Методическое пособие 382

контактной поверхности, при деформации пренебрегаем бочкообразностью.

Пусть заготовка под действием внешней силы P

d

Рис.16.

Напряженное состояние при осадке цилиндрической заготовки – осесимметричное. Компонентами тензора

деформаций являются величины , , z , , z , z Величину осевой деформации можно определить

непосредственно:

z uz h

z h

Остальные деформации определим из условия несжимаемости:

81

последнюю формулу можно преобразовать к виду:

деформации постоянны, то напряженное состояние –

82

Составляющие уравнения баланса работ11:

Ap P h

Зибеля.

Эту формулу мы получали ранее с помощью инженерного метода, предположив, что касательные напряжения по высоте заготовки изменяются линейно.

11 Коэффициент 2 в формуле для A присутствует т.к. существует две поверхности, трение на которых одинаково.

83

Функционалами также являются площадь кривой, проходящей через две точки, объем тела, определяемых вращением вокруг оси кривой, проходящей через две точки.

Как видно из этих примеров, функционалы могут быть определены кратными интегралами.

Когда функция y f (x) , от которой зависит функционал, непрерывна и дважды дифференцируема, функционал может быть записан в следующем общем виде:

J J y x abF x, y, y' dx

Всегда, когда функция f (x) принимает определенный вид (соответствует определенному классу), функционал принимает то или иное значение – число, характеризующее

данную функцию f (x) .

85

F(x, y, y') 1 y' 2 :

J ab1 y' 2 dx

Как только мы выбираем определенный вид кривой (т.е. функцию) из множества кривых, проходящих через две точки, мы можем поставить в соответствие этой кривой ее длину (т.е. число). Тем самым мы определяем функционал длины кривой, проходящей через две точки. Таким образом, функционал – это оператор, ставящий в соответствие каждой функции из определенного класса функций, некоторое число.

Основная задача вариационного исчисления – нахождение функций, сообщающих экстремальное значение функционалу. Такие функции называются экстремалями. Ясно, что для функционала длины кривой вариационной задачей будет являться нахождение минимальной длины кривой, соединяющей две точки, а экстремалью будет являться прямая, соединяющая эти точки.

Вариационный метод как частный случай энергетического метода.

Теперь можно ответить на вопрос, каким образом используется вариационное исчисление в теории решения задач при проектирование процессов обработки давлением.

Как известно, краевая задача теории пластичности – отыскание решения системы дифференциальных уравнений (уравнения равновесия или движения) при заданных граничных условиях. Решением являются функции изменения напряжений и деформаций по объему деформируемого тела.

В вариационном исчислении доказывается, что задачу о нахождении функции, являющейся решением дифференциального уравнения, можно заменить равнозначной ей задачей определения функции, которая сообщает минимальное значение некоторому функционалу.

86

С одним из таких функционалов мы уже встречались ранее – это функционал полной мощности кинематически возможного поля скоростей идеально жестко-пластичного тела.

J s i*dV k v*df pi vi*dF

полной мощности, является функция изменения скорости v по объему деформируемого тела (интенсивность скоростей

деформации i может быть определена по известному полю скоростей), независимой переменной – координаты материальных точек. Класс функций также переделен – они должны удовлетворять граничным условиям и условиям непрерывности – т.е. быть кинематически возможными.

Мы формулировали принцип минимума полной мощности кинематически возможного поля скоростей идеального жестко-пластического тела, который гласит, что полная мощность достигает абсолютного минимума на действительном поле скоростей.

Таким образом, задача отыскания поля скоростей является вариационной задачей и может быть сформулирована следующим образом:

Найти поле скоростей деформированного тела, удовлетворяющее граничным условиям и условиям неразрывности, которое сообщает минимальное значение функционалу полной мощности идеально жесткопластического тела.

Метод решения задач математической физики, который состоит в том, что интегрирование дифференциальных уравнений при заданных краевых условиях заменяется отысканием функции реализующей минимум

87

соответствующего функционала называется энергетическим методом.

Таким образом, метод верхней оценки, рассмотренный нами ранее, является частным случаем энергетического метода. Вариационный метод – также вариант энергетического метода. Принципиальной разницы между ними нет, поскольку и в том и в другом случае ищут решение задачи путем минимизации функционала полной мощности.

Однако в методе верхней оценки конфигурацию поля скоростей задают изначально, а варьируют размерами очага пластической деформации. Т.е. обычно ставится задача отыскания таких размеров очага пластической деформации,

при которых функционал полной мощности стационарен.

В вариационном методе варьируют самим полем скоростей. Здесь ставится задача отыскания поля скоростей, при котором функционал полной мощности получает стационарное значение. Правомерна и комбинированная постановка, при которой можно искать совместно и размеры очага и поле скоростей.

Для определения напряженно-деформированного состояния вариационными методами используют также и другие функционалы.

Для упругой деформации справедлив принцип минимума полной энергии. Он гласит, что среди кинематически возможных перемещений точное решение соответствует абсолютному минимуму функционала полной энергии:

0.5 ij ij dV piui dF

88

перемещений, ij - поле деформаций Коши, соответствующее

кинематически возможному полю перемещений; ij - поле напряжений, удовлетворяющее обобщенному закону Гука. Этот принцип используют для вариационной формулировки метода конечных элементов.

Используют также функционал Маркова для жесткопластического тела (с учетом упрочнения), определяющий полную мощность для непрерывного поля скоростей13:

J s i dV pi vi dF

V FP

Здесь vi - кинематически возможное поле скоростей,

ij - поле скоростей деформаций, соответствующее

кинематически возможному полю скоростей; ij - поле напряжений, удовлетворяющее физическим уравнениям связи напряженного и деформированного состояний для кинематически возможного поля скоростей.

Вариация функционала и ее свойства Рассмотрим вариационную задачу отыскания

экстремума функционала

J y x abF x, y x , y' x dx

для которого класс функций определен граничными условиями

y(a) A, y(b) B .

Напомним, что экстремалью называют функцию, сообщающую экстремум функционалу. Функции, из которых выбирается экстремаль, называются функциями сравнения.

13 В зарубежной литературе часто вместо терминов «полная мощность» и «полная энергия» используют термины «дополнительная энергия (работа)» и «дополнительная мощность».

89