Методическое пособие 438

Решение

Сделаем рисунок, представив электрическое поле с

помощью вектора D (рис.56).

Силовые

линии

обладают

радиальной

симметрией,

поэтому

R

D

можно

воспользоваться

теоремой

r

Гаусса.

Поток

вектора D

через

q

гауссову сферическую поверхность

S

S радиусом r :

DndS 4 r2D.

Рис.56

Согласно теореме Гаусса для

диэлектрика:

q

4 r2D q, откуда

D

.

4 r2

Электрическое смещение связано с напряженностью

электрического поля соотношением

D 0 E, из которого

областях

для r <R

1)

E

D

q

.

4 0 r2

0

2)

для r >R

E

D

q

.

4 0r2

Рис.57

0

142

Графики зависимостей D r и

E r представлены на

рис.57.

Задача 2. Сторонние заряды равномерно распределены

с

объемной

плотностью

>0

по

шару радиусом

R

из

однородного

R

D

диэлектрика

с

проницаемостью

(рис.58).

Найти

E

и

как

r

r

S

функции

расстояния

от центра

шара.

Изобразить

примерные

графики функций E r

и r .

Рис.58

Найти

поверхностную

плотность

связанных зарядов.

Решение

Выполним

рисунок, представив электрическое поле

шара, сторонний заряд которого равномерно распределен с

объемной плотностью >0,

с помощью вектора D (рис.58).

Силовые линии поля обладают радиальной симметрией,

поэтому можно воспользоваться теоремой Гаусса. Поток

вектора

D

через

гауссову

сферическую

поверхность

радиусом r , равен

Для поверхности

S1

внутри

шара (r R ) в

соответствии с теоремой Гаусса, имеем

4 r2 D

4

r3 ,

откуда

1

3

D1

D

r , и E

r .

0

1

3

1

3 0

Для поверхности S2

вне шара (r R ), получим

143

4 r2 D

4

R3 ,

тогда

2

3

D

2

R3

,

и E

D

2

R3

.

3r2

2

0

3 0r2

Приняв потенциал

в

бесконечности

равным

нулю

( 0),

определим

зависимость

(r) в

области

r R ,

используя

соотношение

между

напряженностью поля и

потенциалом

R3

R3

2 (r) E2r dr

dr

.

3 0

2

r

r r

3 0r

R2

R

.

3 0

Аналогичным образом

исследуем

функциональную

зависимость (r), для r R :

R

R

1 R E1r dr

rdr

(R2 r2 ),

3 0

r

r

6 0

следовательно,

2

2

R2

(r)

(R

r

)

.

1

6 0

3 0

При этом в центре шара потенциал равен

E

R2

1

1

~

3 0

~

r2

r

0

R

r

0

R

r

R2

1

(0)

2

.

6 0

Графики зависимостей

E r

и

(r)представлены на

En

Er

R,

следовательно,

3 0

1 R.

3

Задача 3. Однородный диэлектрик с диэлектрической

проницаемостью имеет вид сферического слоя радиусов a и

b

(a b)

(рис.60).

Изобразить

примерные графики модуля

b

напряженности

электрического

поля

E

и

потенциала

как

a

функции

расстояния

r от

центра

O

r

системы,

если

диэлектрик

имеет

положительный

равномерно

с

распределенный

объемной

Рис.60

плотностью сторонний заряд.

Решение

Учитывая сферически-симметричное распределение

стороннего

заряда

в

диэлектрике,

для

определения

145

вектора электрического смещения D.

радиуса r

Электрический

заряд

внутри

сферы

(a r b) определится интегрированием

r

4

q dV 4 r2dr

(r3 a3 ),

3

в частности, для r b, имеем

a

q

4

(b3 a3 ).

3

С учетом этого на основе теоремы Гаусса, получим

1) для 0 r a,

D 0

E 0;

2) для a r b

D

q

(r3 a3 )

,

E

(r3

a3)

;

4 r2

3r2

3 r

2

3) для r b

0

D

(b3

a3 )

(b3

a3)

,

E

.

3r2

3 0r2

Перейдем к определению потенциалов.

При r 0,

поэтому для r b

r

(b

3

a

3

)

r

(b

3

a

3

)

(r) E(r)dr

dr

.

2

3 0

r

3 0r

b

(r3

a3)

(r) (b)

dr

3

r2

0

r

b

2

r

2

a

3

a

3

3

b

r

2

2

0

146

линий векторов

D и

E . Воспользуемся теоремой Гаусса для

диэлектрика и определим электрическое смещение D, а затем

и напряженность электрического поля E

как

функцию

координат.

Для вспомогательной поверхности S1

в толще

диэлектрика (R1 r R2 )

в соответствии с теоремой Гаусса,

имеем

D 4 r2 Q ,

откуда

1

1

Q1

D1

Q1

D

,

E

.

1

4 r2

1

0

4 0 r2

На поверхности металлического шара радиуса R1

напряженность составит

Q1

E

11,3кВ/ м.

4 R 2

1

0

1

Для вспомогательной поверхности S2

за

пределами

металлической

оболочки (r R3 )

поток

вектора

D

2

Q1 Q2

,

E

2

D2

Q1 Q2

.

4 r2

0

4 0r2

Вычислим напряженность при r=R2 иr=R3

E2=1,8кВ/м , E3=9,2кВ/м.

Отметим также, что в толще металла при r R1 и

R2 r R3 поле отсутствует, т.е.

E D 0.

Q Q

dr

Q Q

(R3) E2dr

1

2

1

2

64,3В.

4

0

r2

4

0

R

R3

R3

3

Металл

представляет

собой

эквипотенциальную

область, поэтому

(R2) (R3).

Потенциала шара определится из уравнения

R2

Q1

R2

dr

Q1

1

1

(R1) (R2) E1dr

r2

4

R

,

4

0

R

R

R

0

1

2

1

1

Q1

1

Q1 Q2

1

(R1) 4

R

135В.

R

4

R

0

1

2

0

3

На основании полученных формул построим графики

зависимостей

E r и (r)(рис. 64).