Методическое пособие 340
.pdf
Сравнение полученных значений критерия Стьюдента с табличным его
значением (tтабл = 4,3 при р = 0,05, f = 3 – 1 = 2) показывает, что значимыми являются коэффициенты b0,b1,b11,b123.
Тогда окончательно математическая модель будет иметь вид
|
|
|
у=59,26 −3,83х +4,4х х |
х +14,25х |
2. |
|
|
(П.6.10) |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
||
Произведем проверку полученной математической модели на адекват- |
||||||||||||||||
ность по критерию Фишера, рассчитаем Sост2 |
, которая равна |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
− y€j )2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∑ ( y j |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
S2 |
= |
|
j=1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
(П.6.11) |
|
|
|
|
|
N −l |
|
|
|
|
||||||||
где уj |
|
|
оcт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- среднее значение отклика (предела прочности при сжатии, МПа); |
||||||||||||||||
уˆ j - расчетное (по полученному уравнению регрессии) значение отклика; |
||||||||||||||||
l – |
|
количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии, l = 4. |
||||||||||||||
S2 |
|
= (74,8 −72,94)2 +(85,1−81,74)2 +(78,7 −72,94)2 +(86,7 −81,74)2 + |
||||||||||||||
оcт |
|
|
|
15 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+(77,1−74,08)2 +(63,4 −65,28)2 +(75,2 −74,08)2 +(71,6 −65,28)2 + |
|
|||||||||||||||
|
|
|
15 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+(74,0 −75,64)2 +(77,6 −84,94)2 +(59,0 −59,26)2 +(64,4 |
−59,26)2 + |
= |
||||||||||||||
|
|
|
15− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
+(49,7 −59,26)2 +(52,1−59,26)2 +(71,8 |
−59,26)2 |
= |
509,33 |
=46,3. |
|
||||||||||
|
|
15 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Расчетный критерий Фишера будет равен |
|
|
|||||||||||
|
|
|
F |
= |
|
46,3 |
=6,02. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7,69 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
расч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним значение расчетного критерия Фишера с табличным Fтабл. |
||||||||||||||||
|
|
|
Fтабл = F1-p (f1, f2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f1 = N – l = 15 – 4 = 11; |
f2 = k – l = 3 – 1 = 2. |
|
|
||||||||||
|
|
|
Fтабл = 19,4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как Fрасч < Fтабл , то полученная математическая модель адекватно описывает эксперимент.
Чтобы уравнение регрессии было представлено в натуральном масшта-
бе переменных, необходимо воспользоваться выражением
хi = Xi∆−XXi io
и получить математическую модель зависимости прочности цементного камня от изучаемых факторов.
Вывод. Для рассмотренного примера квадратичная модель адекватно отражает действие изучаемых добавок – модификаторов на прочность цементного камня.
111
Таблица П.6.5
Исходные данные для выполнения дисперсионного анализа и результаты расчетов
|
Номер |
|
|
|
|
Уровень фактора D, % от массы цемента |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
D1 = 5 |
|
|
|
D2 = 7,5 |
|
|
|
|
|
D3 = 10 |
|
||||
|
опыта |
уj |
(yj- |
(yj- |
(yj- |
(yj- |
уj |
(yj- |
(yj- |
|
(yj- |
(yj- |
|
уj |
(yj- |
(yj- |
(yj- |
(yj- |
112 |
|
- уj ) |
- уj )2 |
- у ) |
- у )2 |
- уj ) |
- уj )2 |
|
- у ) |
- у )2 |
|
- уj ) |
- уj )2 |
- у ) |
- у )2 |
|||
1 |
55 |
2,3 |
5,29 |
12,7 |
161,3 |
75 |
3,2 |
10,2 |
|
7,3 |
53,3 |
|
77 |
3,2 |
10,2 |
9,3 |
86,5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
44 |
13,3 |
176,89 |
23,7 |
561,7 |
64 |
7,8 |
60,8 |
|
3,7 |
13,7 |
|
66 |
7,8 |
60,8 |
1,7 |
2,9 |
|
3 |
63 |
5,7 |
32,49 |
4,7 |
22,1 |
80 |
8,2 |
67,2 |
|
12,3 |
151,3 |
|
82 |
8,2 |
67,2 |
14,3 |
204,5 |
|
4 |
63 |
5,7 |
32,49 |
4,7 |
22,1 |
80 |
8,2 |
67,2 |
|
12,3 |
151,3 |
|
82 |
8,2 |
67,2 |
14,3 |
204,5 |
|
5 |
60 |
2,7 |
7,29 |
7,7 |
59,3 |
59 |
12,8 |
163,8 |
|
8,7 |
75,7 |
|
61 |
12,8 |
163,8 |
6,7 |
44,9 |
|
6 |
59 |
1,7 |
2,89 |
8,7 |
75,7 |
73 |
1,2 |
1,4 |
|
5,3 |
28,1 |
|
75 |
1,2 |
1,4 |
7,3 |
53,3 |
|
Итого |
344 |
|
257,3 |
|
902,2 |
431 |
|
370,6 |
|
|
473,4 |
|
443 |
|
370,7 |
|
596,6 |
112
ПРИМЕР 3. При действии различных дозировок добавки модификатора (D) были получены следующие прочности бетона (МПа) (табл. П.6.5). Необходимо выполнить дисперсионный анализ полученных результатов и установить значимость влияния добавки.
Определим среднее значение прочности бетона для каждой дозировки добавки (табл. П.6.5).
у1 = 3446 =57,3 МПа; у2 = 4316 =71,8 МПа; у3 = 4436 =73,8 МПа.
у = 57,3+71,8 +73,8 =67,7 МПа. 3
Дисперсия S2 равна
S 2 = 902,2 +473,4 +596,6 =1972,2 |
=116. |
||||||||
|
18 −1 |
|
|
17 |
|
||||
Определим выборочные дисперсии. |
|
|
|||||||
|
S 2 |
= |
257,3 |
|
=51,5. |
|
|||
|
|
6 −1 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
S 2 |
= |
370,6 |
|
=74,1. |
|
|||
|
6 −1 |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
S 2 |
= |
370,7 |
|
=74,1. |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
6 −1 |
|
|
||
S 2 = 51,5 +74,1+74,1 =66,6. |
|||||||||
ош |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
σ |
2 =116 −66,6 =49,4. |
|
|||||||
S 2 |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
=6 49,4 +66,6 =363. |
|
||||||||
А |
|
|
|
|
|
363 |
|
|
|
|
F |
|
= |
|
=5,45. |
|
|||
|
расч |
|
|
|
66,6 |
|
|
||
Табличное значение коэффициента Фишера при р = 0,05, числе степе-
ней свободы f1 = k – 1 = 3 – 1 = 2 и f2 = N – k = 18 – 3 = 15 равно Fтабл = 3,7.
Fpасч > Fтабл.
5,45 > 3,7
Следовательно, действие входной переменной (фактора D) можно счи-
тать значимым. Если бы было наоборот, то есть Fpасч < Fтабл, то действие фактора D нельзя бы было признать значимым. В этом случае необходимо из
данных эксперимента исключить грубые ошибки.
Вывод. Выполненный дисперсионный анализ показывает, что добавка модификатора бетона действительно влияет на его прочность.
113
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................................................ |
3 |
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... |
5 |
1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ |
|
ПРОЦЕССЕ КАК О СЛОЖНОЙ СИСТЕМЕ.............................................. |
6 |
1.1.Моделирование как метод исследования технологических |
|
процессов............................................................................................................. |
6 |
1.2.Технологический процесс как кибернетическая система...................... |
6 |
1.3.Технологический процесс как сложная система.................................... |
8 |
1.3.1.Понятие о химико-технологической системе (ХТС)..................... |
8 |
1.3.2.Система твердения бетона – типичный пример ХТС.................... |
9 |
Контрольные вопросы …………....................................................................... |
11 |
Варианты тестовых заданий ……………......................................................... |
11 |
2. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ |
|
ЭКСПЕРИМЕНТОВ...................................................................................... |
13 |
Контрольные вопросы …………....................................................................... |
15 |
Варианты тестовых заданий ……………......................................................... |
16 |
3.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА;
ПРЕДЫСТОРИЯ И СТАНОВЛЕНИЕ........................................................ |
17 |
Контрольные вопросы ……………................................................................... |
19 |
4.ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ……............................................................................. 20
4.1.Два основных подхода к изучению сложных, «плохо
организованных» систем......................................................................... |
20 |
4.2. Основные принципы (концепции) теории математического |
22 |
планирования экспериментов................................................................. |
|
4.3.Основные понятия и определения математической теории |
24 |
планирования эксперимента................................................................... |
|
4.3.1.Определение фактора и требования, предъявляемые к нему.... |
24 |
4.3.2.Определение понятия отклика (критерия оптимизации); |
25 |
требования, предъявляемые к нему............................................... |
|
4.3.2.1.Виды параметров оптимизации.......................................... |
25 |
4.3.2.2.Требования к параметру оптимизации (отклику)........... |
27 |
4.3.3.Определение понятия функции отклика...................................... |
28 |
4.4.Организация научного эксперимента и его основные этапы……… |
31 |
Контрольные вопросы…………….................................................................... |
33 |
Варианты тестовых заданий ……………......................................................... |
34 |
5. .ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ МНОГОФАКТОРНОГО |
36 |
ЭКСПЕРИМЕНТА....................................................................................... |
|
5.1. Подготовка исходных данных................................................................ |
36 |
5.2. Построение плана полного факторного эксперимента 2k. |
38 |
Матрица планирования и ее свойства.................................................... |
|
114 |
|
5.2.1.Расчет оценок коэффициентов линейной математической |
|
модели............................................................................................ |
41 |
5.3.Предпосылки появления планов дробного факторного |
|
эксперимента и их построение.............................................................. |
44 |
5.4.Понятие о критериях оптимальности планов эксперимента............ |
48 |
5.4.1.Общие представления.................................................................... |
48 |
5.4.2.D – оптимальность планов эксперимента.................................... |
49 |
5.4.3.Критерии оптимальности планов, используемые |
|
для предсказания свойств математической модели................... |
49 |
5.5.Планы второго порядка.......................................................................... |
50 |
5.5.1.Назначение планов второго порядка, их классификация.......... |
50 |
5.5.2.Планы полного факторного эксперимента 3k.............................. |
53 |
Контрольные вопросы…………….................................................................... |
54 |
Варианты тестовых заданий ……………......................................................... |
55 |
6.ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ
ОПТИМИЗАЦИИ............................................................................................... |
58 |
6.1.Постановка вопроса решения оптимизационных задач.................... |
58 |
6.2.Подходы к решению оптимизационных задач.................................... |
59 |
6.3.Классификация оптимизационных методов поиска |
|
экстремума и алгоритм их реализации................................................ |
59 |
6.4.Градиентные методы поиска экстремума............................................ |
61 |
6.5.Метод последовательного симплексного планирования.................. |
63 |
6.6.Оптимизация методами экстремального планирования |
|
многофакторных экспериментов.......................................................... |
66 |
6.6.1. Композиционные планы Бокса – Уилсона................................ |
66 |
Контрольные вопросы…………….................................................... |
74 |
Варианты тестовых заданий ………….............................................. |
74 |
7.ОПТИМИЗАЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
В УСЛОВИЯХ ПРОИЗВОДСТВА...................................................... |
76 |
7.1.Метод эволюционного планирования ................................................. |
76 |
Контрольные вопросы…………….................................................... |
77 |
8. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА….. |
78 |
8.1.Дисперсионный анализ результатов однофакторного |
|
эксперимента.......................................................................................... |
78 |
Контрольные вопросы…………….................................................... |
81 |
9.ИНТЕРПРЕТАЦИЯ (ПРЕДСТАВЛЕНИЕ) РЕЗУЛЬТАТОВ
ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПОИСКЕ ОПТИМУМА................................. |
82 |
9.1.Анализ коэффициентов уравнения регрессии..................................... |
82 |
9.2.Графический анализ данных эксперимента......................................... |
83 |
9.3.Канонический анализ уравнения регрессии......................................... |
83 |
9.4.Численный метод анализа уравнения регрессии................................. |
84 |
Контрольные вопросы…………….................................................................... |
84 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................... |
85 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................................... |
86 |
115 |
|
Приложение 1. Некоторые определения и вычислительные |
|
|
|
процедуры линейной алгебры (действия с матрицами)….. |
89 |
Приложение 2. Фрагмент таблицы случайных чисел..................................... |
93 |
|
Приложение 3. |
Квантили распределения Кохрена Gр-1 для р = 0,05............. |
94 |
Приложение 4. |
Квантили распределения Фишера Fр-1для р = 0,05............... |
95 |
Приложение 5. |
Квантили распределения Стьюдента..................................... |
97 |
Приложение 6. |
Примеры решения задач.......................................................... |
98 |
Учебное издание
Крылова Алла Васильевна, Шмитько Евгений Иванович Ткаченко Татьяна Федоровна
ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебное пособие для студентов специальности
200503 "Стандартизация и сертификация"
Редактор Акритова Е.В.
Подписано в печать 22.11.2011. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 7,3. Усл.-печ. л. 7,4. Бумага писчая. Тираж 120 экз. Заказ 542.
_____________________________________________________________
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и учебно-методических пособий
Воронежского ГАСУ 394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
116