Методическое пособие 438

Нахождение сил, ускорений и других кинематических характеристик.

Метод решения. В большинстве случаев алгоритм решения при вращательном движении аналогичен алгоритму при поступательном движении механической системы.

1.Необходимо сделать чертеж, показав на нем силы, действующие на все тела системы, и ускорения их движения.

2.Получить в скалярной форме уравнения для

поступательного и вращательного движения каждого из тел системы в отдельности.

3.Решить с учетом конкретных условий задачи систему получившихся уравнений. Получить искомый результат в аналитическом виде и провести его анализ.

4.Получить численный результат.

Тип 3. Определение работы при вращательном движении.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения для работы

A Mzd ,

либо использование энергетического подхода

A E I 22 I 12 . 2 2

Тип 4. Упругое или неупругое взаимодействие тел при вращательном движении.

Метод решения. Применение законов сохранения механической энергии и момента импульса системы.

В тех случаях, когда характер сил взаимодействия неизвестен, только законы сохранения позволяют составить уравнения, связывающие параметры состояния системы, и найти по известным параметрам системы в одном состоянии ее параметры в другом состоянии.

При использовании законов сохранения следует обращать внимание на возможность применения того или

61

иного из этих законов. Закон сохранения момента импульса системы тел, совершающих вращение вокруг одной и той же неподвижной оси вращения, выполняется в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю. Применение же закона сохранения энергии, как и при поступательном движении, возможно только тогда, когда система не только замкнута, но и консервативна (отсутствует переход механической энергии в другие виды). В частности, к неупругому соударению закон сохранения механической энергии неприменим.

1.4.3. Примеры решения задач

Задача 1. Рассчитать момент инерции однородного круглого диска массой m и радиусом R относительно оси диска.

Решение Момент инерции твердого тела зависит от массы и ее

распределения относительно оси вращения. При непрерывном распределении массы тела вычисление момента инерции сводится к интегрированию по объему тела.

Для осуществления интегрирования в данном случае выделим элемент тела в виде кольца радиуса r , ширины dr и толщины, равной толщине диска b (рис.18). Объем такого кольца

mm

.

V R2b

Сучетом этого, получим окончательно

I mR2 . 2

Задача 2. Вычислить момент инерции однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса m и радиус его основания R .

Решение Выполним рисунок и введем

0

С учетом того, что

63

h R , tg

Получим окончательно

I 3 mR2 . 10

Задача 3. Однородный диск радиуса R , толщиной h и плотностью имеет сквозное круглое отверстие радиусом

r R , центр которого лежит на середине радиуса диска

2 (рис.20). Найти момент инерции такого диска относительно

оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через центр диска.

С учетом вышесказанного получим

перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m1 и m2 (m2 m1 ) . Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение Выполним чертеж, показав на нем все силы,

действующие на грузы и блок, и ускорения движения (рис.21). Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения. В скалярной

Задача 5. К шкиву креста Обербека (рис.22) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M = 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h =1 м до нижнего положения. Радиус шкива r=3 см. На кресте

65

67

5

ac 7 gsin .

2-й способ.

Рассмотрим шар в некоторый момент его движения по наклонной плоскости. Пусть его положение в данный момент определяется координатой x. Полная механическая энергия шара , при условии, что за нулевой уровень потенциальной энергии выбрана точка О, будет равна

E m 2 I 2 mgxsin 2 2

Дифференцируя данное уравнение по времени, получим

После преобразования, с учетом того, что

будем иметь

I

ac (m R2 ) mgsin .

Наконец, заменяя момент инерции шара его значением, получим

5

ac 7 gsin .

Задача 7. Сплошной однородный диск радиуса R, вращающийся с угловой скоростью , кладут основанием на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов сделает диск до остановки, если коэффициент трения между основанием диска и горизонтальной поверхностью равен μ.

Решение Сила трения приложена к каждому участку диска, и так

как эти участки находятся на различных расстояниях от оси, то и моменты сил трения, приложенные к этим участкам, различны. Разделим диск на узкие кольца. Одно такое кольцо

68

Площадь такого кольца

где h – толщина диска, ρ – плотность материала диска.

Момент этой силы трения равен dM 2 h gr2dr .

Интегрируя по r от нуля до R, получаем суммарный момент сил трения

R

M 2 h g r2dr 2 h gR3 .

3

0

Работа, совершенная силами трения, определится по формуле

A Md 2 h gR3 , 3

где 2 N - угол поворота диска, а N – число оборотов диска до полной остановки.

С другой стороны, работа сил трения равна убыли кинетической энергии диска, т.е.

A I 2 , 2

где I mR2 h R4 - момент инерции диска. 2 2

Приравнивая полученные выражения для работы, после преобразования найдем

N 3R 2 . 16 g

69

нитях (рис.25). Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить ускорение поступательного движения маятника и силу натяжения нити.

Решение Уравнения динамики для поступательного и

вращательного движения маятника Максвелла имеют вид ma mg 2T

I 2T r.

В данной системе уравнений Т – сила натяжения одной нити, I mR2 /2 - момент инерции диска, а a/r - угловое ускорение.

g

Решая уравнения, найдем: a 1 R2 /2r2 .

Натяжение нити определим из первого уравнения

T m(g a) . 2

Задача 9. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска, который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.26). Демонстратор становится на скамью, после чего ее приводят во

70