Методическое пособие 504
.pdf
|
y +1 = - |
3 |
(x -3), 3x + 4 y -5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть х, у текущие координаты |
|
точки |
на |
искомой |
|||||||||||||||||||||||||||
прямой, |
тогда |
расстояние |
|
|
от |
|
|
этой |
|
точки |
до , прямо |
||||||||||||||||||||
проходящей через точку А, находится по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d = |
Ax + By + C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
сюда |
значениеd = 3 |
|
|
и |
|
коэффициенты |
||||||||||||||||||||||||
А,В,С, находим |
3 = |
|
3x + 4 y -5 |
|
или, раскрывая |
|
модуль, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15 = 3x + 4 y -5 и 15 = 3x - 4 y + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отсюда имеем 3x + 4 y - 20 = 0 и 3x + 4 y +10 = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4.6. Через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересечения |
||||||||||
2x - y + 3 = 0 и x + y - 2 = 0. |
|
|
|
|
|
провести |
|
|
|
|
прямую, |
||||||||||||||||||||
перпендикулярную прямой 3x - 4 y - 7 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
Пользуясь |
|
|
уравнением (9), |
|
запишем |
|||||||||||||||||||||||||
уравнение |
пучка |
|
|
прямых, проходящих |
|
|
|
через |
точку |
||||||||||||||||||||||
пересечения данных прямых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2x - y + 3 + l (x + y - 2) = 0 или (2 + l )x + (l -1) y + 3- 2l = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Угловой |
коэффициент |
пучка прямыхk = - |
2 + l |
, |
а |
угловой |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l -1 |
|
|
|
|||||
коэффициент перпендикулярной |
прямой k |
|
= |
3 |
. По |
условию |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 + l |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
перпендикулярности k = - |
, откуда |
= |
, а l =10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
l -1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя найденное значение l |
в уравнение |
пучка, |
|||||||||||||||||||||||||||||
получаем уравнение искомой прямой |
|
|
12х + 9 у -17 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.7. Даны две вершины треугольника А(-4;2) и В(2;-5) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
8 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
точка пересечения высот М ç |
|
|
|
; -2 ÷. Найти третью вершину С |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и расстояние ее от биссектрисы угла А.
111
Решение. По уравнению прямой, проходящей через две
точки A и В, находим |
|
y - 2 |
= |
x + 4 |
, |
y = - |
7 |
x - |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
-5 - 2 |
2 + 4 |
|
6 3 |
|
|
||||||
Используя |
условие |
перпендикулярности(7), из |
||||||||||
уравнения |
пучка |
|
прямых(8) |
находим |
уравнение |
перпендикуляра МС к прямой АВ, проходящего через точку М
|
6 |
æ |
8 |
ö |
|
6x - 7 y -30 = 0. |
|
(рис. 3.23) y + 2 = |
|
ç x - |
|
÷ |
, |
||
7 |
3 |
||||||
|
è |
ø |
|
|
Рис. 3.23
Уравнение перпендикуляра ВМ к прямой АС находим по уравнению прямой проходящей через две точки В и М
y + 5 |
= |
x - 2 |
, |
y = - |
9 |
x -14. |
|
-2 + 5 |
|
|
|||||
|
8 |
- 2 |
|
2 |
|
||
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что прямые АС и ВМ перпендикулярны (7), из уравнения пучкапрямых, проходящих через точку А, находим уравнение стороны АС
y - 2 = - 2 (x + 4), 2x + 9 y -10 = 0. |
|
9 |
|
Решая совместно уравнения прямых АС и МС, находим |
|
координаты точки C (5; 0). Подставляя уравнения сторон АВ и |
|
AC в формулу (12), находим уравнение биссектрисы угла А |
|
7x + 6 y +16 = - 2x + 9 y -10 , 3x + 5 y + 2 = 0. |
|
49 + 36 |
4 +81 |
Расстояние точки С |
от биссектрисы находим по |
формуле (11) |
|
112
d = 3×5 + 5×0 + 2 = 17 = 34 . |
||
- 9 + 25 |
34 |
2 |
4.8. Пересечение медиан в точке M (3;3), а x - y - 2 = 0
и 7x - y -8 = 0 - уравнения двух сторон треугольника. Найти уравнение третьей стороны.
Решение. Найдем точку пересечения известных сторон треугольника и обозначим ее за A (рис. 3.24)
|
|
|
|
|
Рис. 3.24 |
|
|
|||
|
ì x - y - 2 = 0, |
|
x =1, y = -1. |
|
Точка пересечения медиан |
|||||
|
í |
|
|
|||||||
|
î7x - y -8 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делит их в отношении 2:1, поэтому AM : MD = 2 :1, |
отсюда |
|||||||||
l = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = (1+ l)xM - xA |
= |
|
3×3 -1 |
= 4, y |
|
= (1+ l) yM - yA = |
3×3 +1 |
= 5. |
||
|
|
D |
|
|||||||
D |
l |
|
2 |
|
l |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
Координаты |
точек C и B |
удовлетворяют уравнениям |
|||||||
прямых AC и AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7xc - yc -8 = 0, и xB - yB - 2 = 0.
Точка |
D делит |
отрезок CB |
пополам xc + xB = xD = 8, |
|
yc + yB = 2 yD =10. |
|
|
|
|
Решая |
эти |
четыре |
уравнения |
относите |
xC , yC , xB , yB , |
находим координаты точек C и B : |
|
||
|
xC = 2, yC = 6, xB = 3, yB = 4. |
|
113
Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, находим уравнение прямой BC
y - 4 = x - 6 , x + 2 y -14 = 0.
6 - 4 |
2 - 6 |
|
|
|
||
4.9. Через точку |
æ |
|
5 ö |
провести прямую так, |
||
M ç |
-3; |
|
÷ |
|||
2 |
||||||
|
è |
|
ø |
|
чтобы середина |
ее отрезка между прямыми2x + y - 3 = 0 и |
|
|||||
2x + y - 5 = 0 лежала на прямой 2x - y -1 = 0 . |
|
|
|||||
Решение. |
Проведем |
параллельные |
прямые |
на |
|||
плоскости Oxy (рис. 3.25) и найдем точки пересечения A, B с |
|
||||||
третьей прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
Для этого решим системы уравнений |
|
|
|||||
ì2x + y -3 |
= 0, |
=1, yA =1; |
|
|
|||
í |
2x - y -1 |
xA |
|
|
|||
î |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
ì2x + y -5 |
= 0, |
|
3 |
|
|
|
|
í |
|
xB |
= |
, yB = 2. |
|
|
|
2x - y -1 |
|
|
|
||||
î |
= 0, |
2 |
|
|
|
Поскольку середина отрезка искомой прямой между
параллельными |
|
прямыми лежит |
на |
|
|
прямойAB , то из |
||||||
равенства треугольников ACN и BDN |
следует, |
что точка |
||||||||||
пересечения N |
|
делит |
прямуюAB |
пополам. |
Найдем ее |
|||||||
координаты |
|
xA + xB |
|
5 |
|
yA + yB |
|
3 |
|
|
||
xN |
= |
= |
, yN = |
= |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
4 |
|
|
2 |
2 |
|
|
Рис. 3.25
114
Подставляя координаты точекM и |
|
N |
уравнение |
|||||||||||||||||||
прямой, проходящей через две точки, получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
y - |
3 |
|
|
|
x - |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
4 |
|
, 8x + 34 y - 61 = 0. |
|
||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
- |
3 |
-3 - |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.10. |
Даны уравнения |
двух |
сторон |
|
параллелограмма |
|||||||||||||||||
2x + y + 9 = 0 |
и x - y - |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
7 |
|
7 ö |
|
||||||||
3 = 0 |
и точка |
M ç - |
|
, |
|
÷ |
пересечения |
|||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
его диагоналей. |
Составить уравнения |
двух других |
сторон |
параллелограмма. |
|
|
|
Решение. |
Поскольку |
заданные |
сторо |
параллелограмма не параллельны, то найдем точкуA их пересечения (рис. 3.26)
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.26 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ì2x + y + 9 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
í |
|
|
xA = -2, yA = -5. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
î x |
- y - 3 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Диагонали параллелограмма при пересечении делятся |
|||||||||||||||
пополам. Отсюда координаты точки C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
= 2x |
M |
- x |
A |
= -2 × |
7 |
+ 2 = -5, y |
C |
= 2 y |
M |
- y |
A |
= 2 × |
7 |
+ 5 =12. |
|
|
|
|||||||||||||||
C |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения прямых BC и CD находим из уравнения пучка прямых проходящих через точку C . Прямая BC параллельна
115
AD , угловой |
коэффициент которойk = -2 , |
следовательно |
|||||||||||||
y -12 = 2 (x + 5), 2x + y - 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Прямая |
CD |
параллельна AB , |
угловой |
коэффициент |
|||||||||||
которой |
k =1 , |
y -12 = x + 5, |
x - y +17 = 0. |
|
|
|
|
||||||||
4.11. Даны две вершины треугольника A (5;1), B (1;3) и |
|||||||||||||||
точка M (3; 4) |
пересечения |
его медиан. Составить |
уравнения |
||||||||||||
сторон треугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Построим |
заданные |
точки(рис. 3.27). |
|||||||||||||
Медиана |
проходит |
|
через |
точкуM |
и |
делит |
сторонуAB |
||||||||
пополам в точке D . Зная координаты точек A и B , находим |
|||||||||||||||
координаты точки D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = |
xA + xB |
|
= |
5 +1 |
|
= 3, y |
D |
= |
yA + yB |
= |
1+ 3 |
= 2. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
D |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.27 |
Рис. 3.28 |
|
||||
Известно, |
что |
в треугольнике, точка пересечения |
|||||
медиан |
делит их в |
отношении2 :1. Если обозначить |
за C |
||||
третью |
вершину |
треугольника, то будем иметь |
CM |
= |
2 |
= l . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
MD 1 |
|
Отсюда, по формулам деления отрезка в заданном отношении, имеем
x = |
xC + lxD |
, y |
M |
= |
yC + l yD |
. |
||
|
|
|||||||
M |
1 |
+ l |
1 |
+ l |
||||
|
|
Откуда xC = (1+ l )xM - lxD = 3×3 - 2 ×3 = 3, yC = (1+ l ) yM - l yD = 3× 4 - 2 × 2 = 8 .
116
Итак, получили C (3;8) . Используя уравнение прямой,
проходящей через две точки, находим уравнения сторон треугольника
|
AB : |
y -1 |
= |
x -5 |
, откуда x + 2 y - 7 = 0 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 -1 |
1-5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
AC : |
y -8 |
= |
x - 3 |
, откуда 7x + 2 y - 37 = 0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1-8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
BC : |
y -8 |
= |
x - 3 |
, откуда 5x - 2 y +1 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 -8 1 -3 |
|
|
|
|
|
|
x + y -8 = 0, x - y - 2 = 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
4.12. |
Даны |
уравнения |
двух |
|||||||||||||||||||||||
медиан треугольника |
|
|
и |
координаты |
одной |
из |
его |
вершин |
|||||||||||||||||||
A(4; 6) . Найти уравнения сторон треугольника. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Решение. Координаты точки A(4; 6) |
не удовлетворяют |
|||||||||||||||||||||||||
заданным уравнениям, следовательно, точка A |
не |
лежит |
на |
||||||||||||||||||||||||
медианах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решая |
систему |
|
|
|
заданных |
|
уравнений, находим |
|||||||||||||||||||
координаты точки M пересечения медиан xM = 5, yM = 3. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Проведем |
|
две |
медианы, отметим |
точку |
М |
их |
||||||||||||||||||||
пересечения и точку A (рис. 3.28). |
|
вершины B (xB , yB ) |
|||||||||||||||||||||||||
|
Пусть, например, координаты |
||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяют первому уравнению, т. е. медиана проходит |
|||||||||||||||||||||||||||
через |
вершину |
треугольника B , а |
координаты вершины C |
||||||||||||||||||||||||
удовлетворяют |
второму |
|
|
|
из |
заданных |
уравнений. Тогда |
||||||||||||||||||||
xB + yB - 8 = 0, xC - yC - 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Имеем |
два |
|
|
|
|
уравнения |
с |
четырьмя |
неизвестными. |
|||||||||||||||||
Составим |
еще |
|
два |
|
|
|
уравнения |
с |
теми |
же |
неизвестными. |
||||||||||||||||
Медиана, проведенная через вершину A ,пройдет через точку |
|||||||||||||||||||||||||||
M и |
разделит |
сторонуBC |
пополам |
в |
точкеD . |
Найдем |
|||||||||||||||||||||
координаты точки D : |
|
|
AM |
= |
2 |
= l, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MD |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = |
xA + 2xD |
|
, |
y |
M |
|
|
= |
yA + 2 yD |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M |
1 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
x = |
|
2xM - 2xA |
= |
3×5 - 4 |
= |
11 |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
yD |
= |
3yM - yA |
= |
3×3 - 6 |
= |
3 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
æ11 |
|
3 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, имеем D ç |
|
; |
|
÷. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
è 2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
Точка D делит BC пополам, следовательно,
xD = |
xB + xC |
, yD = |
yB + yC |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
откуда xB + xC -11 = 0, yB + yC - 3 = 0. |
||||||||||||||||||
Составим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ìxB + xC = 11, |
|||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
= 3, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï yB + yC |
|
|
|
||||||||
|
í |
|
|
|
|
|
= 8, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï xB + yB |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï x |
- y |
= 2 |
|
|
|
||||||
|
î |
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||
и найдем ее определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
D = |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
= -2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 1 0 -1 |
|
|
|
|
|
|||||||
Составим определитель DxB |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
DxB |
= |
|
3 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
= -14. |
|
||||||
|
|
|
|
8 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 1 0 -1 |
|
|
|
|||||||||||
Находим x = |
DxB |
|
= |
-14 |
|
= 7. Подставляя x в первое из |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
D |
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
B |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений системы, находим xC = 4. Из остальных уравнений находим, что yB =1, yC = 2 .
118
Зная |
координаты точекB (7;1) и |
C (4; 2) , |
находим |
|||||||||
уравнения сторон треугольника |
|
|
||||||||||
AB : |
y - 6 |
= |
|
|
x - 4 |
|
, откуда 5x + 3y -38 = 0 , |
|
||||
1- 6 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7 - 4 |
|
|
|
|
||||||
AC : |
y - 6 |
|
= |
x - 4 |
, откуда x = 4, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 - 6 4 - 4 |
|
|
|
||||||||
BC : |
y -1 |
|
= |
x - 7 |
, откуда x + 3y -10 = 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 -1 4 - 7 |
|
|
|
|
|
||||||
4.13. |
Даны вершины A(-3; -2) , |
B (4; -1) |
и C (1;3) |
трапеции ABCD (AB P BC ). Известно, что диагонали трапеции
взаимно перпендикулярны.
Найти координаты вершины D .
Решение. Прямая BC P AD , следовательно, их угловые коэффициенты равны. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки. Отсюда уравнение прямой BC примет вид
|
y +1 |
= |
x - 4 |
, |
3y + 4x =13, |
y = - |
4 |
x + |
13 |
, k = - |
4 |
. |
|
3 +1 |
|
|
|
|
|||||||||
1- 4 |
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|||||
Для |
записи |
уравнения |
прямойAD |
|
воспользуемся |
||||||||
уравнением пучка прямых, проходящих через точкуA и |
|||||||||||||
условием параллельности BC P AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y - yA = k (x - xA), y + 2 = (x + 3) , 4x + 3y +18 = 0. |
|||||||||||||
Координаты |
точек A и C |
известны. |
Из уравнения |
прямой, проходящей через две точки находим, что уравнение прямой AC имеет вид
y + 2 = x + 3 , y = 5 x + 7 , k = 5 .
3 + 2 1+ 3 |
|
4 |
|
4 |
4 |
|||
Из условия перпендикулярности диагоналей трапеции |
||||||||
находим угловой коэффициент диагонали BD : |
|
|||||||
k = - |
1 |
, |
k = - |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
k |
1 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
119
Из уравнения пучка прямых, проходящих |
через точку |
||||||||||||||||
B , находим уравнение прямой BD |
|
|
|
|
|||||||||||||
y +1 = k1 (x - 4), y +1 = - |
4 |
(x - 4), 4x + 5 y -11 = 0. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
Решая |
уравнения прямыхBD и |
AD |
|
совместно, |
|||||||||||||
находим координаты точки D |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ì4x + 5 y -11 = 0, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î4x + 3y +18 = 0. |
|
|
|
|
||||||
2 y - 29 = 0, |
|
y = |
29 |
, |
4x + |
5 × 29 |
-11 = 0, |
x = - |
123 |
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|||||
Ответ: D |
æ |
123 |
|
|
29 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ç - |
|
|
; |
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Уравнение линии как геометрического места точек
Линии на плоскости соответствует уравнение с двумя
переменными. Уравнение с двумя переменными, которому |
|
|||||||
удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, |
|
|||||||
называется уравнением данной линии. |
|
|
|
|||||
Всякому |
|
уравнению |
|
первой |
степени |
с |
дв |
|
неизвестными на плоскости соответствует прямая линия. |
|
|
||||||
Кривыми |
|
второго |
порядка |
называются |
, |
кривые |
||
уравнения |
которых |
в |
прямоугольных |
координ |
||||
представляют |
|
уравнения |
|
второй |
степени |
|
с |
|
неизвестными |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. |
|
|||||||
Существуют три типа таких кривых: |
|
|
|
|||||
если AC - B2 |
> 0, |
кривая эллиптического типа, |
|
|
||||
если AC - B2 < 0 – гиперболического типа, |
|
|
||||||
если AC - B2 < 0 - параболического типа. |
|
|
||||||
Если |
в |
общем |
уравнении |
второй |
степени(1) |
|||
коэффициенты |
при |
квадратах |
текущих |
координат |
равны |
120