Методическое пособие 422

А. В. Останков

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЙ И ЦЕПЕЙ

Учебное пособие

Воронеж 2021

УДК 621.37 ББК 32.841я73

О-76

Рецензенты:

кафедра основ радиотехники и электроники Воронежского института ФСИН России

(нач. кафедры канд. техн. наук, доцент Р. Н. Андреев); Ю. Э. Корчагин, д-р физ.-мат. наук, доцент кафедры радиофизики

Воронежского государственного университета

Останков, А. В.

Частотные характеристики колебаний и цепей: О-76 учеб. пособие / А. В. Останков; ФГБОУ ВО «Воро-

нежский государственный технический университет».

— Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. — 152 с.

ISBN 978-5-7731-0988-4

В адаптированном к восприятию студента учебном пособии изложены ключевые разделы теории электрических цепей, имеющие отношение к частотным характеристикам сигналов и линейных цепей.

Издание предназначено для студентов второго курса специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы».

Ил. 85. Табл. 1. Библиогр.: 5 назв.

УДК 621.37 ББК 32.841

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

Останков А. В., 2021 ISBN 978-5-7731-0988-4 ФГБОУ ВО «Воронежский

государственный технический университет», 2021

2

ВВЕДЕНИЕ

Внастоящем учебном пособии изложены ключевые разделы теории электрических цепей, имеющие отношение к частотным характеристикам сигналов и линейных цепей.

Впервой главе введены понятия комплексной частотной, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик цепи. Подробно изложена методика расчёта частотных характеристик, которая проиллюстрирована на примерах RC-цепей разной степени сложности. Рассмотрены логарифмические частотные характеристики цепи. Введены показатели, характеризующие частотную избирательность цепи, понятия о фильтрах

сразными типами избирательности.

Во второй главе подробно изложена теория колебательных контуров, как цепей обладающих частотной избирательностью. Получены частотные характеристики последовательного и параллельного контуров, введено понятие и исследованы возможные типы резонансов в колебательных контурах. Изучено влияние на избирательные свойства контуров неидеальности источников электрической энергии и нагрузки, подключаемой к контурам.

Втретьей главе сформулировано понятие о спектрах периодических и импульсных сигналов, изложен математический аппарат, позволяющий выполнить спектральный анализ

исинтез сигналов. Дано понятие и изложены критерии оценки практической ширины спектра сигналов. Приведены примеры расчёта и анализа спектров типовых сигналов: периодической последовательности прямоугольных импульсов, одиночного прямоугольного импульса, дельта-импульса. Сформулированы теоремы о спектрах, как инструмент для прогнозирования частотных характеристик сигналов, подвергаемых типовым преобразованиям.

Вчетвертой главе введён частотный метод анализа линейных цепей, использование которого проиллюстрировано на

3

примере расчёта откликов простейших RC-цепей на прямоугольный импульс. Введены понятия и изучены частотные характеристики неискажающей, дифференцирующей, интегрирующей цепей, идеального фильтра нижних частот. Установлена связь между частотными и временными характеристиками цепей, частотным и временным методами анализа.

Пособие может быть использовано для закрепления материала, изложенного на лекциях, для подготовки к практическим и лабораторным занятиям по дисциплинам «Основы теории цепей» и «Теория электрических цепей», читаемым студентам, обучающимся на радиотехнических, радиоэлектронных и связных направлениях.

4

1.ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ

1.1.Комплексная частотная, амплитудно-частотная

ифазочастотная характеристики цепи

Введём характеристики, описывающие частотные свойства линейных электрических цепей.

Представим линейную цепь в виде четырёхполюсника (рис. 1.1, а) либо двухполюсника (рис. 1.1, б). Зажимы 1-1' на рис. 1.1, предназначенные для подключения источника колебаний, назовём входом цепи, а зажимы 2-2' – выходом (к ним, как правило, подключают нагрузку). Внутри четырёхполюсник (двухполюсник) представляет собой некое соединение конечного числа линейных элементов R, L и С.

В качестве воздействующего на цепь колебания (или просто воздействия) примем сигнал s1(t), а в качестве отклика – колебание s2(t). В четырёхполюснике могут иметь место разные сочетания колебаний s1 и s2:

−s1(t) – напряжение, s2(t) – ток;

−s1(t), s2(t) – напряжения (рис. 1.1, а);

−s1(t), s2(t) – токи;

−s1(t) – ток, s2(t) – напряжение.

Вдвухполюснике возможны лишь два варианта:

−s1(t) – напряжение, s2(t) – ток (рис. 1.1, б);

−s1(t) – ток, s2(t) – напряжение.

5

Рассмотрим случай, когда на вход цепи (рис. 1.1, а) воздействует гармоническое колебание:

Так как при прохождении через линейные электрические цепи гармоническое колебание не изменяет ни форму, ни частоту, то на выходе цепи появится гармоническое колебание вида

амплитуда Am2 и начальная фаза ψ2 которого могут существенно отличаться от амплитуды Am1 и начальной фазы ψ1 входного колебания. Следовательно, количественные изменения гармонического колебания при его прохождении через цепь можно оценить по степени изменения амплитуды и начальной фазы отклика относительно воздействия. Информация об амплитуде и начальной фазе гармонического колебания, как известно, заложена в его комплексной амплитуде, из чего следует, что оценка изменений колебания может быть сведена к сравнению комплексных амплитуд отклика и воздействия:

Назовём комплексной частотной характеристикой (КЧХ)

цепи зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика цепи к комплексной амплитуде гармонического воздействия в установившемся режиме (по окончании переходных процессов в цепи):

Частотная зависимость комплексной амплитуды отклика Aɺm2

связана с наличием в цепи реактивных элементов. С учётом зависимости от частоты величины комплексной частотной ха-

6

рактеристики она может быть обозначена одним из показанных ниже способов:

Hɺ =Hɺ(ω)=H( jω).

Часто в обозначении комплексной частотной характеристики указываются индексы входных и выходных зажимов цепи, причём сначала − индекс выходных зажимов, а затем

индекс входных. Так характеристика, обозначенная как Hɺ21,

представляет собой КЧХ четырёхполюсника, у которого входными зажимами являются выводы 1-1', а выходными – зажимы 2-2'. Если же комплексная частотная характеристика ука-

зана в виде Hɺ11, то это означает, что и отклик, и воздействие

относятся к зажимам 1-1'. Если в условии задачи чётко оговорены входные и выходные зажимы, то индексы в обозначении КЧХ могут отсутствовать.

Размерность и смысл КЧХ зависит от размерностей воздействия и отклика. Если воздействие представляет собой напряжение, а отклик – ток, то КЧХ измеряется в единицах проводимости, если же воздействие – ток, а отклик – напряжение, размерность КЧХ – сопротивление, если же и воздействие, и отклик представляют собой напряжение (или ток), то комплексная частотная характеристика безразмерна.

Подставив равенства (1.3), определяющие комплексные амплитуды отклика и воздействия, в выражение (1.4) для комплексной частотной характеристики цепи, можно получить

Обозначим сочетанием символов Н(ω) модуль комплексной частотной характеристики |Hɺ(ω)| , а набором символов ϕ(ω) –

аргумент arg[Hɺ(ω)]. Тогда модуль и аргумент КЧХ можно математически определить как

7

Модуль комплексной частотной характеристики цепи

Н(ω) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи. Аргумент комплексной частотной характеристи-

ки ϕ(ω) есть фазочастотная характеристика (ФЧХ) цепи. Из математического определения частотных характери-

стик цепи (АЧХ и ФЧХ) следует, что их аналитические выражения (или формулы) для конкретной цепи можно получить, представив найденное аналитическое выражение комплексной

частотной характеристики Hɺ(ω) в показательной форме ком-

плексного числа.

Физический смысл введённых частотных характеристик цепи (АЧХ и ФЧХ) вытекает из выражений (1.6) и (1.7).

Итак, амплитудно-частотная характеристика цепи пред-

ставляет собой зависимость от частоты в установившемся

режиме отношения амплитуды отклика цепи к амплитуде внешнего гармонического воздействия. На основании такого физического определения производится, например, экспериментальное измерение АЧХ цепи. Фазочастотная характе-

ристика определяется сдвигом фаз между откликом цепи и

гармоническим воздействием на различных частотах. ФЧХ также может быть экспериментально измерена в соответствии с её физическим смыслом.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные и передаточные. Различают два вида входных и четыре вида передаточных характеристик. Если внешнее воздействие на цепь представляет собой ток i1(t), а отклик – напряжение u1(t) на зажимах 1-1', то комплексная частотная характеристика есть не что иное, как комплексное входное сопротивление цепи относительно зажимов 1-1':

8

Hɺ11(ω)=UIɺɺm1 =Z11.

m1

Если же внешнее воздействие – напряжение на зажимах 1-1', а отклик – ток i1(t), то комплексная частотная характеристика имеет смысл комплексной входной проводимости относительно зажимов 1-1':

Hɺ11(ω)=UIɺɺm1 =Y11. m1

К передаточным характеристикам цепи относятся:

– комплексный коэффициент передачи по напряже-

нию

Представленный в настоящем разделе материал позволяет определять комплексные частотные характеристики, АЧХ и ФЧХ линейных цепей.

9