |
1 |
÷ |
|
è |
ø |
||||||
|
æ2 |
8 |
- 3 |
9 |
ö |
|
|
ç |
|
|
|
3 |
÷ |
Матрица А системы будет A ~ |
ç2 4 -1 |
÷ |
||||
ç |
1 |
3 |
- 2 |
3 |
÷. |
|
|
ç |
÷ |
||||
|
ç |
3 |
5 |
- 2 |
3 |
÷ |
|
è |
ø |
||||
Разделим все элементы последнего столбца на 3 |
||||||
|
æ2 |
8 |
- 3 |
3ö |
||
|
ç |
|
4 |
-1 |
1 |
÷ |
|
ç2 |
÷ |
||||
A ~ |
ç |
1 |
3 |
- 2 |
1 |
÷ . |
|
ç |
÷ |
||||
|
ç |
3 |
5 |
- 2 |
1 |
÷ |
|
è |
ø |
||||
Прибавим третий столбец к четвертому |
||||||
|
æ2 |
8 |
- 3 |
0 |
ö |
|
|
ç |
|
4 |
-1 |
0 |
÷ |
A ~ |
ç2 |
÷ |
||||
ç |
1 |
3 |
- 2 |
1 |
÷ . |
|
|
ç |
÷ |
||||
|
ç |
3 |
5 |
- 2 |
1 |
÷ |
|
è |
ø |
||||
Отнимаем из последней строки третью |
||||||
|
æ2 |
8 |
- 3 |
0 |
ö |
|
|
ç |
|
4 |
-1 |
0 |
÷ |
A ~ |
ç2 |
÷ |
||||
ç |
1 |
3 |
- 2 |
1 |
÷ . |
|
|
ç |
÷ |
||||
|
ç |
2 |
2 |
0 |
0 |
÷ |
|
è |
ø |
||||
Рассмотрим определитель
|
2 |
8 |
- 3 |
|
1 |
4 |
- 3 |
|
1 |
3 |
- 3 |
|
M 33 = (-1)7 |
2 |
4 |
-1 |
= -4 |
1 |
2 |
-1 |
= -4 |
1 |
1 |
-1 |
= 0. |
|
2 |
2 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
50