Методическое пособие 340

где уˆ - расчетное значение функции отклика; bо – свободный член уравнения регрессии;

b1, b2, b3 – коэффициенты, отражающие силу влияния на выходную переменную каждого фактора в отдельности;

b12, b13, b23 – коэффициенты, учитывающие силу парного взаимодействия факторов;

b123 - коэффициент, учитывающий силу тройного взаимодействия;

b11, b22, b33 – коэффициенты, отражающие степень кривизны изучаемой зависимости.

Рис. 6.6. Геометрическая интерпретация композиционного плана второго порядка для k = 3 с дополнением в виде «звездных» точек

71

Таблица 6.4

Информационная матрица композиционного плана с дополнением в виде «звездных» точек при k = 3

Контрольные вопросы

1.Что такое экстремальные эксперименты?

2.Какие подходы существуют при решении оптимизационных задач?

3.Какие существуют методы поиска экстремума?

4.В чем сущность градиентных методов поиска экстремума?

5.В чем сущность метода последовательного симплексного планиро-

вания?

6.Как осуществляется оптимизация методом композиционного планирования Бокса-Уилсона?

7.Что такое «звездные» точки и «звездное» плечо?

8.Каким способом информационная матрица преобразуется в ортогональную?

Варианты тестовых заданий

75

7.ОПТИМИЗАЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

ВУСЛОВИЯХ ПРОИЗВОДСТВА

Планирование в условиях производства имеет свои характерные особенности. Чтобы не нарушать производственный процесс, не снижать качество выпускаемой продукции, приходится очень осторожно варьировать факторы, то есть назначать малые интервалы их изменения. Однако в этой ситуации и отклик также будет меняться незначительно и разница в результатах может оказаться незаметной на фоне «шума», обусловленного неоднородностью сырья, изменения внешних условий и т.д. Таким образом, оказывается затруднительным определить, в какую сторону предпочесть движение, чтобы был достигнут искомый оптимум, тем более, если учесть возможную недостаточную квалификацию обслуживающего персонала в области математического планирования эксперимента и обработки экспериментальных данных.

Подобные трудности можно свести к минимуму, если увеличить число параллельных опытов для поиска отклика. Это позволяет однозначно судить о величине критерия оптимизации, выделить значимые изменения отклика в присутствии «шумов» и найти то направление движения, следуя которому можно ожидать увеличение отклика.

Что касается квалификации персонала, то эта трудность может быть преодолена применением максимально простых процедур обработки результатов эксперимента и сведения их к небольшому набору стандартных повторяющихся действий, руководствуясь соответствующей инструкцией.

В качестве примера рассмотрим наиболее простой метод поиска оптимума в условиях производства, который получил название метода эволюци-

онного планирования.

7.1. Метод эволюционного планирования

Основой метода эволюционного планирования является факторный эксперимент, проводимый в окрестностях некоторой начальной точки, определяемой технологическим регламентом. При этом выбираются максимально возможные интервалы варьирования с тем соображением, чтобы факторы «не вышли» за область допустимых значений. После этого проводятся опыты в точках факторного плана путем постановки или полного, или дробного факторного эксперимента.

Графическое представление такого планирования для двух факторов изображено на рис. 7.1, где экспериментальные точки плана располагаются в вершинах прямоугольника вокруг центров планов – точек А, В, С.

Если в этих точках проведено по одному опыту, то говорят, что проведен первый цикл (в состав цикла входит и опыт в центре плана). Затем производится статистическая обработка полученных результатов, целью которой

76

является проверка значимости отличий между значениями отклика в вершинах прямоугольника.

х2

C

В

A

х1

Рис. 7.1. Схема эволюционного планирования для двух факторов

Если отличия отклика в этих точках незначимы, то необходимо повторить опыты, то есть произвести еще один цикл. Это надо продолжать до тех пор, пока накопленная в результате нескольких (или многих) циклов информация не будет достаточной для того, чтобы можно было утверждать, что некоторая точка, например, точка В, существенно отличается от других точек по величине отклика и ее можно считать лучшей.

Принято называть совокупность циклов, которые были проведены до того, как был сделан вывод о значимости отклика, одной (например, первой)

фазой.

После того, как наилучшая точка плана выявлена, в нее переносится центр нового плана и начинается новый набор циклов, относящихся ко второй фазе. В результате последовательного переноса центра плана в лучшую точку происходит его смещение в сторону искомого оптимума.

Достоинством метода эволюционного планирования является то, что он позволяет не только определить область, близкую к оптимуму, но и обеспечить его отслеживание в случае изменения условий производства, когда эта точка «дрейфует» в факторном пространстве.

Контрольные вопросы

1.В чем состоят особенности планирования эксперимента в условиях производства?

2.Что такое метод эволюционного планирования?

3.В чем состоят достоинства метода эволюционного планирования?

77

8. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Дисперсионный анализ – это исследование влияния тех или иных факторов на изменчивость полученных в эксперименте средних показателей отклика.

При постановке многофакторного эксперимента дисперсионный анализ позволяет дать одновременную оценку всем факторам и их воздействиям.

Для того чтобы решить, значимо ли влияние данного фактора, необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в сравнении с так называемой дисперсией воспроизводимости, появление которой обусловлено случайными воздействиями. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию, который носит имя Фишера.

Существует правило: если расчетное значение критерия Фишера окажется меньше табличного, то влияние рассматриваемого фактора нет ос-

нований считать значимым; если же расчетное значение критерия Фишера больше табличного, то рассматриваемый фактор влияет на изменчивость средних значений отклика (эти выводы справедливы при действии нормального распределения случайных ошибок).

Различают два вида дисперсионного анализа: однофакторный и многофакторный – это зависит от числа «источников» дисперсии. Их идеология и методика аналогичны. Здесь рассмотрим ход выполнения более простого - однофакторного дисперсионного анализа; применительно к многофакторному эксперименту дисперсионный анализ будет дан в прил. 6 при решении конкретной задачи.

8.1. Дисперсионный анализ результатов однофакторного эксперимента

Пусть рассматривается влияние на какой-либо «выход» (уj) фактора А, который в эксперименте принимает k разных значений (уровней): а1, а2, …, аi, …, аk. Для каждого значения фактора А поставлено n опытов. Тогда общее число опытов равно

Расчеты упростятся, если для каждого уровня фактора А число опытов будет одинаковым, то есть

n1 = n2 = … = nk =n.

Тогда можно записать:

Принято при выполнении дисперсионного анализа однофакторного эксперимента исходные данные оформлять в виде соответствующей таблицы

(табл. 8.1).

78

Таблица 8.1

Исходные данные для дисперсионного анализа

На основании полученных экспериментальных данных рассчитывают-

ся:

- среднее значение «выхода» на i-ом уровне фактора А по формуле

n

yi = ∑j=1yij = Ai ; (8.3)

n n

- общее среднее значение для всей выборки выходной переменной из N опытов по формуле

- общую (по всем опытам) выборочную дисперсию S2 по формуле

Общую выборочную дисперсию S 2 необходимо разложить на состав-

ляющие, которые характеризовали бы вклад фактора А и фактора случайности.

Фактор случайности оценивается путем расчета дисперсии, полученной по результатам повторяющих опытов при каждом заданном уровне значений выходной переменной уij:

79

После вычисления дисперсий S12 , S22 , ..., Sk2 необходимо проверить

равноточность полученных результатов эксперимента на каждом уровне фактора А. Это осуществляется по критерию Кохрена G, который рассчитывается по формуле

Значению G1-р (k,f) соответствует: p - выборочный уровень значимости (в технологических задачах p = 0.05), k – число заданных уровней входной переменной – фактора А (число серий опытов), f - число степеней свободы в каждой серии опытов: f = n - 1, где n - число опытов в серии.

Если G больше Gтабл, то опыты необходимо повторить вновь для того, чтобы исключить грубые ошибки, которые имели место в результатах эксперимента. Если между дисперсиями нет значительных различий, то есть выполняется условие (8.8), то для оценки генеральной дисперсии, характери-

зующей фактор случайности, используют выборочную дисперсию Sош2 . Она равна

где F1-p (f1, f2) – табличное значение критерия Фишера (прил. 5), которое находится при уровне значимости р = 0,05 и числе степеней свободы f1 = k –1 и f2 =k (n – 1)=N - k, где N – общее число опытов во всех сериях.

80