Методическое пособие 340

-выбор параметра «шага» (здесь возникают те же проблемы, что и при выборе интервалов варьирования факторов);

-движение в выбранном направлении на длину «шага» и определение координат новой точки последовательного плана поиска (новой базовой точки);

-принятие решения о продолжении или прекращении поиска на основе анализа критерия достижения области экстремума.

Пятый этап – планирование и реализация эксперимента в области экс-

тремума с целью построения математической модели объекта исследования.

Шестой этап – анализ результатов экстремального эксперимента и принятия решений, когда изучается практическая пригодность полученных данных, связанная чаще всего с экономическими соображениями. Если, например, полученные оптимальные решения с этой точки зрения будут неприемлемы, то анализируется возможность использования других точек, также близких к экстремуму, либо необходимо начать поиск заново.

6.4. Градиентные методы поиска экстремума

Направление градиента – это такое направление, в котором величина параметра оптимизации улучшается быстрее, чем в любом другом направлении факторного пространства, то есть достижение экстремума (например, максимума) за наименьшее число «шагов» происходит при движении по направлению наискорейшего возрастания функции отклика.

Математически это можно записать так:

где ду – частная производная функции по i-му фактору;

дхi

i, j, ..., k – единичные векторы в направлении координатных осей.

Из уравнения (6.2) следует, что для реализации градиентного метода поиска экстремума необходимо определить частные производные, которые являются коэффициентами уравнения регрессии в данной локальной подобласти факторного пространства. Следовательно, для определения параметров математической модели необходимо поставить соответствующий факторный эксперимент и осуществить локальное исследование поверхности отклика.

Бокс и Уилсон впервые для локального описания поверхности отклика предложили использовать градиент в сочетании с дробным факторным экспериментом. Это предопределило дальнейший практический успех данного метода, который более известен под названием метода крутого восхождения

(МКВ).

61

На рис. 6.2 представлено движение по градиенту на примере с двумя независимыми переменными х1 и х2 и показаны два способа движения к экстремуму (максимуму).

х2

90%

O

O

Р

Q

80% 70%

х1

Рис. 6.2. Два способа движения к экстремуму

Кривые на рис. 6.2 аналогичны линиям равной высоты на географических картах. Построив нормали к этим кривым, получим векторные линии градиента скалярного поля, заданного функцией отклика. Движение из точки О в направлении ОР (направление нормали к контурной кривой) соответствует наиболее крутому пути подъема по поверхности отклика (отсюда и название метода). В этом направлении исследователь будет двигаться до тех пор, пока не попадает в точку Q. В окрестностях этой точки ставится вторая серия опытов с целью нахождения локального линейного приближения поверхности отклика. Пунктиром показано движение по поверхности отклика при постановке однофакторного эксперимента. В этом случае движение осуществляется попеременно: сначала - изменяя одну переменную и фиксируя другую, а затем - изменяя вторую переменную, фиксируя первую. Такой цикл попеременного движения повторяется много раз, в результате получается своеобразное движение «по лабиринту», которое усложняется с ростом числа независимых переменных. Эти циклы должны повторяться до тех пор, пока не будет достигнут экстремум целевой функции (так называемая «почти стационарная область»), когда все координаты градиента (все коэффициенты

bi,

i = 1, 2, …, n) в очередном цикле не окажутся весьма близкими к Q. Очевидно, что по мере продвижения к оптимуму с помощью градиент-

ного метода желательно уменьшить и интервал варьирования, и «шаг» движения по градиенту (кстати, это справедливо и для всех других методов поиска экстремума).

Метод крутого восхождения в математической теории планирования эксперимента принято считать связующим звеном между начальным этапом

62

исследования, когда экспериментатор ограничивается лишь получением линейной модели в качестве приближенного описания некоторой части функции отклика, далекой от оптимума, и конечным, заключительным этапом исследования, когда строится нелинейная математическая модель, например, в виде полинома n-ой степени, которая описывает поведение функции отклика вблизи оптимума.

Между этими двумя этапами исследования и «работает» МКВ, позволяя осуществить поиск области экстремума.

Так как в методе крутого восхождения общее число опытов не столь велико, есть возможность их повторения в каждой точке плана с целью повышения «помехоустойчивости» метода и достаточно строгой оценки полученных результатов, в частности, оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии и адекватности математической модели.

6.5. Метод последовательного симплексного планирования

Этот метод основан на использовании так называемых симплекспланов, когда движение к оптимуму осуществляется в k-мерном пространстве (k ≥ 2) последовательным отражением вершин геометрической фигуры – симплекса.

Симплексом называется выпуклый многогранник, имеющий (k + 1) вершин, каждая из которых определяется пресечением k гиперплоскостей k- мерного пространства. Примером симплекса в двумерном пространстве, то есть на плоскости, является треугольник (при планировании двухфакторных экспериментов обычно используется так называемый регулярный симплекс, то есть треугольник с равными сторонами).

Сущность метода последовательного симплексного планирования состоит в следующем. Известно, что из любого симплекса можно получить новый, если отбросить одну из его вершин и добавить к оставшимся всего лишь одну точку. Эта операция успешно используется для организации «шагового» перемещения симплекса к оптимуму. С этой целью вначале следует провести опыты во всех вершинах симплекса, измерить отклики и, сопоставив полученные результаты, выделить среди них наименьшее значение отклика. «Шаг» движения симплекса при поиске оптимума определяется переходом от исходного симплекса к новому путем исключения вершины, где отклик минимален (при поиске максимума функции отклика). Многократное отражение вершин с более низкими значениями отклика приводит к постепенному перемещению центра симплекса к оптимуму по некоторой ломаной линии.

Алгоритм метода последовательного симплексного планирования состоит из следующих пяти этапов.

63

1.Построение исходного симплекса в окрестностях начальной точки

поиска Х0. Выбор шага, определяющего «размер» используемого симплекса (и в конечном счете - скорость его перемещения в факторном пространстве), обычно производится с учетом компромисса между необходимой точностью локализации точки экстремума и обеспечением достаточной быстроты дос-

тижения последнего. На практике начальную точку Х0 часто совмещают с одной из вершин симплекса, а сам симплекс ориентируют в пространстве та-

ким образом, чтобы все его ребра, выходящие из начальной точки Х0, составляли одинаковые углы с координатными осями.

2.Реализация опытов в вершинах исходного симплекса и получение со-

ответствующих значений отклика.

3.Сравнение значений отклика между собой и выделение вершины Хq с наихудшими, то есть наименьшими при поиске максимума значениями отклика y =min{y1, y2,..., yk+1} и наоборот.

4.Осуществление дальнейшего движения симплекса путем перехода от реализованного симплекса к новому. Координаты новой вершины ХiH нахо-

дятся с помощью соотношения, которое обычно записывается для переменных xi в натуральном масштабе с тем, чтобы непосредственно получить зна-

чения факторов, необходимые для проведения очередного опыта.

2

5. Проведение опыта в новой точке ХiH и получение соответствующего

значения отклика.

Затем действия, предусмотренные этапами 3 - 5 алгоритма, повторяются. Очевидно, что в принципе каждое такое повторение должно приводить к смещению симплекса в сторону экстремума. Однако иногда возникают сложные ситуации, для выхода из которых существуют определенные правила (при поиске максимума функции отклика).

Во-первых, бывает так, что отклик в зеркальной точке нового симплекса оказывается наихудшим среди значений отклика во всех вершинах этого симплекса, тогда формальное соблюдение этапа 4 алгоритма вновь приведет в отброшенную вершину предыдущего симплекса. Поэтому вместо движения к оптимуму возникают колебания симплекса относительно одной и той же грани. В этом случае надо, вернувшись к «старому» симплексу, отбросить в нем другую вершину со вторым по счету наихудшими значением отклика. Это правило следует применять многократно, путем постепенного перебора всех вершин симплекса до тех пор, пока симплекс перестанет колебаться и вновь начнет перемещаться в факторном пространстве.

64

Во-вторых, может случиться так, что наихудшее значение отклика будет наблюдаться одновременно в нескольких вершинах, тогда отбрасывание одной из этих вершин надо решить случайным образом, например, с помощью известных таблиц случайных чисел (прил. 2).

Критерием достижения экстремальной области при симплексном методе поиска служит факт прекращения поступательного движения симплекса и его переход к вращению вокруг определенной вершины. Это наглядно представлено на рис. 6.3, где приведена схема оптимизации методом последовательного симплексного планирования (точка 5 – точка вращения симплекса).

Х1

Х2

Рис.6.3. Схема оптимизации по симплексному методу

Обычно считают, что симплекс уже начал вращение, если в течение h последовательных шагов хотя бы одна из его вершин сохраняется неотброшенной, причем

Например, для k = 2 имеем h = 4, и, следовательно, если в четырех последовательных положениях симплекса сохраняется одна общая точка, можно считать, что симплекс начал вращение вокруг этой точки. В этом случае опыт в этой точке надо еще раз повторить, чтобы выяснить, не обусловлен ли получаемый результат влиянием случайных помех.

Получение в точке, вокруг которой вращается симплекс, наибольшего значения отклика свидетельствует о достижении искомого экстремума

(рис.6.4).

Существуют модификации рассмотренного алгоритма, связанные, вопервых, с изменением размера симплекса – с уменьшением его по мере приближения к экстремуму, а также с отказом от требования «правильности» (регулярности) симплекса, когда симплекс деформируют для того, чтобы обеспечить максимальную скорость движения к экстремуму.

К достоинствам симплексного метода оптимизации относится его простота, он не требует сложных расчетов, достаточно помехоустойчив и позволяет не только находить значение оптимума, но и отслеживать его положение

65

в том случае, если объект оптимизации нестационарен и экстремум по какимлибо причинам смещается во времени («дрейфует»).

Рис.6.4. Поиск максимума методом последовательного симплексного планирования

Ценно и то, что этот метод применяется не только в лабораторных исследованиях, но и в промышленном эксперименте.

6.6. Оптимизация методами экстремального планирования многофакторных экспериментов

Градиентные методы оптимизации, в частности метод крутого восхождения, и неградиентные, такой как, например, симплексный метод оптимизации, позволяют достичь лишь область, близкую к экстремуму. Для того чтобы найти оптимум, необходимо план в области, близкой к экстремуму, расширить таким образом, чтобы к линейным эффектам добавить эффекты более высокого порядка, что обеспечивает кривизну поверхности отклика и соответственно возможность поиска оптимума.

6.6.1. Композиционные планы Бокса – Уилсона

Область, близкая к оптимуму, характеризуется существенной нелинейностью, поэтому для ее математического описания используются нелинейные полиномы. Чтобы решить задачу поиска оптимума и сократить число опытов, необходимо воспользоваться так называемыми композиционными планами, предложенными Боксом и Уилсоном. Эти планы получили достаточно надежное обоснование. Ядром таких планов являются факторный экс-

66

перимент 2k, если k < 5, или дробные факторные планы, если k ≥ 5. И в том, и в другом случае несмешанные оценки получаются только для линейных эффектов и эффектов взаимодействия; для квадратичных же столбцов хi2 необ-

ходимо провести преобразование, представленное ниже (6.7).

К композиционным планам можно перейти, например, если добавить так называемые «звездные» точки в количестве 2k, где k – число факторов. Звездные точки расположены на координатных осях факторного пространства на одинаковом расстоянии α от центральной точки (центра эксперимента). Это расстояние называется «звездным» плечом (его значения табулированы). Координаты «звездных» точек равны (±α, 0, …, 0); (0, ±α, 0, …, 0); (0, 0, …, 0, ±α).

Геометрическая интерпретация композиционного плана с дополнениями в виде «звездных точек» для k = 2 представлена на рис. 6.5.

х2

7

+α

+α

0

6

5 х1

α

α

8

Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация композиционного плана второго порядка для k = 2 с дополнением в виде «звездных» точек

Информационная матрица планирования, соответствующая этому плану, представлена в табл. 6.1.

В этой матрице опыты 1 - 4 соответствуют ПФЭ 22, опыты 5 - 8 соответствуют «звездным» точкам, а дополнительные опыты 9 - N поставлены в центре плана при х1 = 0, х2 = 0, …, хk = 0. Эта матрица (она называется информационной) по своей сути неортогональна и поэтому не позволяет достаточно просто определить все коэффициенты уравнения регрессии, в частности, это касается квадратичных членов.

67

Ортогональность матрицы композиционного плана достигается ее «обращением» и строгим выбором величины «звездного» плеча α.

В табл. 6.2 приведены значения α2, вычисленные с помощью выраже-

ния (6.6) при k < 5.

Определив для k = 2 и n0 = 1 (опыт 9 в информационной матрице) α =1,000 и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов xi2 по формуле,

68

получим ортогональную матрицу композиционного плана, использование которой в дальнейшем позволяет найти коэффициенты уравнения регрессии независимо друг от друга. Соответствующая матрица приведена в табл. 6.3.

Таблица 6.2

Значения α2 для k факторов и числа опытов в центре композиционного плана n0

Окончание табл. 6.3

плана с дополнением в виде «звездных» точек применительно к данному случаю.

Ортогональная матрица данного плана и необходимые вычисления для ее получения приведены в прил. 6, где дан пример решения подобной задачи.

Полиномиальное уравнение регрессии второго порядка в общем виде для k = 3 можно записать так:

70