Методическое пособие 504

æ2

4

ö

ç

6

÷

4.1. Дана матрица А = ç3

÷ . Найти Аm и (Аm)m.

ç

5

1

÷

è

ø

Решение. Меняя строки на столбцы, получим

m

æ2

3

5ö

А

=ç

÷

ç

6

÷

è4

1ø

Если еще раз поменять строки на столбцы, то получим

æ2

4ö

ç

÷

(Am m )= ç3

6÷

ç

5

÷

т. е. исходную матрицу A.

è

1 ø

æ5

2ö

æ3

-1ö

4.2. Даны матрицы

ç

÷

ç

÷

А = ç7

6÷ ,

B= ç1

2 ÷ .

ç

÷

ç

÷

è5

6ø

è2

5 ø

Найти (А+В)m

и Аm + В m

Решение.

æ5

2ö

æ5

7

5ö

А + В =

ç

7 6

÷

m

ç

÷

, (А + В) = ç

÷ ,

ç

6

÷

ç

5

6

÷

è2

6ø

è

ø

æ2

6

3ö

æ 3

1

2ö

Аm = ç

÷

, Bm= ç

÷ ,

ç

÷

ç

÷

è3 4 1ø

è-1 2 5 ø

отсюда

æ5

7

5ö

Am +Bm=

ç

÷ .

ç

6

÷

è2

6ø

4.3. Даны матрицы

æ1 -1ö

, B=

æ 2

4

1ö

А = ç

÷

ç

÷.

ç

÷

ç

2

÷

è2

3 ø

è-1

3ø

Доказать, что (АВ)m = В mАm.

æ3 2 - 2ö

Решение. Находим, АВ =

ç

÷ .

ç

14

11

÷

è1

ø

æ

3

1 ö

ç

÷

Отсюда (АВ)m= ç 2

14÷ .

ç

- 2

÷

è

11ø

æ 1

2ö

æ2

-1ö

m

и

B

m

=

ç

4

12

÷

, отсюда

Находим A = ç

÷

ç

÷

ç

÷

è-1

3ø

ç

1

3

÷

è

ø

æ

3

-1ö

В

m

m

ç

2

÷

А = ç

14 ÷ .

ç

- 2

÷

è

11 ø

Что и требовалось доказать.

1.5. Обратная матрица

Обратной

матрицей

по

отношению

к

заданно

квадратной

матрице А называется такая

квадратная

матрица,

обозначаемая А-1,

которая удовлетворяет равенствам

АА-1 = Е и А -1А = Е.

Теорема. Для того,

чтобы квадратная матрица А имела

обратную

матрицу А-1 ,

необходимо

и

достаточно

чтобы

матрица А

была

неособенной (det

А ¹ 0),

тогда

обратная

матрица определяется формулой

öm

æ A11

A12

K A1n

ç

A22

÷

A

-1

=

1

ç A21

K A2n ÷

ç

÷

det A

M

M

O

M

ç

÷

ç

A

A

K A

÷

è

n1

n2

nn

ø

çæ A11

A21

K An1 ÷ö

A

-1

=

1

ç A12

A22

K An 2 ÷

ç

÷ .

det A

M

M

O M

ç

÷

ç

A

A

K A

÷

è

1n

2 n

nn

ø

Таким образом, для получения обратной матрицыА-1

следует все элементы матрицы А заменить их алгебраическими

дополнениями,

полученную

матрицу

транспонировать

и

разделить на det A.

Свойства: 1. Не существует двух различных обратных

матриц для данной матрицы А.

2.

Определители прямой и обратной матрицы взаимно-

обратны

1

det А-1=

.

det A

3.

Обращение

обратной

матрицы

дает

исходную

матрицу (А-1)-1.

4.

Обратная

матрица произведения

матриц

равна

произведению

обратных

матриц

в

обр

последовательности

(АВ)-1 =В -1 А -1 , detA ¹ 0; detB ¹ 0.

5.

Операция

обращения

не

изменяет

единичной

матрицы E-1 = E.

6.

Транспонирование и обращение матрицы не зависит

от последовательности этих операций (Am)-1=(A-1)m.

æ

4

- 5ö

5.1. Дана матрица А = ç

÷ . Найти А-1.

ç

- 2

÷

è

1 ø

Решение. Находим определитель

det A =

4

- 5

= 14 ¹ 0 и алгебраические дополнения

2

1

1

æ1

- 2öm

1

æ

1

5 ö

Отсюда A-1

=

ç

÷

=

ç

÷ .

14

ç

÷

14

ç

- 2 4

÷

è5 4 ø

è

ø

æ1

4

- 3ö

ç

2

÷

5.2. Дана матрица А = ç5

5 ÷ , найти A-1.

ç

1

÷

è3

2 ø

Решение. Находим detA=

1

4

- 3

.

5

2

5

3

1

2

Поскольку

detA ¹ 0, то А-1 существует

1

æ

A

A

A

ö

А

-1

=

ç

11

21

31

÷

ç A12

A22

A32 ÷ .

det A

ç

A

A

A

÷

è

13

23

33

ø

2

5

5

5

5

2

A11= (-1)2

1

2

=-1; A12=(-1)3

3

2

=5; A13=(-1)4

3

1

=-1;

A21=(-1)3

4

-3

=-11; A22=(-1)4

1

-3

=11; A23=(-1)5

1

4

=11;

1

2

3

2

3

1

A31=(-1)4

4

-3

=26; A32=(-1)5

1

-3

=-20; A33=(-1)6

1

4

=-18.

2

5

5

5

5

2

æ-1

-11

26

ö

-1

1

ç

÷

Отсюда

A

=

ç 5

11

- 20

÷ .

22

ç

-1

11

-18

÷

è

ø

æ 2

- 3ö

,

æ1

- 0

ö

5.3. Даны две матрицы А = ç

÷

B= ç

÷ .

ç

-1

1

÷

ç

4

- 3

÷

è

ø

è

ø

æ14

- 9

ö

; det (AB) = -l5; (АВ)-1= -

1

æ

- 3 9 ö

АВ = ç

÷

ç

÷

; detA=5;

ç

- 3

÷

15

ç

÷

è 3

ø

è

- 3 14ø

detB=-3.

Находим обратные матрицы

A-1 =

1

æ1 - 3ö

, B-1 = -

1

æ - 3

0ö

,

ç

÷

ç

÷

5

ç

÷

3

ç

÷

è1 2

ø

è- 4 1ø

1

æ

- 3 0öæ1 - 3ö

1

æ

- 3 9 ö

отсюда B-1 A-1

= -

ç

֍

÷

= -

ç

÷ .

15

ç

֍

÷

15

ç

÷

è

- 4 1øè1 2 ø

è

- 3 14ø

æ2

-1ö

1

æ 1

1

ö

AT

= ç

÷;

det A = 5; ( AT )-1 =

ç

÷ .

ç

3

1

÷

5

ç

- 3

2

÷

è

ø

è

ø

Находим обратную матрицу A-1 =

1

æ1 - 3ö

,

ç

÷

5

ç

2

÷

è1

ø

1

æ

1

1

ö

отсюда ( A-1 )T =

ç

÷ .

5

ç

- 3

2

÷

è

ø

ìa11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn

= b1;

ï

+ ... + a2n xn

= b2

;

ïa21x1 + a22 x2

í

M

O

OM

ï

ïa

n1

x + a

x

+ ... + a

nn

x

= b .

î

1

n 2 2

n

n

æ a11

a12

K a1n ö

æ x

ö

æ b

ö

ç 1

÷

ç 1

÷

ç

a22

÷

ç x2

÷;

B =

çb2 ÷,

A = ç a21

K a2n ÷ ; X =

ç M

M O M ÷

ç M

÷

ç M

÷

ç

a

a

K a

÷

ç

÷

ç

÷

è

mn ø

ç

÷

ç

÷

m1

m2

è xn

ø

èbn

ø

ï

î5x + y - 3z = -2.

Решение. Запишем исходные матрицы

æ4 3

2 ö

æ x ö

æ 16

ö

ç

÷

ç ÷

ç

÷

A = ç2 - 3

1 ÷, X = ç y ÷, B = ç 17 ÷.

ç

÷

ç ÷

ç

÷

è5 1

- 3ø

è z ø

è- 2

ø

Найдём det A =

4

3

2

2

- 3

1

= 99 ¹ 0.

5

1

- 3

Находим обратную матрицу

1

æ 8

11

17 öm

1

æ 8

11

9

ö

A

-1

ç

÷

ç

÷

=

ç11 - 22 11 ÷ =

ç11 - 22

0

÷.

99

99

ç

0

÷

ç

11

-18

÷

è 9

-18ø

è17

ø

æ 8 11

9

ö æ 16

ö

æ 2

9

7ö

æ

3 ö

X = A

-1

B =

1 ç

÷ ç

÷

1 ç

÷

ç

÷

ç11 - 22

0

÷ ç 17 ÷ =

ç-1 9

8÷ = ç- 2÷.

99

99

ç

-18

÷ ç

- 2

÷

ç

4

9

5

÷

ç

5

÷

è17 11

ø è

ø

è

ø

è

ø

формул Крамера целесообразно для систем двух и

трех

уравнений. Для определителей четвертого и высших порядков

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn

= b1;

a21x1

+ a22 x2 + ... + a2n xn

= b2 ;

M

O

OM

an1x1

+ an 2 x2 + ... + ann xn

= bn .

ì2x - x - x = 4,

ï

1

2

3

= 11,

í3x1 + 4x2 - 2x3

ï

= 11.

î3x1 - 2x2 + 4x3

Доказать ее совместность и решить: а) методом Гаусса;

б) методом матричного исчисления.

Решение. Составим и вычислим определитель

2

-1

-1

D =

3

4

- 2

= 60,

3

- 2

4

следовательно, система совместна.

а) Решение методом

Гаусса. За ведущее уравнение

примем первое уравнение. Исключим x1

из второго и третьего

уравнений, прибавив ко

второму

и третьему уравнению

ведущее, умноженное на -

3

.

Получим

2

ì

- x

= 4,

ï2x - x

ï

1

2

3

ï

11

x2

-

1

x3 = 5,

í

2

2

ï

ï

-

1

x

+

11

x

= 5.

ï

2

2

2

3

î

Второе

и

третье

уравнения

образуют

перв

подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе

уравнение. Исключая х2

из третьего уравнения, получим

ì

- x

= 4,

ï2x - x

ï

1 2

3

ï

11

x2

-

1

x3

= 5,

í

2

2

ï

ï

60

x

=

60

.

ï

11

3

11

î

æ2 -1 -1

ö

æ x

ö

æ 4

ö

ç

4

÷

ç

1

÷

ç

÷

A = ç3

- 2÷, X = ç x2 ÷, B = ç11÷.

ç3 - 2 4

÷

ç x

÷

ç11÷

è

ø

è

3

ø

è

ø

Найдем det А

det A =

2 -1 -1

3

4

- 2

= 60 ¹ 0.

3

- 2

4

Находим обратную матрицу

æ12 -18 -18

öT

æ

12 6 6 ö

A

-1

1 ç

÷

1 ç

÷

=

ç 6

11

1 ÷ =

ç-18 11 1 ÷.

60 ç

6

1

11

÷

60 ç

÷

è

ø

è-18 1 11ø

æ 12

6

6 ö æ 4 ö

æ180ö

æ3ö

X = A-1B =

1 ç

-18 11 1 ÷ ç11÷

=

1 ç

60

÷

= ç

1

÷.

ç

ç

÷

÷ ç

÷

ç

÷

60 ç

÷ ç

÷

60 ç

60

÷

ç

1

÷

è

-18 1 11ø è11ø

è

ø è

ø

Отсюда: x1 = 3,

x2 = 1, x3 = 1.