Методическое пособие 472

щим от этой границы, равна поглощаемой теплоте фазового перехода.

В связи с тем, что тепловой поток распространяется не в полупространстве, а в зоне теплового возмущения, появится условие, необходимое для определения фронта теплового возмущения

Система уравнений (2-1) (2-2) решалась в пренебрежении подогревом электрода за время импульса ввиду его малости

(то есть qvi = 0).

Вследствие нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих процесс плавления, рассматриваемая проблема настолько сложна, что ее точное аналитическое решение до настоящего времени получено лишь для небольшого числа наипростейших случаев.

Применительно к сварке известно решение данной задачи с грубыми допущениями, например: при допущении постоянства скорости движения фазовой границы [63].

Наиболее эффективным приближенным интегральным и вариационным методам присуща некоторая неопределенность, связанная с произвольностью и однозначностью выбора температурного профиля. Ошибка же в конечных результатах существенным образом зависит от того, насколько удачно подобран аппроксимирующий полином. Критерия по выбору эффективного профиля методы не содержат. Более рациональный подход к решению должен заключаться не в искусственном формальном задании предполагаемого решения, а в том, чтобы характер температурного распределения непосредственно вытекал из физических особенностей кинетики процесса.

Для решения задачи отыскания закона передвижения фазовой границы будем использовать метод теплового квазистационарного приближения [64], который позволяет преодолеть отмеченные трудности. Этот метод основывается на том факте, что в большинстве случаев реальные скорости продвижения фронта фазовых превращений намного меньше скорости распространения теплового импульса. Это и является обоснованием к приня-

33

тию физической модели, в которой такое движения границы раздела фаз будет формироваться асимптотическими членами температурного поля. В тех случаях, когда обе скорости сопоставимы, что соответствует процессу плавления при интенсивных тепловых потоках, физическая модель остается без изменения, только теперь управляющая асимптотика будет формироваться в зоне теплового возмущения.

2.2. Выводы основных расчетных соотношений

Поставленная задача решалась указанным выше методом теплового квазистационарного приближения. Решение системы уравнений (2-1) (2-8) с учетом двух членов асимптотического разложения имеет вид:

для жидкой фазы

Сделаем проверку полученных выражений, подставив их в исходные уравнения для жидкой фазы

34

и для твердой фазы

Врезультате проверки установлено, что полученные выражения для температурных полей точно удовлетворяют граничным условиям и в среднем дифференциальным уравнениям теплопроводности.

Вполученных уравнениях (2-9), (2-10) неизвестными явля-

ются величины q2, и , которые необходимо определить. Удовлетворяя в уравнении (2-9) условию (2-7)

получим интегродифференциальное уравнение для определения динамики плавления t)

С учетом (2-11) уравнение (2-9) станет

Удовлетворим в уравнении (2-10) также условию (2-7)

20

врезультате чего получим интегральное уравнение для отыскания теплового потока q2

35

Воспользуемся уравнением ( 2-13 ) для отыскания потока q2

. Для этого произведем последовательно операции дифференцирования, разделения переменных, интегрирования и отыскания постоянной интегрирования. В результате получим выражение для q2 в виде:

При решении уравнения (2-22) методом дифференцирования получается дифференциальное уравнение второго порядка, для решения которого имеется лишь одно начальное условие . Чтобы обойти эту трудность, найдем дополнительную связь путем удовлетворения уравнению (2-9) в точке

37

Подставив (2-25) в (2-22), получим основное рабочее уравнение, из которого определится динамика движения фазовой границы

где q2 определяется выражением (2-20).

При подстановке в (2-15) значения q2 (t) определяется динамика движения границы теплового возмущения в твердой фазе ~ t) и общая протяженность теплового воздействия дуги

Полученные основные расчетные соотношения (2-15), (2-27) и (2-28) справедливы для любого закона изменения плотности теплового потока q(t) во время импульса и являются довольно простыми. Для сравнения ниже приводится выражение для температурного поля вылета электрода, полученное при решении однофазной задачи с экспоненциальным законом изменения теплового потока во время импульса

38

( 2-29 )

где Тпл - температура плавления материала электрода;

- коэффициент, учитывающий снижение температуры с увеличением координаты электрода;

а - коэффициент температуропроводности материала электрода;

- коэффициент теплопроводности материала электрода. Остальные обозначения в соответствии с рис. 2-2.

2.3. Динамика плавления

При импульсном питании сварочная цепь всегда имеет индуктивность порядка нескольких десятков мкГн и сопротивление порядка нескольких сотых долей ома. Наличие указанных параметров обуславливает экспоненциальный характер нарастания тока во время им-

пульса. Кроме того, для сохранения принципа импульс-капля необходимо, чтобы к окончанию импульса ток достигал критического значения, при котором электродинамические силы отрывают каплю. Поэтому целесообразно исследовать динамику плавления при экспоненциальной форме импульсов. На рис. 2-2 показан

39

график тока, протекающего через электрод и график теплового потока, вводимого в электрод от дуги.

Через электрод протекает сварочный ток, равный

в электрод вводится с торца периодический импульсный тепловой поток, равный

Как отмечалось выше (глава 1), особенностью импульсного питания сварочной дуги с плавящимся электродом является распространение анодного пятна во время импульса на боковую поверхность электрода и, следовательно, ввод тепла не только через расплавленный металл капли, но и через нерасплавленную боковую поверхность. Не учет этого явления при использовании основного рабочего уравнения приводит к значительному занижению скорости плавления и повышению перегрева капли. Для введения в принятую тепловую модель поправки, учитывающей особенность импульсного питания, воспользуемся тем, что средняя

40

плотность тока в анодном пятне для различного вида сварочных дуг известна и подтверждена многими работами.

Таким образом, плотность теплового потока, вводимого в

электрод, будем оценивать по плотности тока в анодном пятне. Использование этого предположения приводит к тому, что в принятую модель вместо фактического сечения электрода вводится фиктивное сечение, определяемое из выражения

где qср - средняя величина теплового потока во время импульса; jan - средняя плотность тока в анодном пятне.

С учетом фиктивного значения сечения электрода оценка плавления электрода будет производиться по объему расплавленного электрода

где ф - фиктивное значение координаты фазовой границы.

Для перехода к действительной координате фазовой границы полученный объем жидкой фазы необходимо разделить на площадь действительного сечения электрода

Значения t , вычисленные по выражению (2-34) будут несколько завышенными, так как тепловая модель не учитывает затрат тепла на испарение металла с поверхности капли, кроме того, введение в модель фиктивного сечения электрода дает заниженный расход тепла на перегрев капли. Учтем завышение скорости плавления эмпирическим коэффициентом К, который должен быть меньше единицы и должен уточняться экспериментально. Тогда выражение (2-34) перепишется

41

KV

R 21 . (2-35)

э

В случае экспоненциальной формы импульса основное рабочее уравнение (2-27) с учетом выражения (2-20) перепишется

(2-36)

Поскольку для определения фиктивного сечения электрода используется среднее значение плотности тока в анодном пятне, при определении действительного сечения в расчетах необходимо использовать среднее значение теплового потока во время импульса, которое для экспоненциальной формы импульса определяется выражением

42