Методическое пособие 438
.pdf
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
R |
R |
2 |
R |
|
|
r |
0 |
|
R |
|
R |
2 |
|
R |
r |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис.64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для определения поверхностной плотности связанных |
||||||||||||||||
зарядов на поверхности диэлектрика воспользуемся |
|||||||||||||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
Pn |
0En , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где 1 - диэлектрическая восприимчивость среды. |
|
||||||||||||||||
Подставляя значение напряженности поля на поверхности |
|||||||||||||||||
шара, получим |
|
|
|
|
Q |
|
|
Q |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 0R12 |
|
4 R12 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
|
6. |
|
Бесконечно |
|||||
|
|
|
|
|
большая пластина из однородного |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
диэлектрика с проницаемостью |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
заряжена |
равномерно |
сторонним |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
зарядом |
с объемной |
плотностью |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
>0 (рис. 65). Толщина пластины |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2а. |
Найти |
E x и |
|
x |
как |
|||||
|
Рис.65 |
|
|
|
|
функции |
расстояния |
x |
от |
||||||||
|
|
|
|
|
середины пластины (потенциал в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
середине пластины положить равным нулю). Определить |
|||||||||||||||||
поверхностную плотность связанного заряда. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соображений симметрии ясно, что в середине пластины E 0, а во всех остальных точках вектор E перпендикулярен поверхности пластины. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D. В качестве замкнутой поверхности возьмем прямой цилиндр высотой x, один торец которого совпадает со средней плоскостью пластины. Пусть
площадь сечения этого цилиндра равна S , |
тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||
1) |
для |
x a : |
DS Sx, |
D x, E x/ 0 , |
|
||||||||||||||||||||
где - объемная плотность стороннего заряда.. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
2) |
для x a : |
DS Sa , |
D a, E a/ 0 |
|
|||||||||||||||||||||
Используя выражение Ex |
|
, получаем |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) |
для |
x a |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
xdx ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
и a |
a2 |
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
2 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
для |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
E, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x a |
a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
a |
|
|
0 |
a |
r |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Графики функции E x и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x представлены на рис.66. |
|
|
|
|
|
Рис.66 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поверхностную |
|
плотность |
|
связанного |
заряда |
||||||||||||||||||||
определим из выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
152
’= Pn 0En 1 a / >0.
Таким образом, если сторонний заряд > 0, то на обеих поверхностях пластины будет также положительный связанный заряд.
|
|
|
|
Задача |
7. |
Вблизи границы |
||
|
|
E0 |
раздела |
вакуум |
- |
диэлектрик |
||
n |
|
|
напряженность электрического поля в |
|||||
|
||||||||
|
вакууме равна |
E0 , причем вектор E0 |
||||||
|
|
|
|
|||||
составляет угол с нормалью к
Рис.67 |
поверхности |
раздела |
(рис.67). |
|
Проницаемость диэлектрика . Найти |
||||
|
||||
отношение E/ E0 , где E напряженность поля |
внутри |
|||
диэлектрика. |
|
|
|
|
Решение Рассмотрим преломление вектора напряженности
электрического поля на границе раздела диэлектрик-вакуум
(рис.68).
|
|
|
E0n |
|
E0 |
|
|
Согласно |
граничным |
|||||
|
|
|
|
условиям |
тангенциальная |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
составляющая |
вектора |
E не |
||||||
|
|
|
|
|
|
E0 |
изменяется при |
переходе |
через |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E1n |
|
|
|
|
E |
границу раздела, т.е. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 E0 E0 sin . |
|
||||
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Рис.68 |
|
|
В то же время, нормальная |
||||||||
|
|
|
составляющая |
вектора |
E |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
претерпевает скачок, а именно |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
E0n |
|
E0 cos |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
напряженность |
поля |
внутри |
||||||||
диэлектрика |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
153 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
E2 E2 , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
а, искомое отношение напряженностей E/ E0 , равно |
|
|
|
|||||||||||
|
|
E |
/ E |
0 |
|
sin |
2 |
|
cos2 |
< 1, т.е |
E E |
0 |
. |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача |
8. |
|
Точечный |
заряд |
q |
A |
|
|
|
|||||
находится на расстоянии h от проводящей |
|
|
|
|
||||||||||
плоскости |
|
(рис.69). |
|
Определить |
h |
|
|
q |
||||||
поверхностную |
|
плотность |
зарядов, |
|
|
|||||||||
индуцированных на плоскости, как |
|
|
|
r |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
функцию |
расстояния |
r |
|
от |
основания |
|
|
|
|
|||||
перпендикуляра, |
опущенного из заряда на |
A |
|
|
|
|||||||||
плоскость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение |
|
|
Рис.69 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При решении задачи мы |
|
|
|
|
|
|
||||||||
действие |
|
проводящей |
|
E1 |
A |
|
|
|
||||||
плоскости |
|
с |
|
|
|
ее |
E |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
||||||
индуцированными |
|
зарядами |
|
|
|
|
||||||||
заменим |
действием |
точечного |
|
E2 |
|
|
|
|
||||||
заряда |
|
противоположного |
q |
h |
|
|
q |
|||||||
знака, |
|
|
являющегося |
|
O |
|
|
|
r |
|||||
зеркальным |
изображением |
|
|
|
|
|
|
|||||||
данного |
заряда |
в проводящей |
|
|
A |
|
|
|
||||||
плоскости. На рис.70. показаны |
|
|
|
|
|
|||||||||
положения |
зарядов |
q |
и |
q |
|
Рис.70 |
|
|
|
|||||
относительно плоскости АА, а |
|
|
|
|
|
|
||||||||
также произвольной точки М у поверхности АА. Плоскость |
||||||||||||||
АА, являющаяся плоскостью зеркальной симметрии, |
везде |
|||||||||||||
перпендикулярна к линиям напряженности электрического |
||||||||||||||
поля |
и, |
следовательно, |
будет |
эквипотенциальной |
||||||||||
поверхностью. Поле в правом полупространстве (между этой |
||||||||||||||
плоскостью и зарядом q) не изменилось и совпадает с полем |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
двух точечных зарядов q и -q. Это позволяет просто учесть действие индуцированных зарядов на проводящей плоскости под действием только заряда q.
Напряженности полей зарядов q и -q в произвольной точке М у поверхности АА равны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0(r2 h2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В соответствии с принципом суперпозиции |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
qh |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
E |
|
|
|
E1 E2 |
|
2E1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0(r2 h2)3/ 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
r2 h2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Как видно из рис.70, проекция вектора E на нормаль n к поверхности АА отрицательна, поэтому индуцированный заряд q будет иметь противоположный знак. С учетом этого замечания и соотношения между поверхностной плотностью заряда и напряженность поля, получаем
qh
0 E 2 (r2 h2)3/ 2 .
Полученная формула позволяет сравнительно просто найти полный индуцированный заряд q и убедится в том, что по абсолютному значению он равен данному заряду и противоположен по знаку.
Выделим в плоскости АА кольцо с центром в точке О, ограниченное радиусами r и r dr . Элементарный индуцированный заряд этого кольца равен
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
2 rdr. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Интегрированием, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
rdr |
|
|
qh |
2 |
|
2 |
|
3/ 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
q |
|
qh0 |
|
|
|
(r |
|
h |
|
) |
|
d(r |
|
h |
|
) q. |
|
|
(r2 h2)3/ 2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
155
Задача 9. Точечный заряд q
находится |
на расстоянии a |
между |
|
двумя |
проводящими |
и |
взаимно |
перпендикулярными |
плоскостями |
||
(рис.70). |
Найти |
результирующую |
|
напряженность поля в точке М, находящейся на диагонали прямого угла, образованного полуплоскостями, и удаленной от них на расстояние a/2.
Решение
a |
q |
M |
|
a 2 |
|
O |
|
Рис.71 |
|
|
Проводящие |
|
|
|
|
|
|
|
||
плоскости |
эквипотенциальны. |
q2 |
a |
|
a |
q |
|
|||
Будем |
считать |
потенциал |
|
|
E2 M |
|
||||
проводящих |
|
плоскостей |
|
|
E3 a |
|
||||
равным нулю. Для того чтобы |
|
|
E x |
|
|
|||||
|
|
|
E |
|
||||||
удовлетворить |
|
этому |
|
O |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
граничному условию, требуется |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
ввести три фиктивных заряда: |
|
r |
|
|
a |
|
||||
два заряда по -q |
и один заряд |
q3 |
|
|
|
q1 |
|
|||
q (рис.72). Только |
такая |
|
|
|
|
|||||
система зарядов |
удовлетворяет |
|
Рис.72 |
|
|
|
||||
граничному условию, а именно, |
|
|
|
|
|
|
||||
потенциалы |
проводящих |
плоскостей одинаковы |
( 0) |
и |
||||||
абсолютное значение алгебраической суммы индуцированных |
||||||||||
зарядов равно q. Таким образом, три |
фиктивных |
заряда |
||||||||
создают тоже поле внутри прямого угла, что и заряды, |
||||||||||
индуцированные на проводящих полуплоскостях. Векторы |
||||||||||
напряженностей, создаваемые в точке М всеми зарядами, |
||||||||||
представлены на |
рис.71. |
Ось |
Oxпроведем из |
точки М |
в |
|||||
направление вершины прямого угла. Расстояния от точки М до |
||||||||||
соответствующих зарядов обозначим через x, |
и (r x). С |
|||||||||
учетом введенных обозначений, напряженности полей будут |
||||||||||
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
156 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
q |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 0 x2 |
2 0a2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
E |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 0 |
2 |
|
|
10 0a |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
q |
|
|
. |
|
||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
4 0 (r x)2 |
|
18 0a2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Результирующая напряженность, создаваемая всеми зарядами, определится в соответствии с принципом суперпозиции и будет равна
|
|
|
|
x |
|
q |
|
|
E0 |
E E3 |
2E1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
0,53 |
0a |
2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2.4. Задачи для самостоятельного решения
Первый уровень сложности
1. Эбонитовый ( 2) сплошной шар радиусом R =5см равномерно заряжен с объемной плотностью 10 нКл/м3. Определить напряженностьE и смещение Dэлектрического поля в точках: а) на расстоянии r1 3см от центра сферы; б)
на поверхности сферы; в) на расстоянии r2 10см от цента сферы. Изобразить примерные графики функций E r иD r . Найти поверхностную плотность связанных зарядов. [E r R r /3 0 ; E r R R3 /3 0r2 ; ' R 1 /3 ] 2. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны R1 и R2 .
Найти E r и r , где r - расстояние от центра, если диэлектрику сообщили положительный сторонний заряд q, распределенный равномерно по внутренней поверхности слоя.
157
[r<R: |
E |
q |
, |
q |
( |
1 |
|
1 |
|
1 |
); r>R: E |
q |
|
, |
||||
4 r2 |
4 |
|
|
R |
|
|
4 |
r2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
r |
R |
|
|||||||
|
|
q |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3. |
|
В |
однородное |
|
электростатическое |
поле |
||||||||||
напряженностью |
Е0=700В/м |
|
|
перпендикулярно |
полю |
|||||||||||||
помещается бесконечная плоскопараллельная стеклянная (ε=7) пластина. Определите: 1) напряженность электростатического поля внутри пластины; 2) электростатическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4)
поверхностную плотность связанных зарядов на |
стекле. |
[100 B/м; 6,19 нКл/м2; 5,31 нКл/м2 ; 5,31 нКл/м2] |
6 |
4. Стеклянная пластинка с проницаемостью |
внесена в однородное электрическое поле напряженностью E1 = 10 В/м и расположена так, что угол 1 между нормалью к пластинке и направлением внешнего поля равен 30°. Найти напряженность E2 поля в пластинке, угол α2, который это поле образует с нормалью к пластинке, а также плотность ' связанных зарядов, индуцированных на поверхностях пластинки. [E2 = 5,2 В/м, 2 = 74°, ' 64 нКл/ м2 ]
5. Металлический шар радиусом R 5см окружен
равномерно слоем фарфора толщиной |
d 2см. Определить |
|
поверхностные плотности 1 |
и 2 |
связанных зарядов |
соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд шара равен 10 нКл. [-0,255 мкКл/м2; 0,130 мкКл/м2]
6. На расстоянии h от проводящей бесконечной плоскости находится точечный заряд q. Определить напряженность поля в точке, отстоящей от плоскости и от заряда на расстояние h.
158
Второй уровень сложности
1.Точечный заряд q находится в вакууме на
расстоянии от плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна . Найти поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от точечного заряда. Рассмотреть случай
0. [ ' ql 1 1 /2 r3 1 ]
2.Пространство между пластинами заполнено
парафином (ε=2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см2? [1 кВ]
3. Стеклянный шар ( 6) имеет электрический заряд,
объемная |
плотность которого зависит |
от расстояния r до |
центра шара по закону /r , где |
1нКл/м2. Радиус шара |
|
R 10см. |
Определить разность потенциалов между |
|
поверхностью и центром шара. Построить график зависимости напряженности от расстояния до центра шара. [0,94B]
4. На расстоянии a 5см от бесконечной проводящей плоскости находится точечный заряд q 1нКл. Определить силу, действующую на заряд со стороны индуцированного им заряда на плоскости.[0,9 мкН]
5. Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещенный на биссектрисе прямого двугранного угла между двумя проводящими плоскостями. Расстояние между зарядом
q |
и вершиной двугранного угла О равно d . |
|||||
|
F 0,63 10 |
9 |
q |
2 |
||
[ |
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||
|
|
|
d |
|
||
159
3.3. Электроемкость. Энергия электрического поля
3.3.1.Основные законы и формулы
Электроемкость уединенного проводника и
конденсатора
C q/ ; C q/ 1 2 .
Емкость плоского конденсатора
C 0 S /d ,
где S - площадь каждой пластины; d - расстояние между пластинами.
|
|
Емкость цилиндрического конденсатора |
|
||||
|
|
|
C |
2 0 |
, |
|
|
|
|
|
ln r /r |
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
где |
- |
длина обкладок конденсатора; r2 и r1- |
радиусы |
||||
коаксиальных цилиндров. |
|
|
|
||||
|
|
Емкость сферического конденсатора. |
|
||||
|
|
|
C 4 0 r1r2 / r2 r1 , |
|
|||
где r1 |
и r2 |
- радиусы концентрических сфер. |
|
||||
|
|
Емкость |
системы |
конденсаторов |
при |
||
последовательном и параллельном соединении |
|
||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
1/C 1/Ci , |
C Ci . |
|
||
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
Энергия |
взаимодействия |
системы точечных |
|||
зарядов |
|
|
|
|
|
|
|
W1 n qi i ,
2 i 1
где i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд q1 , всеми зарядами, кроме i- го.
Полная энергия системы с непрерывным распределением заряда
160