Методическое пособие 382

состояния. Если пренебречь зоной немонотонной деформации и считать н c 0.5 R r r 0.5s , то максимальные

деформации с точностью до знака будут равны на внутреннем и внешнем радиусах:

(всестороннее неравномерное сжатие), то пластичность материала на внешнем слое меньше, следовательно, там и появится первая трещина.

Величина допустимой деформации наружного слоя приближенно соответствует величине максимальной деформации в шейке при испытании на растяжение. Линейная деформация растяжения связана с относительным сужением

следующей зависимостью:

. 1

Тогда:

71

при испытании на растяжение.

Из формулы видно, что чем пластичнее металл, т.е. чем больше относительное сужение, тем меньше может быть принят внутренний радиус в участке изгиба (радиус пуансона).

При 0 (хрупкий металл) изгиб невозможен, а при 0,5 теоретически можно осуществлять гибку на нулевой радиус.

Пружинение при гибке. Остаточные напряжения и деформации

При снятии внешних деформирующих усилий упругие деформации при разгрузке вызывают большие угловые деформации. Это явление называется пружинением. При разгрузке слои заготовки, находящиеся в зоне тангенциального растяжения, укорачиваются, а слои, находящиеся в процессе деформирования в зоне сжатия, удлиняются.

Для анализа пружинения воспользуемся теоремой о разгрузке. Согласно этой теореме связь между напряжением и деформациями при разгрузке подчиняется закону Гука. Если тело при нагружении испытывало неоднородную деформацию, то при разгрузке в нем возникнут остаточные напряжения. Величина остаточных напряжений равна разности между напряжениями, действующими в нагруженном теле и фиктивными напряжениями, которые возникли бы в теле при том же внешнем силовом воздействии, но при условии только упругого деформирования.

Рассмотрим пружинение при гибке моментом широкой полосы на относительно большой радиус. В этом случае

72

влиянием напряжений на процесс деформирования можно пренебречь. Будем считать модель материала идеальной жестко-пластической. В этом случае коэффициент Лоде в формуле для определения изгибающего момента можно принять равным 1. Условие равенства момента пластического изгиба без упрочнения и фиктивного момента упругих деформаций будет иметь вид:

Рис.15.

Разгрузка происходит в условиях упругого деформирования, следовательно, угол пружинения можно

73

определить по известной формуле сопротивления материалов для изгиба моментом:

MlEI

В нашем случае момент инерции поперечного сечения

нейтрального слоя в поперечном сечении l c (здесь - угол, на который изогнуласть заготовка после пластической

деформации). E - модуль упругости 1-го рода. Тогда:

74

А.Ф.Головин (30-е годы XX-го века) и др. Изначально использовали простейшую запись основного энергетического уравнения в виде уравнения баланса работ

Ap A A

(здесь Ap - работа активных внешних сил, A - работа

сил сопротивления деформации, A - работа сил трения на контактных поверхностях), и достаточно простые поля перемещений.

В настоящее время большее распространение получили решения, основанные на разрывных полях скоростей и использовании основного энергетического уравнения в виде баланса мощностей. Иногда этот метод называют методом баланса мощностей, хотя принципиальных различий с методом баланса работ он не имеет.

Метод баланса мощностей основан на использовании основного энергетического уравнения.

Wp W W Wk

Здесь: Wp - мощность внешних сил, W - мощность пластической деформации, W - мощность трения на контакте

с инструментом, Wk - мощность сдвиговых деформаций на поверхностях разрыва поля скоростей.

Рассмотрим составляющие баланса мощностей последовательно.

Мощность внешних сил, в том случае, когда действует

сосредоточенная внешняя сила P , приложенная к инструменту (например, к пуансону), движущемуся с

постоянной скоростью v0 , определяется как:

Wp Pv0 qFП v0 ,

где q - удельная сила, FП - площадь пуансона.

77

поверхностях, f - площадь контакта с инстументом. Для жестко-пластического тела интеграл может быть преобразован к виду:

W k v df s s v df

В выражении для мощности сдвига по поверхностям fl разрыва скоростей обычно полагают, что величина касательного напряжения на поверхности разрыва равна

Wk l v l df k v l df

fl fl

Здесь - разрыв скоростей. Напомним, что разрыв могут претерпевать только касательные составляющие скоростей к любой поверхности.

Окончательно:

Если заменить поле скоростей полем перемещений, то основное энергетическое уравнение примет вид, в котором баланс мощностей заменится на баланс работ:

P h s i dV s s u df k u l df

V f fl

79

Здесь h - малое приращение перемещения

деформаций, u - относительное перемещение материальных частиц деформируемого тела вдоль контактных поверхностей

инструмента, u l - разрыв поля перемещений вдоль поверхностей разрыва.

Последовательность шагов при использовании метода баланса работ следующая:

1.Выделяют очаг пластической деформации.

2.Задаются кинематически возможным полем скоростей (перемещений) внутри очага пластических деформаций.

3.Вычисляют компоненты тензора скоростей деформаций (тензора деформаций) и определяют интенсивность деформаций, величины скоростей (перемещений) на контактных поверхностях и величины разрывов скоростей (перемещений) на поверхностях разрыва.

4.Составляют уравнение баланса мощностей (работ) и

определяют значение деформирующей силы. Отличительной особенность метода баланса работ

(мощностей) является то, что кинематически возможное поле скоростей (перемещений) фактически считают действительным и не пытаются улучшить решение путем варьирования поля.

Решение задачи осадки цилиндрического образца с помощью метода баланса работ.

В качестве примера рассмотрим уже решавшуюся нами задачу определения удельной деформирующей силы при осадке цилиндрического образца.

Допущения при решении задачи: материал – жесткопластический, контактное трение – постоянно по всей

80